Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

63Fracciones y potencias

Las fracciones y las potencias son las herramientas de cálculo de todos los días: repartir cantidades, comparar proporciones, escribir números muy grandes o muy pequeños. Este capítulo consolida las reglas para calcular con ellas — con todos los pasos intermedios escritos — e introduce la notación científica.

63.1 Calcular con fracciones

Definición 63.1 (Fracción)

Una fracción $\dfrac ab$ (con $b \neq 0$ ) es el cociente de $a$ entre $b$ . Dos fracciones son iguales cuando una se obtiene de la otra multiplicando (o dividiendo) numerador y denominador por el mismo número no nulo:

\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).

Ejemplo 63.2

Simplifica $\dfrac{42}{56}$ paso a paso:

\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .

(En el Capítulo 64 el máximo común divisor hará esto en un solo paso.)

Método 63.3 (Sumar y restar fracciones)

pon las dos fracciones con un denominador común (un múltiplo común de los dos denominadores);
suma o resta los numeradores, conservando el denominador;
simplifica el resultado si se puede.

Ejemplo 63.4

Calcula $\dfrac56 + \dfrac34$ . Un denominador común de $6$ y $4$ es $12$ :

\frac56 + \frac34 = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}.

Calcula $2 - \dfrac37$ . Escribe $2$ como fracción con denominador $7$ :

2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.

Por qué un denominador común: cortar las dos unidades en 12 casillas iguales hace que las fracciones sean comparables y sumables — juntas, 10 + 9 = 19 doceavos. — Por qué un denominador común: cortar las dos unidades en $12$ casillas iguales hace que las fracciones sean comparables y sumables — juntas, $10 + 9 = 19$ doceavos.

Método 63.5 (Multiplicar y dividir fracciones)

para multiplicar, multiplica los numeradores entre sí y los denominadores entre sí: $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd}$ (simplifica antes de multiplicar siempre que puedas);
para dividir, multiplica por el inverso del divisor: $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ .

Ejemplo 63.6

\frac{7}{15} \times \frac{25}{14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7} = \frac{25}{30} = \frac56,

donde hemos simplificado por el factor común $7$ y después por $5$ . Y una división:

\frac{3}{4} \div \frac{9}{8} = \frac34 \times \frac89 = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac23 .

63.2 Las potencias

Definición 63.7 (Potencia)

Para un número real $a$ y un número entero positivo $n$ , la potencia $a^n$ es el producto de $n$ factores iguales a $a$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ factores}} .

Por convenio $a^0 = 1$ (para $a \neq 0$ ), y los exponentes negativos indican inversos:

a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Ejemplo 63.8

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ ; $(-3)^2 = 9$ , pero $-3^2 = -(3^2) = -9$ (el exponente actúa antes que el signo menos); $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$ ; $5^1 = 5$ y $5^0 = 1$ .

Teorema 63.9 (Reglas de los exponentes)

Para todos los $a$ , $b$ no nulos y todos los números enteros $m$ , $n$ :

a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

Demostración. Para exponentes positivos, cuenta los factores. Para la primera regla: $a^m \times a^n$ son $m$ factores $a$ seguidos de $n$ factores $a$ , en total $m + n$ factores. Para la tercera: $\left(a^m\right)^n$ repite $n$ veces un bloque de $m$ factores, lo que da $mn$ factores. Las otras dos reglas son parecidas; la extensión al cero y a los exponentes negativos se comprueba a partir de $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (y hace del convenio $a^0 = 1$ la única elección coherente, ya que $a^n \times a^0$ tiene que ser $a^{n+0} = a^n$ ). ∎

Ejemplo 63.10

Simplifica paso a paso:

\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4} = \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 .

Y con dos letras: $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$ .

63.3 Las potencias de diez y la notación científica

Proposición 63.11 (Potencias de diez)

Para un número entero positivo $n$ : $10^n$ se escribe « $1$ seguido de $n$ ceros», y $10^{-n} = 0.0\dots01$ con el $1$ en el $n$ -ésimo lugar decimal. Multiplicar un número decimal por $10^n$ (resp. $10^{-n}$ ) desplaza su punto decimal $n$ lugares a la derecha (resp. a la izquierda).

Definición 63.12 (Notación científica)

La notación científica de un número decimal positivo es la única manera de escribirlo como

a \times 10^n, \qquad\text{con } 1 \leq a < 10 \text{ y } n \text{ entero.}

Ejemplo 63.13

La distancia Tierra–Sol es de unos $149\,600\,000$ km $= 1.496 \times 10^8$ km. El tamaño de una molécula de agua es de unos $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m. Para calcular con estos números, agrupa las partes decimales y las potencias de diez:

(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2}) = (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)} = 7.5 \times 10^{3}.

