Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

50Organizar datos

Antes de calcular nada hay que recoger, contar y presentar los datos. Este capítulo trata de convertir una lista desordenada de observaciones en una tabla o en una imagen clara: frecuencias absolutas, frecuencias relativas, datos agrupados, diagramas de barras y diagramas de sectores. Resumir los datos con un solo número (media, mediana) es el tema del Capítulo 71.

50.1 Frecuencias absolutas y relativas

Definición 50.1 (Frecuencia absoluta y frecuencia relativa)

Para cada valor posible de una encuesta, su frecuencia absoluta es el número de veces que aparece; su frecuencia relativa es la frecuencia absoluta dividida entre el número total de observaciones:

\text{frecuencia relativa} = \frac{\text{frecuencia absoluta}}{\text{total}} .

Las frecuencias relativas se pueden escribir como fracciones, decimales o porcentajes, y siempre suman $1$ (es decir, $100\,\%$ ).

Ejemplo 50.2

Deporte favorito de los $25$ alumnos de una clase, de la lista en bruto a la tabla:

deporte	fútbol	natación	tenis	judo	total
frec. absoluta	$10$	$6$	$5$	$4$	$25$
frec. relativa	$0.40$	$0.24$	$0.20$	$0.16$	$1$

Para el fútbol: $\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0.40 = 40\,\%$ . La fila de frecuencias relativas tiene que sumar $1$ — una comprobación permanente y gratuita.

Observación 50.3 (¿Por qué frecuencias relativas?)

Las frecuencias absolutas no se pueden comparar entre grupos de tamaños distintos: $10$ aficionados al fútbol en una clase de $25$ (o sea, el $40\,\%$ ) muestran más entusiasmo que $12$ en un curso de $120$ (el $10\,\%$ ). Las frecuencias relativas lo ponen todo en la misma escala.

50.2 Agrupar datos en clases

Ejemplo 50.4 (Clases)

Las estaturas (en cm) de $20$ alumnos van de $148$ a $172$ . Listar cada estatura por separado daría una tabla con casi tantas columnas como alumnos; en su lugar, agrupamos en clases:

estatura (cm)	$\intco{145}{155}$	$\intco{155}{165}$	$\intco{165}{175}$	total
frec. absoluta	$5$	$9$	$6$	$20$
frec. relativa	$0.25$	$0.45$	$0.30$	$1$

Cada estatura se cuenta en exactamente una clase (el $155$ va en $\intco{155}{165}$ , no en las dos — por eso los intervalos son semiabiertos). Agrupar pierde detalle, pero gana legibilidad.

50.3 Gráficos

Método 50.5 (Elegir y dibujar un gráfico)

Diagrama de barras: una barra por valor o por clase, con la altura proporcional a la frecuencia absoluta (o a la relativa). Bueno para comparar valores.
Diagrama de sectores: un sector por valor, con el ángulo proporcional a la frecuencia relativa — el círculo completo ( $360^\circ$ ) representa el total, así que

$\text{ángulo} = \text{frecuencia relativa} \times 360^\circ .$

Bueno para mostrar partes de un todo.
en los dos casos: título, etiquetas y una graduación o los porcentajes escritos en el gráfico.

Ejemplo 50.6

Ángulos para los deportes del Ejemplo 50.2: fútbol, $0.40 \times 360 = 144^\circ$ ; natación, $0.24 \times 360 = 86.4^\circ$ ; tenis, $72^\circ$ ; judo, $57.6^\circ$ . Comprobación: $144 + 86.4 + 72 + 57.6 = 360$ .

Los mismos datos como diagrama de barras (compara alturas) y como diagrama de sectores (compara partes de la clase). El fútbol ocupa 144, es decir, el 40\,\% del círculo. — Los mismos datos como diagrama de barras (compara alturas) y como diagrama de sectores (compara partes de la clase). El fútbol ocupa $144^\circ$ , es decir, el $40\,\%$ del círculo.

Ejemplo 50.7 (Leer con espíritu crítico)

Un gráfico cuyo eje vertical empieza en $9$ en vez de en $0$ hace que una barra de $10$ parezca diez veces más alta que una de $9.1$ — visualmente engañoso, aunque los números sean honestos. Primer reflejo ante cualquier gráfico: comprueba dónde empieza el eje y cuánto vale una graduación (Método 44.8).

