Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

18Figuras y ángulos rectos

Cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos: las figuras son viejas conocidas. Este capítulo las mira con ojos de geómetra — ¿qué hace exactamente que un cuadrado sea un cuadrado? — y presenta la herramienta que lo decide: la escuadra y su ángulo recto.

18.1 El ángulo recto

Definición 18.1 (Ángulo recto)

Un ángulo recto es el ángulo de la esquina de una hoja de papel o de la escuadra. Dos rectas que forman un ángulo recto son perpendiculares. En las figuras, un ángulo recto se marca con un cuadradito en la esquina.

Método 18.2 (Comprobar un ángulo recto)

coloca la esquina de la escuadra exactamente sobre la esquina que quieres comprobar;
desliza un borde de la escuadra a lo largo de un lado del ángulo;
si el otro lado del ángulo sigue exactamente el otro borde, el ángulo es recto — si se abre más o menos, no lo es.

Solo el primer ángulo es recto — y únicamente el cuadradito de la marca, o la escuadra, pueden certificarlo: la vista sola se engaña con facilidad.

18.2 Las figuras y sus reglas

Definición 18.3 (Cuadrado, rectángulo, triángulo)

un rectángulo tiene $4$ lados y $4$ ángulos rectos; sus lados opuestos miden lo mismo;
un cuadrado es un rectángulo cuyos $4$ lados miden todos lo mismo;
un triángulo tiene $3$ lados; un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto;
un círculo se traza con el compás: todos sus puntos están a la misma distancia (el radio) del centro.

La galería de figuras, con sus marcas: cuadraditos para los ángulos rectos y trazos pequeños para los lados iguales.

Ejemplo 18.4 (Por qué importan las marcas)

Una figura dibujada un poco inclinada puede parecer un cuadrado sin serlo. Las marcas dicen la verdad: $4$ cuadraditos de ángulo recto $+$ $4$ trazos $=$ un cuadrado de verdad. Cuando dibujes, pon las marcas; cuando leas una figura, fíate solo de las marcas y de las medidas dadas.

18.3 Dibujar en papel cuadriculado

Método 18.5 (Construcciones en la cuadrícula)

El papel cuadriculado regala ángulos rectos: sus líneas son perpendiculares.

para dibujar un rectángulo de $5$ por $3$ : elige un cruce, cuenta $5$ casillas a la derecha y $3$ hacia arriba, y cierra la figura siguiendo las líneas de la cuadrícula;
para comprobar longitudes iguales, cuenta casillas;
los pasos en diagonal dan líneas inclinadas: repetir « $1$ a la derecha, $1$ arriba» traza una recta de $45^\circ$ .

Dos construcciones en la cuadrícula: las líneas de la cuadrícula garantizan los ángulos rectos.

Ejemplo 18.6 (Un programa de construcción)

Una figura se puede describir con instrucciones: «1. Traza un cuadrado $ABCD$ de lado $4$ cm. 2. Traza la circunferencia de centro $A$ que pasa por $B$ .» Siguiendo un programa línea a línea, cualquiera puede volver a dibujar la misma figura — y escribirlo obliga a nombrar todos los puntos. Pruébalo con un compañero: uno escribe y el otro dibuja.

18.4 Ejercicios

Ejercicio 18.1 ★

En clase, busca (sin medir) tres ángulos rectos y un ángulo que no lo sea. ¿Cómo puedes comprobar cada uno?

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

Ángulos rectos típicos: las esquinas de la pizarra, de una hoja de papel o de la puerta. Un ángulo que no es recto: la abertura de unas tijeras o las agujas del reloj a la una en punto. Cada uno se comprueba con la escuadra (Método 18.2) — nunca solo a ojo.

Ejercicio 18.2 ★

Dibuja un rectángulo de $6$ cm por $4$ cm con regla y escuadra. Marca sus ángulos rectos y sus lados iguales.

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

Construcción: un lado de $6$ cm, ángulos rectos en los dos extremos con la escuadra, lados de $4$ cm y cerrar la figura. Marcas: $4$ cuadraditos en las esquinas, un trazo en cada lado de $6$ cm y un doble trazo en cada lado de $4$ cm.

Ejercicio 18.3 ★

Dibuja un cuadrado de lado $5$ cm. ¿Cuántos ángulos rectos tiene? ¿Cuántos lados iguales? Márcalo todo.

