Mathematics · Book 1 · Grades 1–9

Matemáticas de primaria y secundaria

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63Fracciones y Potencias

fracciones y potestades son las herramientas cotidianas de computación: compartir cantidades, comparar proporciones, escribir muy grande o muy pequeño números. Este capítulo consolida las reglas para calcular con ellos — con cada paso intermedio escrito — e introduce científico notación.

63.1 Calcular con fracciones

Definición 63.1 (fracción)

A fracción ab\dfrac ab (con b≠0b \neq 0) es el cociente de aa por bb. Dos fracciones son iguales cuando una se obtiene de el otro multiplicando (o dividiendo) numerador y denominador por el mismo número distinto de cero:

ab=a×kb×k(k≠0).\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).

Ejemplo 63.2

Simplifica 4256\dfrac{42}{56} paso a paso:

4256=42÷256÷2=2128=21÷728÷7=34.\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .

(En Capítulo 64 el mayor común divisor hará esto de una vez paso.)

Método 63.3 (Suma y resto de fracciones)

  1. Coloque ambos fracciones sobre un common denominador (un múltiple de los dos denominadores);
  2. suma o resta el numeradores, manteniendo el denominador;
  3. simplifique el resultado si es posible.

Ejemplo 63.4

Calcule 56+34\dfrac56 + \dfrac34. Un denominador común de 66 y 44 es 1212:

56+34=5×26×2+3×34×3=1012+912=1912.\frac56 + \frac34 = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}.

Calcule 2−372 - \dfrac37. Escriba 22 como fracción sobre 77:

2−37=147−37=117.2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.
Por qué un denominador común: cortando ambos enteros en 12 iguales Las cajas hacen que el fracciones sea comparable y agregable — juntos, 10 + 9 = 19 doceavos.
Por qué un denominador común: cortando ambos enteros en 1212 iguales Las cajas hacen que el fracciones sea comparable y agregable — juntos, 10+9=1910 + 9 = 19 doceavos.

Método 63.5 (Multiplicar y dividir fracciones)

  1. Para multiplicar, multiplica numeradores juntos y denominadores juntos: ab×cd=acbd\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd} (simplifique antes multiplicando siempre que sea posible);
  2. para dividir, multiplicar por el inverso del divisor: ab÷cd=ab×dc\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc.

Ejemplo 63.6

715×2514=7×2515×14=7×2515×2×7=2530=56,\frac{7}{15} \times \frac{25}{14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7} = \frac{25}{30} = \frac56,

donde simplificamos por el factor común 77, luego por 55. y un división:

34÷98=34×89=3×84×9=2436=23.\frac{3}{4} \div \frac{9}{8} = \frac34 \times \frac89 = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac23 .

63.2 Potestades

Definición 63.7 (poder)

Para un número real aa y un entero positivo nn, el fuerza ana^n es el producto de nn factores iguales a aa:

an=a×a×⋯×a⏟n factors.a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ factors}} .

Por convención a0=1a^0 = 1 (para a≠0a \neq 0), y exponentes negativo denotan inversas:

a−n=1an.a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Ejemplo 63.8

24=2×2×2×2=162^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16; (−3)2=9(-3)^2 = 9 pero −32=−(32)=−9-3^2 = -(3^2) = -9 (el exponente se une antes que el signo menos); 10−3=11000=0.00110^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001; 51=55^1 = 5 y 50=15^0 = 1.

Teorema 63.9 (Reglas de exponentes)

Para todos los aa, bb distintos de cero y todos los números enteros mm, nn:

am×an=am+n,aman=am−n,(am)n=amn,(ab)n=anbn.a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

Demostración. Para exponentes positivo, cuente los factores. Para la primera regla: am×ana^m \times a^n es mm factores aa seguidos de nn factores aa, en total m+nm + n factores. Para el tercero: (am)n\left(a^m\right)^n repite nn veces un bloque de factores mm, dando mnmn factores. Las otras dos reglas son similares; la extensión a cero y exponentes negativo se verifica desde a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} (y hace la convención a0=1a^0 = 1 es la única opción consistente, ya que an×a0a^n \times a^0 debe ser an+0=ana^{n+0} = a^n). ∎

Ejemplo 63.10

Simplifica paso a paso:

37×3−234=37+(−2)34=3534=35−4=31=3.\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4} = \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 .

Y con dos letras: (2a3)2×a=4a6×a=4a7(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7.