50.4 Ejercicios

Ejercicio 50.1 ★

Estas son las notas de $20$ alumnos: $12$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $9$ , $12$ , $15$ , $11$ , $12$ , $9$ , $14$ , $12$ , $11$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $11$ , $12$ . Construye la tabla de frecuencias absolutas (una columna por nota).

Solución

Solución de Ejercicio 50.1.

Contando cada nota:

nota	$9$	$11$	$12$	$14$	$15$	total
frec. absoluta	$4$	$3$	$7$	$3$	$3$	$20$

Ejercicio 50.2 ★

Completa la tabla del Ejercicio 50.1 con una fila de frecuencias relativas (como fracciones de $20$ y después como porcentajes). Comprueba la suma.

Solución

Solución de Ejercicio 50.2.

Frecuencias relativas: $\frac{4}{20} = 20\,\%$ , $\frac{3}{20} = 15\,\%$ , $\frac{7}{20} = 35\,\%$ , $15\,\%$ y $15\,\%$ . Suma: $20 + 15 + 35 + 15 + 15 = 100\,\%$ . ✓

Ejercicio 50.3 ★

En una encuesta a $50$ familias, $30$ tienen un coche. ¿Cuál es la frecuencia relativa de «un coche», como decimal y como porcentaje? En otra encuesta, $45$ familias de $90$ tienen un coche: ¿qué encuesta muestra la proporción mayor?

Solución

Solución de Ejercicio 50.3.

Primera encuesta: $\frac{30}{50} = 0.6 = 60\,\%$ . Segunda: $\frac{45}{90} = 0.5 = 50\,\%$ . La primera encuesta muestra la proporción mayor, aunque tenga menos familias con un coche en cifras absolutas.

Ejercicio 50.4 ★

Las masas (kg) de $15$ perros: $8$ , $23$ , $31$ , $12$ , $9$ , $27$ , $35$ , $14$ , $22$ , $18$ , $29$ , $11$ , $25$ , $33$ , $16$ . Agrúpalas en las clases $\intco{5}{15}$ , $\intco{15}{25}$ , $\intco{25}{35}$ y $\intco{35}{45}$ , y da las frecuencias absolutas.

Solución

Solución de Ejercicio 50.4.

$\intco{5}{15}$ : $8, 12, 9, 14, 11$ — frecuencia $5$ . $\intco{15}{25}$ : $23, 22, 18, 16$ — frecuencia $4$ . $\intco{25}{35}$ : $31, 27, 29, 25, 33$ — frecuencia $5$ . $\intco{35}{45}$ : $35$ — frecuencia $1$ . Total $15$ . ✓

Ejercicio 50.5 ★

Dibuja el diagrama de barras de la tabla:

mascotas	$0$	$1$	$2$	$3$
familias	$8$	$12$	$6$	$4$

Solución

Solución de Ejercicio 50.5.

Cuatro barras de alturas $8$ , $12$ , $6$ y $4$ sobre los valores $0$ , $1$ , $2$ y $3$ (va bien una graduación cada $2$ ).

Ejercicio 50.6 ★

Para la tabla del Ejercicio 50.5, calcula las frecuencias relativas y los ángulos del diagrama de sectores de cada valor (comprobación: total $360^\circ$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 50.6.

Total, $30$ familias. Frecuencias relativas: $\frac{8}{30}$ , $\frac{12}{30}$ , $\frac{6}{30}$ y $\frac{4}{30}$ . Ángulos ( $\times 360^\circ$ ): $96^\circ$ , $144^\circ$ , $72^\circ$ y $48^\circ$ ; suma $96 + 144 + 72 + 48 = 360^\circ$ . ✓

Ejercicio 50.7 ★

Un diagrama de sectores sobre la estación preferida muestra: verano $162^\circ$ , primavera $90^\circ$ , otoño $54^\circ$ , invierno $54^\circ$ . ¿Qué porcentaje eligió cada estación? Si respondieron $60$ personas, ¿cuántas eligieron el verano?

Solución

Solución de Ejercicio 50.7.