Método 63.14 (Poner un número en notación científica)

desplaza el punto decimal justo detrás de la primera cifra no nula; eso da el factor $a$ con $1 \leq a < 10$ ;
cuenta cuántos lugares se ha movido el punto: esa cuenta es $n$ , positiva si el número de partida era $\geq 10$ , negativa si era $< 1$ ;
comprueba: $a \times 10^n$ tiene que reproducir el número de partida.

63.4 Ejercicios

Ejercicio 63.1 ★

Calcula y da el resultado como fracción totalmente simplificada:

\frac13 + \frac15, \qquad \frac72 - \frac53, \qquad \frac{5}{12} + \frac38, \qquad 3 - \frac45 .

Solución

Solución de Ejercicio 63.1.

$\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$ .

$\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$ .

$\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{19}{24}$ .

$3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$ .

Ejercicio 63.2 ★

Calcula y simplifica:

\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad \frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad \frac23 \times \frac34 \times \frac45 .

Solución

Solución de Ejercicio 63.2.

$\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35} = \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ (simplificando por $9$ y por $5$ ).

$\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54 = \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$ .

$\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4} {3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ (los $3$ y los $4$ se cancelan).

Ejercicio 63.3 ★

Calcula:

2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad \left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .

Solución

Solución de Ejercicio 63.3.

$2^5 = 32$ ; $(-2)^4 = 16$ ; $-2^4 = -16$ ; $4^{-2} = \frac{1}{16}$ ; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$ ; $7^0 = 1$ .

Ejercicio 63.4 ★

Escribe como una sola potencia:

5^3 \times 5^6, \qquad \frac{7^9}{7^5}, \qquad \left(2^3\right)^4, \qquad \frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad 2^5 \times 4 .

Solución

Solución de Ejercicio 63.4.

$5^3 \times 5^6 = 5^9$ ; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$ ; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$ ; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$ ; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$ .

Ejercicio 63.5 ★

Escribe en notación científica: $45\,000$ ; $0.0072$ ; $302.5$ ; $0.000\,000\,9$ ; doce millones.

Solución

Solución de Ejercicio 63.5.

$45\,000 = 4.5 \times 10^4$ ; $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$ ; $302.5 = 3.025 \times 10^2$ ; $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$ ; doce millones $= 1.2 \times 10^7$ .

Ejercicio 63.6 ★★

Calcula y da el resultado en notación científica:

(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}), \qquad \frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}}, \qquad (5 \times 10^3)^2 .

Solución

Solución de Ejercicio 63.6.

$(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$ .

$\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)} = 3 \times 10^7$ .

$(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$ .

Ejercicio 63.7 ★★

Un depósito está lleno hasta sus $\frac35$ . Tras añadir $30$ litros está lleno hasta sus $\frac34$ . ¿Cuál es la capacidad del depósito? (Expresa primero la fracción del depósito que se ha añadido.)

Solución

Solución de Ejercicio 63.7.

El agua añadida representa $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$ del depósito. Así que $\frac{3}{20}$ de la capacidad son $30$ litros: $\frac{1}{20}$ son $10$ litros, y la capacidad es de $200$ litros.

Ejercicio 63.8 ★★

Alicia se come $\frac14$ de un pastel, después Ben se come $\frac13$ de lo que queda y después Carla se come $\frac12$ de lo que queda todavía. ¿Qué fracción del pastel queda al final? (Calcula el resto después de cada paso.)

Solución

Solución de Ejercicio 63.8.

Después de Alicia queda $1 - \frac14 = \frac34$ del pastel. Ben se come $\frac13 \times \frac34 = \frac14$ , y quedan $\frac34 - \frac14 = \frac12$ . Carla se come la mitad de eso, $\frac14$ , y queda $\frac14$ del pastel.

Ejercicio 63.9 ★★

La luz recorre $3 \times 10^8$ metros por segundo. El Sol está a unos $1.5 \times 10^{11}$ m. ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar hasta nosotros? Da la respuesta en segundos (no hace falta notación científica) y después en minutos y segundos.

Solución

Solución de Ejercicio 63.9.

Tiempo $= \dfrac{\text{distancia}}{\text{velocidad}} = \dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ segundos, es decir $8$ minutos y $20$ segundos.

Ejercicio 63.10 ★★★

¿Cuál es mayor, $2^{30}$ o $3^{20}$ ? (Pista: escribe los dos como potencias de exponente $10$ usando $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ , y compara $2^3$ con $3^2$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 63.10.

Escribe los dos números como potencias de exponente $10$ :

2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10}, \qquad 3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.