63.3 Potencias de diez y notación científica.

Proposición 63.11 (Potencias de diez)

Para un número entero positivo nn: 10n10^n se escribe “11 seguido de nn ceros” y 10−n=0.0…0110^{-n} = 0.0\dots01 con 11 en el decimal nn lugar. Multiplicar un numero decimal por 10n10^n (resp. 10−n10^{-n}) cambia sus coma decimal nn se colocan a la derecha (resp. izquierda).

Definición 63.12 (Notación científica)

El notación científica de un positivo numero decimal es la forma única de escribirlo como

a×10n,with 1≤a<10 and n an integer.a \times 10^n, \qquad\text{with } 1 \leq a < 10 \text{ and } n \text{ an integer.}

Ejemplo 63.13

La distancia Tierra-Sol es de aproximadamente 149 600 000149\,600\,000 km =1.496×108= 1.496 \times 10^8 km. El tamaño de una molécula de agua es de aproximadamente 0.000 000 000 280.000\,000\,000\,28 m. =2.8×10−10= 2.8 \times 10^{-10}m. Para calcular con tales números, agrupe los partes decimales y el potestades de diez:

(3×105)×(2.5×10−2)=(3×2.5)×105+(−2)=7.5×103.(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2}) = (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)} = 7.5 \times 10^{3}.

Método 63.14 (Poner un número en notación científica)

  1. Mueva el coma decimal justo después del primer dígito distinto de cero; esto da el factor aa con 1≤a<101 \leq a < 10;
  2. cuenta el número de lugares que se movió el punto: ese recuento es nn, positivo si el número original era ≥10\geq 10, negativo si era <1< 1;
  3. Comprobación : a×10na \times 10^n debe reproducir el número original.

63.4 Ceremonias

Ejercicio 63.1 ★

Calcule y proporcione el resultado como fracción completamente simplificado:

13+15,72−53,512+38,3−45.\frac13 + \frac15, \qquad \frac72 - \frac53, \qquad \frac{5}{12} + \frac38, \qquad 3 - \frac45 .
Solución

Solución de Ejercicio 63.1.

13+15=515+315=815\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}.

72−53=216−106=116\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}.

512+38=1024+924=1924\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{19}{24}.

3−45=155−45=1153 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}.

Ejercicio 63.2 ★

Calcula y simplifica:

59×2735,815÷45,23×34×45.\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad \frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad \frac23 \times \frac34 \times \frac45 .
Solución

Solución de Ejercicio 63.2.

59×2735=5×279×35=279×535=3×17=37\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35} = \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37 (simplificar por 99 y por 55).

815÷45=815×54=8×515×4=4060=23\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54 = \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23.

23×34×45=2×3×43×4×5=25\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4} {3 \times 4 \times 5} = \dfrac25 (los 33 y 44 se cancelan).

Ejercicio 63.3 ★

Calcular:

25,(−2)4,−24,4−2,(23)3,70.2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad \left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .
Solución

Solución de Ejercicio 63.3.

25=322^5 = 32; (−2)4=16(-2)^4 = 16; −24=−16-2^4 = -16; 4−2=1164^{-2} = \frac{1}{16}; (23)3=827\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}; 70=17^0 = 1.

Ejercicio 63.4 ★

Escribe como un solo fuerza:

53×56,7975,(23)4,32×3735,25×4.5^3 \times 5^6, \qquad \frac{7^9}{7^5}, \qquad \left(2^3\right)^4, \qquad \frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad 2^5 \times 4 .
Solución

Solución de Ejercicio 63.4.

53×56=595^3 \times 5^6 = 5^9; 7975=74\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4; (23)4=212\left(2^3\right)^4 = 2^{12}; 32×3735=39−5=34\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4; 25×4=25×22=272^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7.

Ejercicio 63.5 ★

Escriba en notación científica: 45 00045\,000; 0.00720.0072; 302.5302.5; 0.000 000 90.000\,000\,9; doce millones.

Solución

Solución de Ejercicio 63.5.

45 000=4.5×10445\,000 = 4.5 \times 10^4; 0.0072=7.2×10−30.0072 = 7.2 \times 10^{-3}; 302.5=3.025×102302.5 = 3.025 \times 10^2; 0.000 000 9=9×10−70.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}; doce millones =1.2×107= 1.2 \times 10^7.

