Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

46Los números relativos

Temperaturas bajo cero, plantas por debajo del suelo, dinero que se debe: muchas magnitudes bajan de $0$ . Los números negativos prolongan la recta numérica hacia la izquierda del cero. Este capítulo enseña a compararlos y a sumarlos y restarlos — su multiplicación espera al Capítulo 54.

46.1 Los números relativos

Definición 46.1 (Números relativos)

Un número relativo está formado por un signo ( $+$ o $-$ ) y una distancia al cero: $+3$ y $-3$ están los dos a distancia $3$ de $0$ , en lados opuestos. Los números positivos se escriben normalmente sin su signo: $+3 = 3$ . Los números $+3$ y $-3$ son opuestos el uno del otro.

La recta numérica prolongada hacia la izquierda: -3 y +3 son números opuestos, a la misma distancia de 0. — La recta numérica prolongada hacia la izquierda: $-3$ y $+3$ son números opuestos, a la misma distancia de $0$ .

Método 46.2 (Comparar números relativos)

En la recta numérica, menor significa más a la izquierda. En la práctica:

un número negativo es siempre menor que uno positivo: $-7 < 2$ ;
entre dos positivos, el orden de siempre;
entre dos negativos, el de mayor distancia al cero es el menor: $-7 < -2$ .

Ejemplo 46.3

Ordena de menor a mayor: $3$ ; $-5$ ; $0$ ; $-1.5$ ; $2.8$ . Primero los negativos, encabezados por el más negativo:

-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .

46.2 Sumar números relativos

Piensa en un número relativo como un movimiento a lo largo de la recta: $+5$ significa «camina $5$ pasos a la derecha» y $-3$ , «camina $3$ pasos a la izquierda». Sumar números es encadenar los paseos.

Método 46.4 (Sumar dos números relativos)

Mismo signo: suma las distancias y conserva el signo común: $(-3) + (-4) = -7$ .
signos opuestos: resta la distancia menor de la mayor y toma el signo de la mayor: $(-7) + (+2) = -5$ y $(+7) + (-2) = +5$ ;
los opuestos se anulan: $(+4) + (-4) = 0$ .

Sumar como caminar: saliendo de 0, el paseo -3.5 y después el paseo +2 llevan a (-3.5) + 2 = -1.5. — Sumar como caminar: saliendo de $0$ , el paseo $-3.5$ y después el paseo $+2$ llevan a $(-3.5) + 2 = -1.5$ .

Ejemplo 46.5

Paso a paso, agrupando como convenga:

\begin{align*} (-8) + (+3) &= -5 && \text{(signos opuestos: } 8 - 3 = 5, \text{ signo del } 8)\\ (-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(mismo signo: se suman las distancias)}\\ (+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 . \end{align*}

46.3 Restar números relativos

Teorema 46.6 (Regla de la resta)

Restar un número relativo es lo mismo que sumar su opuesto:

a - b = a + (-b) .

Por qué funciona. $a - b$ es el número que, sumado a $b$ , da $a$ . Comprobemos que $a + (-b)$ cumple ese papel: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$ . ∎

Ejemplo 46.7

Toda resta se convierte en una suma y entonces se aplica el Método 46.4:

\begin{align*} 5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\ (-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\ (-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 . \end{align*}

La última línea es la famosa: restar un negativo es sumar. ¡Quitar una deuda te hace más rico!

Ejemplo 46.8 (Diferencias de temperatura)

En un día la temperatura pasó de $-6$ grados a $+9$ grados. La subida es la diferencia

9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ grados}.

En la recta numérica: de $-6$ hasta $0$ hay $6$ grados y de $0$ a $9$ hay $9$ más.

46.4 Coordenadas en todo el plano

Definición 46.9 (Coordenadas con signo)

Con dos ejes graduados perpendiculares que se cortan en el origen $O$ , cada punto del plano recibe dos coordenadas relativas $(x, y)$ : una $x$ negativa significa a la izquierda del eje vertical y una $y$ negativa, por debajo del eje horizontal.

Un punto en cada cuarto del plano. Lee siempre primero la coordenada horizontal.

46.5 Ejercicios

Ejercicio 46.1 ★

Di el opuesto de: $7$ ; $-3.5$ ; $0$ ; $+12$ . Después completa: «dos números son opuestos cuando su suma es ?».

Solución

Solución de Ejercicio 46.1.

