Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

61Proporcionalidad, velocidad y medias

La proporcionalidad (Capítulo 49) se encuentra ahora con el mundo físico: la velocidad, los caudales, las conversiones de unidades — magnitudes que son cocientes de otras dos. El capítulo cierra con las medias ponderadas, donde pensar en proporciones evita un error clásico.

61.1 La velocidad media

Definición 61.1 (Velocidad media)

La velocidad media de un trayecto es el cociente

v = \frac{d}{t} \qquad \left(\text{la distancia dividida entre la duración}\right),

en kilómetros por hora (km/h), metros por segundo (m/s), … La fórmula se da la vuelta: $d = v \times t$ y $t = \frac{d}{v}$ .

Ejemplo 61.2

Un tren recorre $270$ km en $1$ h $30$ min. Convierte primero el tiempo: $1$ h $30$ min $= 1.5$ h. Entonces,

v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.

Distancia a $90$ km/h durante $2$ h $20$ min $= \frac73$ h: $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Tiempo para $35$ km a $14$ km/h: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ h $= 2$ h $30$ min.

Observación 61.3 (Los minutos no son decimales)

$1$ h $30$ min es $1.5$ h, pero $1$ h $20$ min no es $1.2$ h: es $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ h. Convierte siempre los minutos en fracción de hora ( $60$ min $= 1$ h) antes de dividir.

A velocidad constante, la distancia es proporcional al tiempo: una recta que pasa por el origen, cuya inclinación es la velocidad.

Método 61.4 (Convertir velocidades)

Para convertir km/h en m/s: $1$ km $= 1000$ m y $1$ h $= 3600$ s, así que

v \text{ km/h} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/s} = \frac{v}{3.6} \text{ m/s}.

Para convertir m/s en km/h, multiplica por $3.6$ .

Ejemplo 61.5

$90$ km/h $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/s. Un velocista que corre $100$ m en $10$ s va a $10$ m/s $= 36$ km/h.

61.2 Magnitudes cociente

Ejemplo 61.6 (Caudal, densidad, precio por kilo)

La velocidad tiene muchos primos, todos tratados igual:

un grifo llena $48$ L en $4$ min: caudal $\frac{48}{4} = 12$ L/min, así que llenar una bañera de $150$ L lleva $\frac{150}{12} = 12.5$ min;
$0.6$ kg de queso cuestan $9$ euros: precio $\frac{9}{0.6} = 15$ euros por kg;
un coche gasta $6.3$ L en $90$ km: consumo $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L cada $100$ km.

Identifica el cociente y la fórmula de tres vías ( $q = \frac ab$ , $a = qb$ , $b = \frac aq$ ) hace el resto.

61.3 Medias ponderadas

Definición 61.7 (Media ponderada)

Cuando unos valores $v_1, v_2, \dots$ vienen con recuentos (o pesos) $n_1, n_2, \dots$ , su media ponderada es

\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :

el total de los valores, dividido entre el total de los pesos.

Ejemplo 61.8

Un examen lo hicieron dos grupos: el grupo 1, de $12$ alumnos, con media $11$ ; el grupo 2, de $18$ alumnos, con media $14$ . Media de toda la clase:

\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18} = \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .

No $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$ : el grupo mayor arrastra la media hacia su lado — los pesos importan.

Ejemplo 61.9 (Velocidad media en dos tramos)

Una ciclista recorre $30$ km a $30$ km/h y después $30$ km a $15$ km/h. La velocidad media de todo el trayecto no es $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/h. Calcúlala con la definición:

tiempos: $\frac{30}{30} = 1$ h y después $\frac{30}{15} = 2$ h; en total, $3$ h;
distancia total $60$ km, así que $v = \frac{60}{3} = 20$ km/h.

El tramo lento dura más, así que pesa más — una media de velocidades hay que ponderarla por el tiempo.

61.4 Ejercicios

Ejercicio 61.1 ★

Calcula la velocidad media: $150$ km en $2$ h; $27$ km en $45$ min; $100$ m en $12.5$ s.

Solución

Solución de Ejercicio 61.1.

$\frac{150}{2} = 75$ km/h. $45$ min $= 0.75$ h: $\frac{27}{0.75} = 36$ km/h. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/s.

Ejercicio 61.2 ★

Calcula la distancia: $2$ h a $85$ km/h; $40$ min a $90$ km/h. Calcula el tiempo: $315$ km a $90$ km/h (en h y min).