Ejercicio 63.6 ★★

Calcular, dando el resultado en notación científica:

(2×107)×(4.5×10−3),9×1053×10−2,(5×103)2.(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}), \qquad \frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}}, \qquad (5 \times 10^3)^2 .
Solución

Solución de Ejercicio 63.6.

(2×107)×(4.5×10−3)=9×104(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}.

9×1053×10−2=3×105−(−2)=3×107\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)} = 3 \times 10^7.

(5×103)2=25×106=2.5×107(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7.

Ejercicio 63.7 ★★

Un tanque está 35\frac35 lleno. Después de agregar 3030 litros, está lleno 34\frac34. ¿Cuál es el capacidad del tanque? (Exprese el fracción agregado del tanque primero.)

Solución

Solución de Ejercicio 63.7.

El agua añadida representa 34−35=1520−1220=320\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20} del tanque. Entonces 320\frac{3}{20} del capacidad es 3030 litros: 120\frac{1}{20} es 1010 litros y capacidad es 200200 litros.

Ejercicio 63.8 ★★

Alice se come 14\frac14 de un pastel, luego Ben se come 13\frac13 de lo que queda, luego Carla se come 12\frac12 de lo que aún queda. ¿Qué fracción del ¿Queda pastel al final? (Calcule resto después de cada paso).

Solución

Solución de Ejercicio 63.8.

Después de Alice: Queda 1−14=341 - \frac14 = \frac34 del pastel. ben come 13×34=14\frac13 \times \frac34 = \frac14, saliendo 34−14=12\frac34 - \frac14 = \frac12. Carla se come medio de eso, 14\frac14, dejando 14\frac14 del pastel.

Ejercicio 63.9 ★★

La luz viaja 3×1083 \times 10^8 metros por segundo. El sol está a punto 1.5×10111.5 \times 10^{11} m de distancia. ¿Cuánto tarda la luz del sol en llegar hasta nosotros? Dé la respuesta en segundos (notación científica no es necesario), luego en minutos y segundos.

Solución

Solución de Ejercicio 63.9.

Hora =distancespeed=1.5×10113×108=0.5×103=500= \dfrac{\text{distance}}{\text{speed}} = \dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500 segundos, es decir, 88 minutos y 2020 segundos.

Ejercicio 63.10 ★★★

¿Cuál es más grande, 2302^{30} o 3203^{20}? (Pista: escriba ambos como potestades con exponente 1010 usando (am)n=amn\left(a^m\right)^n = a^{mn} y compare 232^3 con 323^2.)

Solución

Solución de Ejercicio 63.10.

Escribe ambos números como potestades con exponente 1010:

230=(23)10=810,320=(32)10=910.2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10}, \qquad 3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.

Desde 8<98 < 9, multiplicando diez copias de cada uno: 810<9108^{10} < 9^{10}, entonces 230<3202^{30} < 3^{20}.

63.5 Problema: el código secreto de los decimales periódicos

Problema 63.1

Problema de fin de semana — cada fracción tiene un decimal escritura que se detiene o se repite, cada periódico decimal es un fracción, y 0.999…0.999\ldots es igual exactamente a 11

Divide 33 por 1111 y los dígitos caen en un canto: 0.272727…0.272727\ldots para siempre. Divide 11 por 44 y los dígitos se detienen muerto: 0.250.25. Este problema demuestra que estos son los únicos dos posibles comportamientos para un fracción — y luego invierte el máquina: dado cualquier decimal periódico, reconstruye el fracción escondiéndose detrás de él. En el camino se asienta, de una vez por todas, la El tema más discutido es el de la igualdad en las matemáticas escolares.

Parte I — From fracción to decimal.

  1. Calcular por división larga las escrituras decimales de 14\frac14, 13\frac13, 56\frac56 y 311\frac{3}{11}. ¿Qué parada, qué repetición y con qué bloque repetitivo?
  2. Explique por qué la escritura decimal de cualquier fracción ab\frac ab debe detenerse o eventualmente repetirse. (En el división larga por bb, cuyos valores pueden los sucesivos restos tomar? ¿Qué pasa en el momento en que resto? aparece por segunda vez?)
  3. Empuje la división de 11 por 77 lo suficiente para encontrar el bloque repetitivo. ¿Cuánto mide y cómo mide esa longitud? comparar con el límite prometido en la pregunta 2?
  4. Algunos fracciones se detienen porque su denominador puede ser ampliado a un fuerza de diez: 14=25100\frac14 = \frac{25}{100}, 38=3751000\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}. Explique el criterio y por qué no hay multiplicador de números enteros. alguna vez puede convertir 33, 66 o 1111 en 1010, 100100, 1000,…1000, \dots (¿en qué dígito terminaría el producto?).
  5. Sin dividir, ordenar 940\frac{9}{40}, 512\frac{5}{12} y 3350\frac{33}{50} en “paradas” y “repeticiones”, luego dé la escritura decimal de los dos que paran.