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

Un cuadrado tiene $4$ ángulos rectos y $4$ lados iguales — todo marcado.

Ejercicio 18.4 ★

En papel cuadriculado, dibuja: un cuadrado de $4 \times 4$ ; un rectángulo de $7 \times 2$ ; un triángulo rectángulo con catetos de $3$ y $5$ casillas.

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

Construcciones en la cuadrícula; la cuadrícula garantiza los ángulos rectos y contar casillas garantiza las longitudes.

Ejercicio 18.5 ★

¿Verdadero o falso? Explícalo. «Todo cuadrado es un rectángulo.» «Todo rectángulo es un cuadrado.» «Un triángulo puede tener dos ángulos rectos.» (¡Intenta dibujarlo!)

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

«Todo cuadrado es un rectángulo»: verdadero — tiene $4$ ángulos rectos, que es todo lo que exige un rectángulo.

«Todo rectángulo es un cuadrado»: falso — un rectángulo de $6 \times 4$ tiene los lados desiguales.

«Un triángulo puede tener dos ángulos rectos»: falso — los dos lados trazados desde los dos ángulos rectos serían perpendiculares a la misma recta base y, por tanto, no se cortarían nunca para cerrar el triángulo.

Ejercicio 18.6 ★

Traza una circunferencia de radio $4$ cm. Marca su centro $O$ , un punto $A$ sobre la circunferencia y traza el radio $[OA]$ . ¿Cuánto mide $OA$ ? Y si $B$ es otro punto de la circunferencia, ¿cuánto mide $OB$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

$OA = 4$ cm (el radio). $OB = 4$ cm también: todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia del centro.

Ejercicio 18.7 ★

Sigue este programa: «1. Traza un rectángulo $ABCD$ con $AB = 6$ cm y $BC = 3$ cm. 2. Marca el punto $M$ en el medio de $[AB]$ . 3. Une $M$ con $C$ y con $D$ .» ¿En qué figuras ha quedado dividido el rectángulo?

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

El rectángulo queda dividido en tres triángulos: dos triángulos rectángulos ( $AMD$ y $MBC$ , rectos en $A$ y en $B$ ) y el triángulo central $MCD$ .

Ejercicio 18.8 ★

Clasifica las figuras: ¿cuáles de estas tienen al menos un ángulo recto? Un cuadrado; un rectángulo (no cuadrado); un triángulo rectángulo; un círculo; la letra L dibujada con trazos gruesos.

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

Con al menos un ángulo recto: el cuadrado, el rectángulo, el triángulo rectángulo y la letra L (sus esquinas interiores y exteriores). El círculo no tiene ninguna esquina.

Ejercicio 18.9 ★★

En papel cuadriculado, dibuja un cuadrado inclinado cuyos lados vayan « $2$ a la derecha, $1$ arriba» (y los giros correspondientes). Cuenta casillas para convencerte de que los cuatro lados miden lo mismo.

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

Cada lado recorre « $2$ a la derecha, $1$ arriba» (o sus versiones giradas, « $1$ a la derecha, $2$ abajo», etc.): todos los lados son la diagonal de un bloque de $2 \times 1$ casillas, así que los cuatro miden lo mismo.

Ejercicio 18.10 ★★

Escribe un programa de construcción (instrucciones numeradas, puntos con nombre) para: un cuadrado de lado $3$ cm apoyado sobre un rectángulo de $3$ cm $\times$ $2$ cm, como una casa sobre su planta baja. Prueba tu programa con un compañero.

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

Un programa correcto: «1. Traza un rectángulo $ABCD$ con $AB = 3$ cm (abajo) y $BC = 2$ cm. 2. Sobre el lado $[DC]$ , traza el cuadrado $DCEF$ de lado $3$ cm, por fuera del rectángulo.» Vale cualquier programa claro, numerado y completo — compruébalo siguiéndolo al pie de la letra.

Ejercicio 18.11 ★★

¿Cuántos cuadrados sabes encontrar en una cuadrícula de $3 \times 3$ casillas? (Cuenta los de $1 \times 1$ , los de $2 \times 2$ y el de $3 \times 3$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

Cuadrados de $1 \times 1$ : $9$ . Cuadrados de $2 \times 2$ : $4$ . De $3 \times 3$ : $1$ . Total: $9 + 4 + 1 = 14$ cuadrados.