Solución

Solución de Ejercicio 61.2.

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ min $= \frac23$ h: $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ h $= 3$ h $30$ min.

Ejercicio 61.3 ★

Convierte: $72$ km/h en m/s; $5$ m/s en km/h; $108$ km/h en m/s.

Solución

Solución de Ejercicio 61.3.

$72 \div 3.6 = 20$ m/s. $5 \times 3.6 = 18$ km/h. $108 \div 3.6 = 30$ m/s.

Ejercicio 61.4 ★

Un grifo da $15$ L/min. ¿Cuánto tarda en llenar un depósito de $600$ L? ¿Cuántos litros da en $2$ h $30$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 61.4.

$600 \div 15 = 40$ min. $2$ h $30 = 150$ min: $15 \times 150 = 2250$ L.

Ejercicio 61.5 ★

¿Qué sale mejor: $1.2$ kg de manzanas por $3.30$ euros o $0.8$ kg por $2.16$ euros? Compara los precios por kilogramo.

Solución

Solución de Ejercicio 61.5.

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euros/kg frente a $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euros/kg: la segunda oferta es (ligeramente) la más ventajosa.

Ejercicio 61.6 ★

Una clase de $25$ alumnos tiene una media de $12.4$ en un examen; otra clase de $35$ alumnos tiene una media de $10$ . Calcula la media de las dos clases juntas.

Solución

Solución de Ejercicio 61.6.

\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60} = \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .

Ejercicio 61.7 ★

El sonido viaja a unos $340$ m/s. Ves un relámpago y oyes el trueno $6$ segundos después. ¿A qué distancia cayó el rayo (redondeando a los $100$ m)?

Solución

Solución de Ejercicio 61.7.

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

Ejercicio 61.8 ★★

Un senderista camina $2$ h a $5$ km/h, descansa $30$ min y después camina $1$ h $30$ a $4$ km/h. Calcula la distancia total y la velocidad media incluyendo el descanso (distancia total entre tiempo total transcurrido).

Solución

Solución de Ejercicio 61.8.

Distancias: $2 \times 5 = 10$ km, y después $1.5 \times 4 = 6$ km: en total $16$ km. Tiempo transcurrido: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ h. Velocidad media: $\frac{16}{4} = 4$ km/h.

Ejercicio 61.9 ★★

Notas con coeficientes: un alumno sacó $15$ (coeficiente $3$ ), $9$ (coeficiente $2$ ) y $12$ (coeficiente $1$ ). Calcula la media ponderada. ¿Qué media simple (sin ponderar) tendría y por qué son distintas?

Solución

Solución de Ejercicio 61.9.

Con coeficientes: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1} = \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$ . Sin coeficientes: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$ . Difieren porque los coeficientes dan a la nota $15$ tres veces el peso de la nota $12$ .

Ejercicio 61.10 ★★

Un coche recorre $120$ km a $80$ km/h y después $120$ km a $120$ km/h.

calcula la duración de cada tramo y después la velocidad media de todo el trayecto;
explica por qué la respuesta es menor que $100$ km/h, el punto medio de las dos velocidades.

Solución

Solución de Ejercicio 61.10.

1. Duraciones: $\frac{120}{80} = 1.5$ h y $\frac{120}{120} = 1$ h. Velocidad media: $\frac{240}{2.5} = 96$ km/h.

2. El coche pasa más tiempo a $80$ km/h ( $1.5$ h) que a $120$ km/h ( $1$ h): la velocidad lenta pesa más en la media ponderada por el tiempo y la arrastra por debajo del punto medio $100$ .

Ejercicio 61.11 ★★★

Dos pueblos distan $18$ km. Ana sale del primero a las $10{:}00$ andando a $5$ km/h hacia el segundo; Boris sale del segundo a la misma hora andando a $4$ km/h hacia el primero. ¿A qué hora se encuentran y a qué distancia del pueblo de Ana? (Entre los dos reducen la separación a $5 + 4$ km/h.)

Solución

Solución de Ejercicio 61.11.

La separación de $18$ km se cierra a $5 + 4 = 9$ km/h: se encuentran al cabo de $\frac{18}{9} = 2$ h, a las $12{:}00$ . Ana ha andado entonces $2 \times 5 = 10$ km: se encuentran a $10$ km del pueblo de Ana (y a $8$ km del de Boris — comprobación: $10 + 8 = 18$ ).