Parte II — From repeating decimal back to the fracción.

  1. El truco del cambio. Deje que x=0.7777…x = 0.7777\ldots calcule 10x10x, luego 10x−x10x - x y deduzca xx como fracción. Consultar por dividiendo.
  2. Deje x=0.727272…x = 0.727272\ldots Cual fuerza de diez turnos xx por ¿Exactamente un bloque repetido? Úselo para escribir xx como fracción en términos más bajos.
  3. Un caso mixto: x=0.58333…x = 0.58333\ldots (el 33 solo se repite). Calcule 1000x−100x1000x - 100x y deduzca xx como fracción en términos más bajos.
  4. El famoso: aplica el truco del cambio a x=0.9999…x = 0.9999\ldots Qué fracción — qué número — ¿lo encuentras? Concilia el resultado con tu intuición, recordando al vecino fantasma de Problema 38.1 y el cada vez más reducido resto de Problema 39.1: es 0.999…0.999\ldots “justo debajo” ¿11 u otro nombre para 11?
  5. Convertir 2.454545…2.454545\ldots y 0.123123123…0.123123123\ldots en fracciones en términos más bajos.

Parte III — The dictionary completed.

  1. Las preguntas 6 a 10 sugieren un diccionario: un bloque de kk Los dígitos que se repiten desde coma decimal son iguales a ese bloque. over kk nines (0.727272…=72990.727272\ldots = \frac{72}{99}). uso el diccionario para predecir 0.037037…0.037037\ldots como fracción, simplificar — y maravillarse: qué sorprendentemente simple fracción chants “037037”? Compruébalo por división.
  2. Combina el diccionario con un turno: escribe 0.0272727…0.0272727\ldots as a fracción in lowest terms.
  3. El número 0.101001000100001…0.101001000100001\ldots (un 11, luego uno 00, luego un 11, luego dos 00, luego un 11, luego tres 00s, and so on) never stops. Is it a repeating decimal? ¿Qué dice entonces la Parte I al respecto? ¿Puede ser una fracción? (You have just met your first provably irracional número; the most famous one is caught en Capítulo 65.)
  4. ¿Aproximadamente cuántos dígitos tiene 2302^{30}? uso 210=1 024≈1.024×1032^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3 y el exponente rules (Teorema 63.9) to write 2302^{30} in (approximate) notación científica, and concluir. (Compárese Ejercicio 63.10.)
  5. Final: escriba 0.20262026…0.20262026\ldots como fracción, y enunciar la moraleja bidireccional de todo el problema: ¿cuál las escrituras decimales son fracciones, y que fracciones tienen ¿Qué escrituras decimales?
Solución

Solución de Problema 63.1.

1. 14=0.25\frac14 = 0.25 (se detiene); 13=0.333…\frac13 = 0.333\ldots (bloque 33); 56=0.8333…\frac56 = 0.8333\ldots (bloque 33 después del 88); 311=0.272727…\frac{3}{11} = 0.272727\ldots (bloque 2727).

2. En cada paso de la división por bb, el resto es uno de los valores bb 0,1,…,b−10, 1, \dots, b - 1 (Teorema 37.7). Si aparece resto 00, el la división se detiene. De lo contrario, después de como máximo los pasos bb, algunos resto debe aparecer por segunda vez — hay más pasos de lo posible restos — y a partir de ese momento la división repite exactamente la secuencia de dígitos que produjo después de la Primera aparición: los ciclos de escritura decimal son eternos. Detener o Repito: no existe un tercer comportamiento.

3. 17=0.142857 142857…\frac17 = 0.142857\,142857\ldots: el bloque 142857142857 tiene una longitud 66. La pregunta 2 prometía una repetición dentro como máximo 77 pasos — aquí el restos 1,3,2,6,4,51, 3, 2, 6, 4, 5 todos aparecen antes de que regrese 11: el Canto más largo posible para una división por 77.