Opuestos: $-7$ ; $+3.5$ ; $0$ (opuesto de sí mismo); $-12$ . Dos números son opuestos cuando su suma es $0$ .

Ejercicio 46.2 ★

Copia y completa con $<$ o $>$ :

-4 \;?\; 1, \qquad -4 \;?\; -7, \qquad -2.5 \;?\; -2.4, \qquad 0 \;?\; -0.1 .

Solución

Solución de Ejercicio 46.2.

$-4 < 1$ ; $-4 > -7$ ; $-2.5 < -2.4$ ; $0 > -0.1$ .

Ejercicio 46.3 ★

Ordena de menor a mayor: $-3$ ; $2.5$ ; $-0.5$ ; $-3.1$ ; $0$ ; $1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 46.3.

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$ .

Ejercicio 46.4 ★

Calcula:

(-5) + (-9), \qquad (-12) + (+7), \qquad (+3.5) + (-1.5), \qquad (-6) + (+6).

Solución

Solución de Ejercicio 46.4.

$(-5) + (-9) = -14$ ; $(-12) + (+7) = -5$ ; $(+3.5) + (-1.5) = +2$ ; $(-6) + (+6) = 0$ .

Ejercicio 46.5 ★

Transforma en sumas y calcula después:

4 - 11, \qquad (-5) - (+3), \qquad (-7) - (-10), \qquad 0 - (-8).

Solución

Solución de Ejercicio 46.5.

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$ .

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$ .

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$ .

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$ .

Ejercicio 46.6 ★

Calcula agrupando con astucia (¡primero los opuestos!):

(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad (-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).

Solución

Solución de Ejercicio 46.6.

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (los positivos juntos y los negativos juntos).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$ .

Ejercicio 46.7 ★

Esta mañana la temperatura era de $-3$ grados; subió $8$ grados durante el día y bajó $12$ grados por la noche. Escribe un solo cálculo que dé la temperatura final y calcúlalo.

Solución

Solución de Ejercicio 46.7.

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$ : por la noche hace $-7$ grados.

Ejercicio 46.8 ★

Sitúa en unos ejes de coordenadas: $A(2, 3)$ ; $B(-3, 1)$ ; $C(-2, -2)$ ; $D(3, -1)$ ; $E(0, -3)$ . ¿Qué punto está sobre un eje?

Solución

Solución de Ejercicio 46.8.

Representación libre; $E(0, -3)$ está sobre el eje vertical (su primera coordenada es $0$ ).

Ejercicio 46.9 ★★

Calcula la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima: Moscú en enero, máxima $-4$ grados, mínima $-13$ grados; Helsinki, máxima $2$ , mínima $-9$ .

Solución

Solución de Ejercicio 46.9.

Moscú: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ grados de diferencia. Helsinki: $2 - (-9) = 11$ grados.

Ejercicio 46.10 ★★

Una buceadora está a una altitud de $-12$ m (doce metros por debajo de la superficie). Sube $7$ m y después baja $4$ m. ¿A qué altitud está? ¿Cuánto le falta por subir para llegar a la superficie?

Solución

Solución de Ejercicio 46.10.

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$ : está a $-9$ m. Para llegar a la superficie (altitud $0$ ) tiene que subir $0 - (-9) = 9$ m.

Ejercicio 46.11 ★★

Sitúa $A(-2, 1)$ , $B(2, 1)$ y $C(2, -2)$ . Halla las coordenadas del punto $D$ para que $ABCD$ sea un rectángulo y calcula su perímetro (cuenta las casillas de la cuadrícula para las longitudes de los lados).

Solución

Solución de Ejercicio 46.11.

$D(-2, -2)$ : la misma primera coordenada que $A$ y la misma segunda coordenada que $C$ . Lados: $AB = 4$ (de $-2$ a $2$ ) y $BC = 3$ (de $1$ a $-2$ ), así que el perímetro es $2 \times (4 + 3) = 14$ .

Ejercicio 46.12 ★★★

En el cuadrado mágico de abajo, cada fila, cada columna y cada diagonal deben tener la misma suma. Cópialo y complétalo:

$?$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$?$
$-4$	$?$	$?$

(Empieza hallando la suma mágica con la diagonal que está casi completa.)

Solución

Solución de Ejercicio 46.12.