61.5 Problema: La media armónica, o por qué el viaje de vuelta arruina la media

Problema 61.1

Problema de fin de semana — la velocidad media en distancias iguales es $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ y nunca supera el punto medio de las velocidades

El Ejemplo 61.9 y el Ejercicio 61.10 terminaron los dos con la misma sorpresa: ir a una velocidad, volver a otra, y la velocidad media cae por debajo del punto medio de las dos. Este problema halla la fórmula exacta que hay detrás de la sorpresa — una clase nueva de media, la media armónica —, demuestra que la sorpresa es un teorema y la lleva a su extremo lógico: un alcance que ninguna velocidad del mundo puede lograr.

Parte I — La fórmula del viaje de ida y vuelta. Un trayecto cubre una distancia $d$ a velocidad $v_1$ y después la misma distancia $d$ otra vez a velocidad $v_2$ (todos números positivos).

expresa las dos duraciones y después la duración total como fracciones en las que aparezcan $d$ , $v_1$ y $v_2$ ;
la velocidad media de todo el trayecto es $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — una fracción de piso doble (Ejemplo 55.8). Simplifícala y demuestra:

$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$
comprueba la fórmula con los dos cálculos citados arriba: $v_1 = 30$ y $v_2 = 15$ km/h (Ejemplo 61.9), y $v_1 = 80$ y $v_2 = 120$ km/h (Ejercicio 61.10);
la distancia $d$ ha desaparecido de la fórmula. ¿Qué significa eso, en concreto, para la ciclista?
supón ahora que el trayecto pasa en cambio el mismo tiempo $T$ a cada velocidad. Demuestra que la velocidad media es entonces $\frac{v_1 + v_2}{2}$ , el punto medio simple. En el lenguaje de la Definición 61.7: ¿por qué magnitud hay que ponderar siempre una media de velocidades y qué cambia entre los dos escenarios?

Parte II — Armónica frente a aritmética. Para dos números positivos $v_1$ y $v_2$ , sean

H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \quad\text{(su \emph{media armónica}),} \qquad A = \frac{v_1 + v_2}{2} \quad\text{(su \emph{media aritmética}).}

calcula $H$ y $A$ para las parejas $(30, 15)$ y $(80, 120)$ . ¿Cuál de las dos medias gana en cada caso?
pon $A - H$ sobre el denominador común $2(v_1 + v_2)$ , desarrolla el numerador con las identidades notables (Problema 57.1) y demuestra:

$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$
deduce el teorema que hay detrás de todas las sorpresas: para velocidades positivas, $H \leq A$ siempre, con igualdad exactamente cuando $v_1 = v_2$ . ¿Por qué zanja la cuestión un cuadrado en el numerador?
demuestra la elegante identidad $H \times A = v_1 \times v_2$ : las dos medias multiplicadas devuelven el producto original;
un coche recorre $60$ km a $40$ km/h y $60$ km a $60$ km/h. Predice la velocidad media con la fórmula y confírmala después por la vía larga, con tiempos y distancia total.

Parte III — El alcance imposible.

una ciclista participa en una carrera de $30$ km esperando promediar $30$ km/h. ¿Cuánto tiempo puede durarle la carrera, como mucho? Recorre los primeros $15$ km a $15$ km/h: ¿cuánto le queda de ese presupuesto de tiempo?
demuestra que la media esperada se ha vuelto literalmente imposible: calcula su velocidad media si recorre la segunda mitad a $90$ km/h y explica por qué ni siquiera una velocidad arbitrariamente enorme le permite alcanzar los $30$ km/h;
baja su objetivo a $20$ km/h. ¿Qué velocidad en los segundos $15$ km lo consigue? Comprueba tu respuesta con la fórmula de la media armónica;
un grifo de agua fría solo llena una bañera en $20$ min; el de agua caliente solo, en $30$ min. ¿Qué fracción de la bañera llenan los dos grifos juntos por minuto y cuánto tardan? Compara tu respuesta con $H(20, 30)$ : ¿qué observas?
un avión vuela la misma ruta de ida y de vuelta: $900$ km/h con el viento a favor y $700$ km/h en contra. Calcula la velocidad media del viaje completo y explica en una frase por qué un viento, sople como sople, siempre alarga un viaje de ida y vuelta.

Solución

Solución de Problema 61.1.

