Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

22Multiplicar números mayores

El año pasado multiplicamos por una cifra (Capítulo 16); este capítulo multiplica por números de dos cifras — y explica la misteriosa «línea desplazada» del método en columna, que no es más que una descomposición en decenas y unidades.

22.1 Multiplicar por decenas

Proposición 22.1 (Por 10, por 20, por 300 …)

Multiplicar por $10$ añade un cero y por $100$ , dos ceros. Para multiplicar por $20$ , multiplica por $2$ y después por $10$ :

36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 .

Del mismo modo, $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

22.2 El método en columna con dos cifras

Ejemplo 22.2 (¿Por qué la línea desplazada?)

Para calcular $23 \times 12$ , descompón $12$ en $10 + 2$ :

23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 .

El método en columna escribe exactamente estos dos productos, uno debajo del otro — el segundo desplazado a la izquierda porque es un número de decenas:

\begin{array}{r} 2\,3 \\ \times\ 1\,2 \\ \hline 4\,6 \\ 2\,3\,\cdot \\ \hline 2\,7\,6 \end{array}

(el punto marca el lugar de las unidades de la línea desplazada, que a menudo se deja en blanco).

El dibujo rectangular de 23 × 12: cuatro productos fáciles, 200 + 40 + 30 + 6 = 276. El método en columna los agrupa en dos líneas: 46 (la fila del «× 2») y 230 (la fila del «× 10»). — El dibujo rectangular de $23 \times 12$ : cuatro productos fáciles, $200 + 40 + 30 + 6 = 276$ . El método en columna los agrupa en dos líneas: $46$ (la fila del « $\times 2$ ») y $230$ (la fila del « $\times 10$ »).

Método 22.3 (Multiplicar en columna por un número de dos cifras)

Para calcular $457 \times 36$ :

primera línea: $457 \times 6 = 2\,742$ ;
segunda línea: $457 \times 3$ decenas $= 1\,371$ decenas — escribe $1\,371$ desplazado un lugar a la izquierda;
suma las dos líneas: $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ;
estima para comprobar: $457 \times 36 \approx 500 \times 36 = 18\,000$ ? Better: $450 \times 36$ is about $16\,000$ — verosímil.

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ \times\ \ \,3\,6 \\ \hline 2\,7\,4\,2 \\ 1\,3\,7\,1\,\cdot \\ \hline 1\,6\,4\,5\,2 \end{array}

Ejemplo 22.4 (Trucos de cálculo mental)

Descomponer de forma amable: $18 \times 11 = 18 \times 10 + 18 = 198$ .
Usar un número cercano a cien: $25 \times 99 = 25 \times 100 - 25 = 2\,475$ .
Doblar y partir por la mitad: $16 \times 35 = 8 \times 70 = 560$ (partir un factor por la mitad y doblar el otro conserva el producto).

22.3 La multiplicación en los problemas

Ejemplo 22.5

Un colegio encarga $28$ cajas de $145$ hojas de papel.

operación: $145 \times 28$ ;
estimación: $150 \times 30 = 4\,500$ , un poco por encima en los dos factores;
columnas: $145 \times 8 = 1\,160$ ; $145 \times 2$ decenas $= 2\,900$ ; total, $4\,060$ ;
frase: el colegio recibe $4\,060$ hojas.

22.4 Ejercicios

Ejercicio 22.1 ★

Calcula de cabeza: $47 \times 10$ ; $23 \times 100$ ; $36 \times 20$ ; $15 \times 300$ ; $42 \times 50$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

$470$ ; $2\,300$ ; $720$ ; $4\,500$ ; $2\,100$ .

Ejercicio 22.2 ★

Calcula $34 \times 21$ descomponiendo como en el Ejemplo 22.2 ( $34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$ ) y comprueba después en columna.

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

$34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$ ; las columnas dan las mismas líneas: $34$ y $680$ .

Ejercicio 22.3 ★

Calcula en columna: $63 \times 24$ ; $85 \times 47$ ; $126 \times 53$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

$63 \times 24 = 1\,512$ ; $85 \times 47 = 3\,995$ ; $126 \times 53 = 6\,678$ .

Ejercicio 22.4 ★

Calcula en columna, con una estimación previa: $208 \times 34$ ; $517 \times 62$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

$208 \times 34$ : estimación $200 \times 34 = 6\,800$ ; exactamente $7\,072$ .

$517 \times 62$ : estimación $500 \times 60 = 30\,000$ ; exactamente $32\,054$ .

Ejercicio 22.5 ★

Calcula con un truco del Ejemplo 22.4: $45 \times 11$ ; $32 \times 99$ ; $24 \times 45$ (dobla y parte por la mitad — dos veces si quieres).

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

$45 \times 11 = 450 + 45 = 495$ .

$32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$ .

$24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (o una vez más: $6 \times 180 = 1\,080$ ).

Ejercicio 22.6 ★

Un cine tiene $26$ filas de $18$ butacas. ¿Cuántas butacas hay en total?

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

$26 \times 18 = 468$ butacas.

Ejercicio 22.7 ★

Un camión lleva $32$ palés de $48$ cajas. ¿Cuántas cajas son? Da primero una estimación y luego la respuesta exacta.

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

Estimación: $30 \times 50 = 1\,500$ . Exactamente: $32 \times 48 = 1\,536$ cajas.

Ejercicio 22.8 ★

Busca el error: Ana calcula $57 \times 23$ así: $57 \times 3 = 171$ y $57 \times 2 = 114$ , y después suma $171 + 114 = 285$ . La respuesta correcta es $1\,311$ . ¿Qué ha olvidado?

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

Ha olvidado que el $2$ del $23$ cuenta decenas: la segunda línea debe ser $57 \times 20 = 1\,140$ , no $114$ . Total correcto: $171 + 1\,140 = 1\,311$ .

Ejercicio 22.9 ★★

Un jardinero planta $14$ filas de $35$ tulipanes y $12$ filas de $28$ narcisos. ¿Cuántas flores hay en total? (Dos productos y luego una suma.)

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

Tulipanes: $14 \times 35 = 490$ . Narcisos: $12 \times 28 = 336$ . Total: $490 + 336 = 826$ flores.

Ejercicio 22.10 ★★

Cada día, una panadería gasta $67$ kg de harina. ¿Cuánta harina es eso en un mes de $30$ días? Estima con números redondeados y después calcula con exactitud.

Solución

Solución de Ejercicio 22.10.

Estimación: $70 \times 30 = 2\,100$ kg. Exactamente: $67 \times 30 = 2\,010$ kg.

Ejercicio 22.11 ★★

Explica, con un dibujo rectangular como el de este capítulo, por qué $15 \times 12$ se puede calcular como $15 \times 10 + 15 \times 2$ . Después inventa otra descomposición de $15 \times 12$ que también funcione.

Solución

Solución de Ejercicio 22.11.

Un rectángulo de $15 \times 12$ formado por cuadraditos unidad se puede cortar con una recta vertical en una parte de $15 \times 10$ y otra de $15 \times 2$ : contando cada parte se obtiene $150 + 30 = 180$ . Otro corte funciona igual de bien; por ejemplo, $15 = 10 + 5$ : $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$ . Cualquier manera de cortar el rectángulo deja igual el número total de cuadraditos.