57Cálculo literal y ecuaciones

Solución de Problema 57.1.

1. Doble distributividad (Teorema 57.1) con $c = a$, $d = b$:

porque $ab$ y $ba$ son el mismo producto.

2. La misma expansión, con cuidado con los signos:

esta vez los términos cruzados $-ab$ y $+ba$ se cancelan en lugar de duplicarse.

3. El cuadrado de lado $a + b$ se recorta en cuatro piezas: un cuadrado $a \times a$ (el $a^2$), un cuadrado $b \times b$ (el $b^2$) y dos rectángulos $a \times b$ (juntos, el $2ab$). La identidad $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ dice justamente que las cuatro áreas llenan el cuadrado grande — es el dibujo de la doble distributividad con los dos lados partidos igual.

4. Con las identidades:

5. Para $a = 3$, $b = 4$: $(3 + 4)^2 = 49$, pero $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. La fórmula de Zoe olvida los dos rectángulos $a \times b$ del dibujo — faltan los $2ab = 24$, y en efecto $25 + 24 = 49$.

6. $1$; $1 + 3 = 4$; $1 + 3 + 5 = 9$; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. Los resultados son los cuadrados perfectos $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$.

7. Los números impares empiezan en $1$ y avanzan de $2$ en $2$: al $n$-ésimo se llega tras $n - 1$ saltos de $2$ desde $1$, así que vale $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. Comprobación: $n = 1, 2, 3$ dan $1, 3, 5$.

8. Por la primera identidad,

la diferencia entre dos cuadrados consecutivos es exactamente el número impar $(n+1)$-ésimo (pregunta 7 con $n + 1$ en lugar de $n$: $2(n+1) - 1 = 2n + 1$).

9. Construye los cuadrados uno tras otro. Empieza con una sola casilla: $1 = 1^2$. Para pasar del cuadrado de lado $1$ al cuadrado de lado $2$, añade $2 \times 1 + 1 = 3$ casillas (pregunta 8): $1 + 3 = 2^2$. Para pasar al lado $3$, añade $2 \times 2 + 1 = 5$ casillas: $1 + 3 + 5 = 3^2$. Cada nuevo número impar es exactamente la capa en forma de L que completa el cuadrado siguiente, así que al añadir los $n$ primeros números impares el cuadrado de lado $n$ queda completo: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$.

10. Los números impares de $1$ a $99$ son los $50$ primeros ($2n - 1 = 99$ da $n = 50$), luego

Y $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ exige $n = 20$: los veinte primeros números impares ($1$ hasta $39$) suman $400$.

11. $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$: la primera identidad con $a = x$, $b = 3$. Así que la ecuación se lee $(x + 3)^2 = 0$. Un cuadrado es cero solo cuando el número mismo es cero (Teorema 54.1: un número no nulo tiene distancia no nula, luego su cuadrado también tiene distancia no nula). Por tanto $x + 3 = 0$: la única solución es $x = -3$.

12. Por el Teorema 54.1, la distancia de un producto es el producto de las distancias. Si los dos factores son no nulos, las dos distancias son no nulas, luego la distancia del producto es no nula: el producto no puede ser $0$. Un producto cero obliga, pues, a que al menos un factor sea cero. Para $(x - 2)(x + 5) = 0$: o bien $x - 2 = 0$, o bien $x + 5 = 0$, lo que da las dos soluciones $x = 2$ y $x = -5$.

13. $x^2 = 49$ se convierte en $x^2 - 49 = 0$, y la tercera identidad lo factoriza:

Por la pregunta 12, $x = 7$ o $x = -7$: dos soluciones. Todas las ecuaciones resueltas hasta aquí en este capítulo eran de primer grado y tenían exactamente una solución; un cuadrado en la ecuación puede dar dos.

14. Pasa todo al miembro de la izquierda: $x^2 - 6x + 9 = 0$, y reconoce la segunda identidad: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$. Así que la ecuación es $(x - 3)^2 = 0$, que obliga a $x - 3 = 0$ (como en la pregunta 11): $x = 3$ es la única solución — la comprobación del Ejercicio 57.3 la había encontrado, y la factorización demuestra que no hay ninguna otra.

15. Por la tercera identidad,

En general $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$: la diferencia de dos cuadrados consecutivos es la suma de los dos números — el mismo $2n + 1$ de la pregunta 8, obtenido ahora a partir de la tercera identidad en lugar de la primera.