La diagonal completa $0, -2, -4$ da la suma mágica $0 + (-2) + (-4) = -6$ . Entonces, casilla a casilla: arriba a la izquierda $= -6 - (-7) - 0 = 1$ ; centro derecha $= -6 - (-3) - (-2) = -1$ ; abajo a la derecha $= -6 - 0 - (-1) = -5$ ; abajo en el centro $= -6 - (-7) - (-2) = 3$ .

$1$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$-1$
$-4$	$3$	$-5$

Cada fila, cada columna y cada diagonal suman $-6$ .

46.6 Problema: El año cero que nunca existió

Problema 46.1

Problema de fin de semana — los números relativos en la línea del tiempo de la historia: duraciones que cruzan el cambio de era, el truco de los astrónomos y el principio de la variación neta

La recta numérica de este capítulo tiene un gemelo famoso en el mundo real: la línea del tiempo de la historia, con los años a. C. extendiéndose hacia la izquierda y los años d. C. hacia la derecha. Pero la recta de los historiadores esconde una trampa que ha estropeado muchos cálculos: no hay año cero — al año 1 a. C. le sigue inmediatamente el 1 d. C. Este problema calcula con temperaturas, ascensores y cuentas bancarias, y después repara el cero roto de la historia como hacen los astrónomos: con números relativos.

Parte I — Calentamiento y una primera trampa.

la cima del Mont Blanc está a una altitud de $+4\,808$ m; la orilla del mar Muerto, a $-430$ m. Calcula la diferencia de altitud entre las dos;
una cuenta bancaria tiene $-45$ euros (un descubierto). Su titular ingresa $120$ euros, paga una factura de $60$ euros y después ingresa $15$ euros. Escribe el saldo como una sola cadena de sumas y calcúlalo. ¿Qué ingreso único habría llevado los $-45$ iniciales exactamente a $0$ ?
Julio César nació en el $100$ a. C. y murió en el $44$ a. C. Contando los años a. C. como números negativos (el $100$ a. C. como $-100$ y el $44$ a. C. como $-44$ ), calcula $(-44) - (-100)$ : ¿cuántos años vivió César?
el emperador Augusto nació en el $63$ a. C. y murió en el $14$ d. C. La misma receta da $14 - (-63) = 77$ años — pero los historiadores insisten en que murió con $76$ . Su objeción: el recuento $77$ atraviesa un año que nunca existió. ¿Cuál?
los astrónomos reparan la línea del tiempo cambiando las etiquetas: los años d. C. conservan su número (el $+14$ sigue siendo $+14$ ), pero el $1$ a. C. pasa a ser $0$ , el $2$ a. C. pasa a ser $-1$ y, en general, el año $n$ a. C. pasa a ser $-(n - 1)$ . Convierte el $63$ a. C. y rehaz el cálculo de la pregunta 4 con los números de los astrónomos. ¿Satisface ahora la respuesta a los historiadores?

Parte II — Calcular a través de las eras. A partir de ahora, usa el cambio de etiquetas de los astrónomos en todos los cálculos y vuelve a a. C./d. C. al final (un año etiquetado $0$ o negativo $-m$ es el año $m + 1$ a. C. de los historiadores).

convierte a números de astrónomo: $1$ a. C.; $10$ a. C.; $476$ d. C.; y $753$ a. C., la fundación legendaria de Roma;
¿cuántos años pasaron desde la fundación de Roma ( $753$ a. C.) hasta la caída del Imperio de Occidente ( $476$ d. C.)?
un cometa vuelve cada $76$ años y apareció en el $12$ a. C. Di los años de los historiadores de sus tres siguientes apariciones y el de la aparición justo anterior al $12$ a. C.;
¿cuántos años pasaron del $5$ a. C. al $5$ d. C.? (La respuesta tentadora es $10$ ; la línea del tiempo dice otra cosa.)
un niño nacido en el $3$ a. C. cumplió diez años ¿en qué año (a. C. o d. C.)?

