54Multiplicar números relativos

Problema 54.1

Problema de fin de semana — las reglas de los signos deducidas de la distributividad y la suma alternada $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

La demostración del Teorema 54.1 continuaba un patrón y afirmaba que «cualquier otra elección rompería la distributividad». Este problema hace exacta esa afirmación: partiendo solo de la distributividad (Teorema 45.6), demostrarás las reglas de los signos — sin dibujos ni patrones, como lo hace el álgebra — y después las pondrás a trabajar con las potencias de $-1$ y con una suma famosa de signos alternados. En todo momento, $a$ y $b$ son números relativos; damos por sabidas las reglas de la suma del Capítulo 46, que $1 \times a = a$ y que un producto se puede calcular en cualquier orden (así que la distributividad se aplica por los dos lados de un producto).

Parte I — Las reglas de los signos son teoremas.

1. demuestra que $0 \times a = 0$ para todo número relativo $a$. (Escribe $0 = 0 + 0$, desarrolla $(0 + 0) \times a$ y pregúntate qué número, sumado a $0 \times a$, devuelve $0 \times a$.)

2. desarrolla $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ para mostrar que $(-1) \times a + a = 0$, y concluye que

   $$(-1) \times a = -a :$$

   multiplicar por $-1$ da el opuesto. Compáralo con el Ejercicio 54.11, que es el caso $a = -1$;

3. deduce que $(-a) \times b = -(a \times b)$: un signo menos sale intacto de un producto;
4. deduce que $(-a) \times (-b) = a \times b$: dos signos menos se cancelan;
5. todo número relativo es su distancia al cero con un signo delante: $a = +d$ o $a = -d$. Explica cómo las preguntas 3 y 4 demuestran los cuatro casos de la tabla de signos del Teorema 54.1, distancias incluidas.

Parte II — Las potencias de $-1$.

6. calcula $(-1)^2$, $(-1)^3$, $(-1)^4$ y $(-1)^5$, y da después, justificándolo con la Proposición 54.3, el valor de $(-1)^n$ para todo número entero $n \geq 1$;

7. da (sin calcular ninguna distancia) el signo de

   $$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$$

   y escribe la distancia de ese producto como un producto de números enteros, sin desarrollarlo;

8. demuestra que $(-a)^2 = a^2$ y que $(-a)^3 = -a^3$. ¿Para qué exponentes sobrevive el signo menos?
9. usa las reglas de los signos para mostrar que el cuadrado de un número relativo nunca es negativo, y deduce que ningún número relativo $x$ cumple $x^2 = -4$;
10. Zoe afirma: «$(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ y, más en general, dos potencias consecutivas de $-1$ siempre se cancelan». ¿Tiene razón? Justifícalo.

Parte III — La suma alternada. Con las reglas de los signos aseguradas, podemos calcular sumas que mezclan los dos signos. Para un número entero $n \geq 1$, sea

la suma de los números enteros de $1$ a $n$ con signos alternados: el último término es $+n$ si $n$ es impar y $-n$ si $n$ es par. Así, $A_1 = 1$ y $A_2 = 1 - 2 = -1$.

11. calcula $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$ y $A_7$. ¿Qué conjeturas?
12. supón que $n$ es par. Agrupa los términos de dos en dos, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$, cuenta las parejas y demuestra que $A_n = -\frac{n}{2}$.
13. supón que $n$ es impar. Explica por qué $A_n = A_{n-1} + n$ y deduce de la pregunta anterior que $A_n = \frac{n + 1}{2}$.
14. calcula $A_{100}$, $A_{101}$ y $A_{2026}$;
15. Alma calculó $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ y le sorprendió obtener exactamente $101$. ¿Debería haberle sorprendido? Explícalo en una frase y di el valor de $A_{2027} - A_{2026}$ sin ningún cálculo más.