57Cálculo literal y ecuaciones.

Solución de Problema 57.1.

1. Doble distributividad (Teorema 57.1) con $c = a$, $d = b$:

ya que $ab$ y $ba$ son el mismo producto.

2. Misma expansión, atendiendo a las señales:

esta vez los términos cruzados $-ab$ y $+ba$ se cancelan en lugar de duplicando.

3. El cuadrado de lado $a + b$ se corta en cuatro pedazos: a cuadrado $a \times a$ (el $a^2$), un cuadrado $b \times b$ (el $b^2$) y dos rectángulos $a \times b$ (juntos, el $2ab$). La identidad $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ es la declaración que los cuatro áreas llenan el gran cuadrado — es la imagen de distributividad doble con ambos lados divididos de la misma manera.

4. Con las identidades:

5. Para $a = 3$, $b = 4$: $(3 + 4)^2 = 49$ pero $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. La fórmula de Zoe olvida a los dos. $a \times b$ rectángulos de la imagen — los que faltan $2ab = 24$ y, de hecho, $25 + 24 = 49$.

6.$1$; $1 + 3 = 4$; $1 + 3 + 5 = 9$; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. Los resultados son los cuadrados perfectos $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$.

7. El números impares comienza en $1$ y sube en pasos de $2$: el $n$-ésimo se alcanza después de los pasos $n - 1$ de $2$ desde $1$, por lo que es igual a $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. Verificar: $n = 1, 2, 3$ dar $1, 3, 5$.

8. Por la primera identidad,

el diferencia entre dos cuadrados consecutivos es exactamente el $(n+1)$-ésimo número impar (pregunta 7 con $n + 1$ en lugar de $n$: $2(n+1) - 1 = 2n + 1$).

9. Construye los cuadrados uno tras otro. Comience con un celda única: $1 = 1^2$. Para pasar del cuadrado del lado $1$ al el cuadrado del lado $2$, agregue celdas $2 \times 1 + 1 = 3$ (pregunta 8): $1 + 3 = 2^2$. Para pasar al lado $3$, agregue $2 \times 2 + 1 = 5$ celdas: $1 + 3 + 5 = 3^2$. Cada nuevo número impar es exactamente el Capa en forma de L completando el siguiente cuadrado, por lo que después de agregar el primero $n$ números impares el cuadrado del lado $n$ está completo: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$.

10. Los números impares de $1$ a $99$ son los primeros $50$ de ellos ($2n - 1 = 99$ da $n = 50$), entonces

Y $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ requiere $n = 20$: los primeros veinte números impares ($1$ hasta $39$) suman $400$.

11. $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$: la primera identidad con $a = x$, $b = 3$. Entonces el ecuación lee $(x + 3)^2 = 0$. Un cuadrado es cero sólo cuando el El número en sí es cero (Teorema 54.1: un valor distinto de cero). El número tiene una distancia distinta de cero, por lo que su cuadrado tiene una distancia distinta de cero. también). Por lo tanto $x + 3 = 0$: la única solución es $x = -3$.

12. Por Teorema 54.1, la distancia de un producto es el producto de las distancias. Si ambos factores son distinta de cero, ambas distancias son distintas de cero, por lo que la distancia del producto es distinto de cero: el producto no puede ser $0$. A cero producto por lo tanto fuerza al menos un factor cero. Para $(x - 2)(x + 5) = 0$: ya sea $x - 2 = 0$ o $x + 5 = 0$, dando las dos soluciones $x = 2$ y $x = -5$.

13. $x^2 = 49$ se convierte en $x^2 - 49 = 0$, y el tercero factores de identidad:

Por pregunta 12, soluciones $x = 7$ o $x = -7$: dos. cada ecuación resuelto hasta ahora en este capítulo fue de primer grado y tenía exactamente una solución; un cuadrado en el ecuación puede producir dos.

14. Lleva todo al lado izquierdo: $x^2 - 6x + 9 = 0$, y reconocer la segunda identidad: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$. Entonces el ecuación es $(x - 3)^2 = 0$, lo que obliga a $x - 3 = 0$ (como en la pregunta 11): $x = 3$ es la única solución — la verificación de Ejercicio 57.3 lo encontró y el factoraje lo demuestra. no hay otros.

15. Por la tercera identidad,

En general $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$: el diferencia de dos cuadrados consecutivos es el suma de los dos números — el mismo $2n + 1$ que en la pregunta 8, ahora obtenido de la tercera identidad en lugar de la primera.