Como $8 < 9$ , al multiplicar diez copias de cada uno: $8^{10} < 9^{10}$ , luego $2^{30} < 3^{20}$ .

63.5 Problema: El código secreto de los decimales periódicos

Problema 63.1

Problema de fin de semana — toda fracción tiene una escritura decimal que se para o se repite, todo decimal periódico es una fracción, y $0.999\ldots$ vale exactamente $1$

Divide $3$ entre $11$ y las cifras caen en una cantinela: $0.272727\ldots$ para siempre. Divide $1$ entre $4$ y las cifras se paran en seco: $0.25$ . Este problema demuestra que esos son los dos únicos comportamientos posibles de una fracción — y después invierte la máquina: dado cualquier decimal periódico, reconstruye la fracción que se esconde detrás. Por el camino zanja, de una vez por todas, la igualdad más discutida de las matemáticas escolares.

Parte I — De la fracción al decimal.

calcula por división larga las escrituras decimales de $\frac14$ , $\frac13$ , $\frac56$ y $\frac{3}{11}$ . ¿Cuáles se paran, cuáles se repiten y con qué periodo?
explica por qué la escritura decimal de cualquier fracción $\frac ab$ tiene que pararse o acabar repitiéndose. (En la división larga entre $b$ , ¿qué valores pueden tomar los restos sucesivos? ¿Qué pasa en cuanto un resto aparece por segunda vez?)
lleva la división de $1$ entre $7$ lo bastante lejos como para hallar el periodo. ¿Qué longitud tiene y cómo se compara esa longitud con la cota prometida por la pregunta 2?
algunas fracciones se paran porque su denominador se puede inflar hasta una potencia de diez: $\frac14 = \frac{25}{100}$ , $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}$ . explica el criterio y por qué ningún multiplicador entero puede convertir nunca $3$ , $6$ u $11$ en $10$ , $100$ , $1000, \dots$ (¿en qué cifra terminaría el producto?);
sin dividir, clasifica $\frac{9}{40}$ , $\frac{5}{12}$ y $\frac{33}{50}$ en «se para» y «se repite», y da después la escritura decimal de las dos que se paran.

Parte II — Del decimal periódico de vuelta a la fracción.

el truco del desplazamiento. Sea $x = 0.7777\ldots$ Calcula $10x$ , después $10x - x$ , y deduce $x$ como fracción. Comprueba dividiendo;
sea $x = 0.727272\ldots$ ¿Qué potencia de diez desplaza $x$ exactamente un periodo? Úsala para escribir $x$ como fracción irreducible;
un caso mixto: $x = 0.58333\ldots$ (solo se repite el $3$ ). Calcula $1000x - 100x$ y deduce $x$ como fracción irreducible;
el famoso: aplica el truco del desplazamiento a $x = 0.9999\ldots$ ¿Qué fracción — qué número — encuentras? Concilia el resultado con tu intuición, recordando el vecino fantasma del Problema 38.1 y el resto que encoge del Problema 39.1: ¿ $0.999\ldots$ está «justo por debajo» de $1$ , o es otro nombre de $1$ ?;
convierte $2.454545\ldots$ y $0.123123123\ldots$ en fracciones irreducibles.

Parte III — El diccionario completo.

las preguntas 6–10 sugieren un diccionario: un bloque de $k$ cifras que se repite desde el punto decimal es igual a ese bloque sobre $k$ nueves ( $0.727272\ldots = \frac{72}{99}$ ). Usa el diccionario para predecir $0.037037\ldots$ como fracción, simplifica — y admírate: ¿qué fracción sorprendentemente sencilla canturrea « $037$ »? Compruébalo dividiendo;
combina el diccionario con un desplazamiento: escribe $0.0272727\ldots$ como fracción irreducible;
el número $0.101001000100001\ldots$ (un $1$ , después un $0$ , después un $1$ , después dos $0$ , después un $1$ , después tres $0$ , y así sucesivamente) no se para nunca. ¿Es un decimal periódico? ¿Qué dice entonces la Parte I sobre él: puede ser una fracción? (Acabas de encontrarte con tu primer número irracional demostrable; el más famoso se atrapa en el Capítulo 65);
¿aproximadamente cuántas cifras tiene $2^{30}$ ? Usa $2^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3$ y las reglas de los exponentes (Teorema 63.9) para escribir $2^{30}$ en notación científica (aproximada), y concluye. (Compara con el Ejercicio 63.10.);
final: escribe $0.20262026\ldots$ como fracción y enuncia la moraleja de doble sentido de todo el problema: qué escrituras decimales son fracciones y qué fracciones tienen qué escrituras decimales.

Solución

Solución de Problema 63.1.