1. Por la Definición 61.1, $t_1 = \frac{d}{v_1}$ y $t_2 = \frac{d}{v_2}$ ; el trayecto entero dura $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ para una distancia de $2d$ .

2. Saca factor común $d$ en el denominador y simplifícalo:

\bar v = \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)} = \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .

Denominador común dentro: $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$ , y dividir es multiplicar por el inverso (Teorema 55.6):

\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .

3. $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15} = \dfrac{900}{45} = 20$ km/h, como en el Ejemplo 61.9; y $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200} = 96$ km/h, como se halló en el Ejercicio 61.10.

4. La media solo depende de las dos velocidades, no de $d$ : una ida y vuelta de $1$ km y otra de $100$ km a las mismas dos velocidades tienen exactamente la misma velocidad media. (Por eso la fórmula se podía comprobar en trayectos de longitudes distintas.)

5. En un tiempo $T$ a cada velocidad, las distancias son $v_1 T$ y $v_2 T$ , luego

\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T} = \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T} = \frac{v_1 + v_2}{2} .

Una media de velocidades siempre está ponderada por el tiempo (Definición 61.7). Con tiempos iguales, las dos velocidades llevan pesos iguales: punto medio a secas. Con distancias iguales, la velocidad más lenta ocupa más tiempo, luego más peso — y la media se desliza hacia ella.

6. Para $(30, 15)$ : $H = 20$ y $A = 22.5$ . Para $(80, 120)$ : $H = 96$ y $A = 100$ . La media aritmética gana las dos veces.

7. Con denominador común $2(v_1 + v_2)$ :

A - H = \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,

y el numerador se desarrolla con las identidades del Problema 57.1:

(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2 = (v_1 - v_2)^2 .

8. Un cuadrado nunca es negativo, y $2(v_1 + v_2)$ es positivo: así que $A - H \geq 0$ , es decir $H \leq A$ , para todo par de velocidades positivas. La igualdad exige $(v_1 - v_2)^2 = 0$ , es decir $v_1 = v_2$ : en cuanto las dos velocidades difieren, la media de la ida y vuelta cae estrictamente por debajo del punto medio — la sorpresa es un teorema.

9. Multiplica:

H \times A = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2} = v_1 v_2 ,

tras simplificar el factor $2$ y el factor $v_1 + v_2$ .

10. Fórmula: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60} {40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ km/h. Por el camino largo: $\frac{60}{40} = 1.5$ h y $\frac{60}{60} = 1$ h, luego $120$ km en $2.5$ h: $\frac{120}{2.5} = 48$ km/h. Coinciden.

11. Promediar $30$ km/h en $30$ km significa un tiempo total de como mucho $\frac{30}{30} = 1$ h. Los primeros $15$ km a $15$ km/h ya se llevan $\frac{15}{15} = 1$ h: el presupuesto de tiempo entero está gastado, y queda la mitad del recorrido.

12. A $90$ km/h la segunda mitad lleva $\frac{15}{90} = \frac16$ h, así que la carrera dura $\frac76$ h y

\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7 \text{ km/h} < 30 .

Sea cual sea la velocidad de la segunda mitad, su duración es un número positivo, así que el tiempo total pasa de $1$ h y la media se queda estrictamente por debajo de $30$ km/h. (Con la fórmula: $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ obligaría a $30 v_2 = 450 + 30 v_2$ , es decir $0 = 450$ — ninguna velocidad $v_2$ sirve.)

13. Una media de $20$ km/h permite $\frac{30}{20} = 1.5$ h; tras la primera hora quedan $15$ km para $0.5$ h: necesita $\frac{15}{0.5} = 30$ km/h. Comprobación: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45} = 20$ km/h.

14. Por minuto, los grifos llenan $\frac{1}{20}$ y $\frac{1}{30}$ de la bañera; juntos

\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}

de la bañera por minuto: la bañera se llena en $12$ min. Y $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$ : los dos grifos juntos tardan exactamente la mitad de la media armónica de sus tiempos por separado — los caudales se suman, así que volvemos al terreno de la media armónica.

15. La misma distancia en cada sentido, luego

\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700} = \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ km/h},

por debajo de los $800$ km/h en aire en calma. En una frase: el avión pasa más tiempo volando contra el viento que a favor, así que el tramo lento recibe el mayor peso en la media ponderada por el tiempo — un viento solo puede alargar una ida y vuelta.