Parte III — El principio de la variación neta.

la distancia entre dos números de la recta es el mayor menos el menor — siempre positiva. Calcula la distancia entre $-7$ y $-2$ , y después entre $-3.5$ y $4.5$ ;
un ascensor sale de la planta $0$ y hace los movimientos $+3$ , $-5$ , $+2$ , $-1$ , $+4$ . Calcula la planta final agrupando con astucia (Método 46.4, primero los opuestos cuando se pueda). ¿Cambiaría el destino hacer los movimientos en otro orden? ¿Por qué?
día a día, la temperatura varía en $+2$ , $-4$ , $+1$ , $0$ , $-3$ , $+5$ y $-2$ grados a lo largo de una semana. Calcula la variación neta. Si la semana empezó a $-2$ grados, ¿en cuánto terminó? Enuncia el principio: valor final $=$ valor inicial $+$ (suma de todas las variaciones);
el paseo de una senderista la devuelve exactamente a su altitud de partida. ¿Cuánto tiene que valer la suma de todas sus variaciones de altitud y por qué? De sus seis variaciones registradas, cinco son $+4$ , $-7$ , $+2$ , $+3$ y $-5$ (en centenares de metros): halla la sexta;
el final, de vuelta en Roma. Un historiador calcula: «la República fue del $509$ a. C. al $27$ a. C., y después el Imperio hasta el $476$ d. C.; en total, del $509$ a. C. al $476$ d. C., es decir, $509 + 476 = 985$ años de Estado romano». Rehaz el cálculo con los números de los astrónomos. ¿Cuál es el total correcto y qué año, una vez más, ha causado el error?

Solución

Solución de Problema 46.1.

1. $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ m (Teorema 46.6: restar un negativo es sumar).

2. Saldo:

(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30 \text{ euros}.

Para devolver los $-45$ iniciales a $0$ , hay que ingresar su opuesto: $45$ euros.

3. $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$ : César vivió $56$ años. (Aquí no hay trampa: los dos años están del mismo lado del cambio de era.)

4. El año $0$ : contar desde $-63$ hasta $+14$ pasa por $0$ , pero el calendario de los historiadores salta directamente del $1$ a. C. al $1$ d. C. — el año $0$ nunca existió, así que el recuento ingenuo sobra un año.

5. El $63$ a. C. pasa a ser $-(63 - 1) = -62$ . Entonces, $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ años: exactamente la cifra de los historiadores. En la recta reetiquetada de los astrónomos no hay huecos, así que la resta ordinaria da duraciones verdaderas.

6. $1$ a. C. $\to 0$ ; $10$ a. C. $\to -9$ ; $476$ d. C. $\to +476$ ; $753$ a. C. $\to -752$ .

7. $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ años.

8. El $12$ a. C. es $-11$ . Apariciones siguientes: $-11 + 76 = 65$ , después $141$ y después $217$ : los años $65$ , $141$ y $217$ d. C. La anterior: $-11 - 76 = -87$ , que es el año $87 + 1 = 88$ a. C. de los historiadores.

9. El $5$ a. C. es $-4$ , así que $5 - (-4) = 9$ años — no $10$ . El año cero que falta ataca siempre que una duración cruza el cambio de era.

10. El $3$ a. C. es $-2$ ; diez años después es $-2 + 10 = +8$ : el niño cumplió diez años en el año $8$ d. C.

11. Entre $-7$ y $-2$ : $(-2) - (-7) = 5$ . Entre $-3.5$ y $4.5$ : $4.5 - (-3.5) = 8$ .

12. Agrupando opuestos y números amigos:

3 + (-5) + 2 + (-1) + 4 = \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4 = 0 + (-1) + 4 = +3 :

el ascensor termina en la planta $3$ . El orden no importa: una suma de números relativos se puede reorganizar libremente (cada movimiento se recorre sobre la misma recta y el paseo total es el mismo).

13. Variación neta: $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ grado. Empezando en $-2$ : temperatura final $-2 + (-1) = -3$ grados. En general, el valor final es el valor inicial más la suma de todas las variaciones — no hace falta seguir las subidas y bajadas una a una.

14. Volver al punto de partida significa variación neta $0$ : las subidas y las bajadas tienen que cancelarse exactamente. Las cinco variaciones conocidas suman $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$ , así que la sexta es la opuesta: $+3$ (trescientos metros de subida).

15. Con los astrónomos: $509$ a. C. $\to -508$ , y $476 - (-508) = 984$ años. Los $509 + 476 = 985$ del historiador cuentan un año de más — una vez más el año cero fantasma, incluido en silencio en la suma pero ausente de la historia. (Como comprobación, las dos eras: República de $-508$ a $-26$ , $482$ años; Imperio de $-26$ a $+476$ , $502$ años; $482 + 502 = 984$ .)