4. ab\frac ab se detiene exactamente cuando algunos a×kb×k\frac{a \times k}{b \times k} tiene denominador 1010, 100100, 1000,…1000, \dots — es decir, cuando el denominador puede ser multiplicado hasta un fuerza de diez, como 4×25=1004 \times 25 = 100 o 8×125=1 0008 \times 125 = 1\,000. Para 33 y 66 esto es inútil: a fuerza de diez tiene el dígito suma 11, y cada múltiple de 33 tiene un dígito suma que es un múltiple de 33 — entonces no múltiple de 33 (por lo tanto, ninguno de 66) es nunca 1010, 100100, 1 000,…1\,000, \dots Para 1111: dividiendo 1010, 100100, 1 0001\,000, 10 00010\,000 por 1111 siempre deja un resto (1010, 11, 1010, 1,…1, \dots), nunca 00. Denominadores que lleguen a un fuerza de diez paradas; todos los demás repiten.

5. 940\frac{9}{40}: 40×25=1 00040 \times 25 = 1\,000, paradas: 2251000=0.225\frac{225}{1000} = 0.225. 3350\frac{33}{50}: 50×2=10050 \times 2 = 100, paradas: 66100=0.66\frac{66}{100} = 0.66. 512\frac{5}{12}: 1212 es un múltiple de 33, se repite (0.41666…0.41666\ldots).

6. 10x=7.777…10x = 7.777\ldots, entonces 10x−x=710x - x = 7 (las colas cancelar perfectamente), 9x=79x = 7 y x=79x = \frac79. Verificación de división: 7÷9=0.777…7 \div 9 = 0.777\ldots

7. El bloque tiene dos dígitos, así que desplace 100100: 100x−x=72.7272…−0.7272…=72100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72, por lo tanto 99x=7299x = 72 y x=7299=811x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}.

8. 1000x=583.333…1000x = 583.333\ldots y 100x=58.333…100x = 58.333\ldots; restando, 900x=525900x = 525, entonces x=525900=712x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12} (dividir por 7575). De hecho 712=0.58333…\frac{7}{12} = 0.58333\ldots

9. 10x−x=9.999…−0.999…=910x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9, entonces 9x=99x = 9 y x=1x = 1. No "justo debajo" 11: 0.999…0.999\ldots is el número 11, escrito en un segundo disfraz. Cualquier número estrictamente inferior a 11 deja un espacio y Problema 38.1 mostró una brecha que siempre contiene más números — mientras que nada cabe entre 0.999…0.999\ldots y 11. Los nueves sin fin son el chocolate resto de Problema 39.1 se redujo por debajo de cada cantidad positiva: no queda nada.

10. 2.4545…=2+4599=2+511=27112.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11} = \frac{27}{11}. y 0.123123…=123999=413330.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333} (dividir por 33).

Diccionario 11.: 0.037037…=379990.037037\ldots = \frac{37}{999}. Desde 999=27×37999 = 27 \times 37, esto se simplifica a 127\frac{1}{27}: el fracción 127\frac{1}{27} canta “037037”. Verificación de división: 1÷27=0.037037…1 \div 27 = 0.037037\ldots

12. 0.0272727…=110×0.272727…=110×2799=27990=31100.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times 0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110} (dividir por 99).

13. Los bloques de ceros crecen sin fin, por lo que no hay arreglos. El bloque puede repetirse para siempre: es no un decimal periódico. (y nunca se detiene). Por la Parte I, cada fracción se detiene o se repite — entonces este número no es fracción en absoluto: es irracional, construido por encargo. La superestrella de la irracionalidad, 2\sqrt2, se desenmascara en Capítulo 65.

14. 230=(210)3≈(1.024)3×109≈1.07×1092^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx (1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9: un número ligeramente por encima de 10910^9, por lo tanto con dígitos 1010. (Exactamente: 230=1 073 741 8242^{30} = 1\,073\,741\,824.)

15. 0.20262026…=202699990.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}, ya en términos más bajos (acciones 9999=3×3×11×1019999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101 ningún factor con 2026=2×10132026 = 2 \times 1013). el completado diccionario: the fracciones are exactly the decimals that stop or repeat — denominadores de decenas de amigos se detienen, todos otros cantan un bloque; y a la inversa cada canto, incluso tu año de graduación, es un fracción disfrazado.