1. $\frac14 = 0.25$ (se para); $\frac13 = 0.333\ldots$ (periodo $3$ ); $\frac56 = 0.8333\ldots$ (periodo $3$ tras el $8$ ); $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (periodo $27$ ).

2. En cada paso de la división entre $b$ , el resto es uno de los $b$ valores $0, 1, \dots, b - 1$ (Teorema 37.7). Si aparece un resto $0$ , la división se para. Si no, tras $b$ pasos como mucho algún resto tiene que aparecer por segunda vez — hay más pasos que restos posibles — y a partir de ese momento la división repite exactamente la sucesión de cifras que produjo tras la primera aparición: la escritura decimal cicla para siempre. Pararse o repetirse: no existe un tercer comportamiento.

3. $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$ : el periodo $142857$ tiene longitud $6$ . La pregunta 2 prometía una repetición en $7$ pasos como mucho — aquí los restos $1, 3, 2, 6, 4, 5$ aparecen todos antes de que vuelva el $1$ : la cantinela más larga posible para una división entre $7$ .

4. $\frac ab$ se para exactamente cuando algún $\frac{a \times k}{b \times k}$ tiene denominador $10$ , $100$ , $1000, \dots$ — es decir, cuando el denominador se puede multiplicar hasta una potencia de diez, como $4 \times 25 = 100$ o $8 \times 125 = 1\,000$ . Para $3$ y $6$ no hay nada que hacer: una potencia de diez tiene suma de cifras $1$ , y todo múltiplo de $3$ tiene una suma de cifras que es múltiplo de $3$ — así que ningún múltiplo de $3$ (y por tanto ninguno de $6$ ) es nunca $10$ , $100$ , $1\,000, \dots$ Para $11$ : dividir $10$ , $100$ , $1\,000$ , $10\,000$ entre $11$ siempre deja resto ( $10$ , $1$ , $10$ , $1, \dots$ ), nunca $0$ . Los denominadores que alcanzan una potencia de diez se paran; todos los demás se repiten.

5. $\frac{9}{40}$ : $40 \times 25 = 1\,000$ , se para: $\frac{225}{1000} = 0.225$ . $\frac{33}{50}$ : $50 \times 2 = 100$ , se para: $\frac{66}{100} = 0.66$ . $\frac{5}{12}$ : $12$ es múltiplo de $3$ , se repite ( $0.41666\ldots$ ).

6. $10x = 7.777\ldots$ , luego $10x - x = 7$ (las colas se cancelan a la perfección), $9x = 7$ y $x = \frac79$ . Comprobación por división: $7 \div 9 = 0.777\ldots$

7. El periodo tiene dos cifras, así que desplaza con $100$ : $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$ , de donde $99x = 72$ y $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$ .

8. $1000x = 583.333\ldots$ y $100x = 58.333\ldots$ ; restando, $900x = 525$ , luego $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ (divide entre $75$ ). En efecto, $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$

9. $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$ , luego $9x = 9$ y $x = 1$ . No está «justo por debajo» de $1$ : $0.999\ldots$ es el número $1$ , escrito con un segundo disfraz. Cualquier número estrictamente menor que $1$ deja un hueco, y Problema 38.1 mostró que un hueco siempre contiene más números — mientras que entre $0.999\ldots$ y $1$ no cabe nada. Los nueves sin fin son el resto de chocolate del Problema 39.1 encogido por debajo de cualquier cantidad positiva: no queda nada.

10. $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11} = \frac{27}{11}$ . Y $0.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ (divide entre $3$ ).

11. Diccionario: $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$ . Como $999 = 27 \times 37$ , esto se simplifica a $\frac{1}{27}$ : la fracción $\frac{1}{27}$ canturrea « $037$ ». Comprobación por división: $1 \div 27 = 0.037037\ldots$

12. $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times 0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ (divide entre $9$ ).

13. Los bloques de ceros crecen sin fin, así que ningún bloque fijo puede repetirse para siempre: no es un decimal periódico (y tampoco se para nunca). Por la Parte I, toda fracción se para o se repite — así que este número no es ninguna fracción: es irracional, hecho a medida. La superestrella de la irracionalidad, $\sqrt2$ , queda desenmascarada en el Capítulo 65.

14. $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx (1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9$ : un número un poco mayor que $10^9$ , luego con $10$ cifras. (Exactamente: $2^{30} = 1\,073\,741\,824$ .)

15. $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$ , ya irreducible ( $9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ no comparte ningún factor con $2026 = 2 \times 1013$ ). El diccionario completo: las fracciones son exactamente los decimales que se paran o se repiten — los denominadores amigos del diez se paran, todos los demás canturrean un periodo; y, recíprocamente, toda cantinela, incluso tu año de graduación, es una fracción disfrazada.

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