Porcentajes: verano $\frac{162}{360} = 45\,\%$ ; primavera $\frac{90}{360} = 25\,\%$ ; otoño e invierno $\frac{54}{360} = 15\,\%$ cada uno. De $60$ personas, el verano lo eligieron $0.45 \times 60 = 27$ .

Ejercicio 50.8 ★★

En la clase A, $12$ alumnos de $30$ van al colegio andando; en la clase B, $14$ de $40$ . ¿Qué clase tiene mayor proporción de alumnos que van andando? Justifícalo con frecuencias relativas, no con absolutas.

Solución

Solución de Ejercicio 50.8.

Clase A: $\frac{12}{30} = 40\,\%$ . Clase B: $\frac{14}{40} = 35\,\%$ . La clase A tiene la proporción mayor de alumnos que van andando, aunque la clase B tenga más en cifras absolutas.

Ejercicio 50.9 ★★

Una revista publica un diagrama de barras de las ventas mensuales: $9\,800$ , después $10\,000$ y después $10\,100$ , con el eje vertical empezando en $9\,700$ . Describe lo que ve el lector y lo que mostraría en cambio un eje honesto que empezara en $0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 50.9.

Con el eje empezando en $9\,700$ , las tres barras tienen alturas visibles $100$ , $300$ y $400$ unidades: la última parece cuatro veces la primera, y sugiere que las ventas se han cuadruplicado. Con un eje desde $0$ , las barras quedan casi iguales (de $9\,800$ a $10\,100$ hay una subida de un $3\,\%$ ): la imagen honesta muestra unas ventas casi planas.

Ejercicio 50.10 ★★

Una tabla de frecuencias relativas tiene tres valores con frecuencias $0.35$ , $0.4$ y $f$ . Halla $f$ . Si el total de observaciones es $80$ , da las tres frecuencias absolutas.

Solución

Solución de Ejercicio 50.10.

Las frecuencias relativas suman $1$ : $f = 1 - 0.35 - 0.4 = 0.25$ . Frecuencias absolutas (total $80$ ): $0.35 \times 80 = 28$ ; $0.4 \times 80 = 32$ ; $0.25 \times 80 = 20$ . Comprobación: $28 + 32 + 20 = 80$ .

Ejercicio 50.11 ★★★

En un colegio, el $55\,\%$ de los alumnos son chicas. Entre las chicas, el $40\,\%$ come en el comedor; entre los chicos, lo hace el $60\,\%$ . De $400$ alumnos, ¿cuántos comen en el comedor? (Calcula los cuatro tamaños de grupo paso a paso.) ¿Qué porcentaje global es eso?

Solución

Solución de Ejercicio 50.11.

Chicas: el $55\,\%$ de $400 = 220$ ; chicos: $180$ . Chicas que comen en el comedor: $0.4 \times 220 = 88$ ; chicos: $0.6 \times 180 = 108$ . Total: $88 + 108 = 196$ alumnos, es decir, el $\frac{196}{400} = 49\,\%$ del colegio — entre el $40\,\%$ y el $60\,\%$ , más cerca de la tasa de las chicas porque las chicas son más numerosas.

50.5 Problema: Cómo mienten los datos — y cómo pillarlos

Problema 50.1

Problema de fin de semana — frecuencias absolutas frente a relativas, la encuesta que engañó a todo un país y la paradoja de los dos hospitales

Los números no mienten, pero se les puede hacer engañar: una frecuencia absoluta enorme puede esconder una frecuencia relativa pequeña, una encuesta gigantesca puede no valer nada y — lo más extraño de todo — un hospital puede ganar a su rival en todas las categorías de pacientes y aun así perder en las cifras globales. Las tres trampas saltan en este problema, armados solo con las frecuencias absolutas y relativas de este capítulo (Definición 50.1).

Parte I — Las frecuencias absolutas no son relativas.

el colegio A recicla $120$ de sus $400$ briks de zumo; el colegio B, $90$ de $250$ . ¿Qué colegio tiene la mayor frecuencia absoluta de briks reciclados? ¿Y la mayor frecuencia relativa? ¿Qué colegio merece el premio de reciclaje?
se encuesta sobre un horario nuevo: a $18$ de los $30$ profesores les gusta y a $210$ de los $600$ alumnos también. Calcula las dos frecuencias relativas y después la frecuencia relativa entre las $630$ personas juntas. ¿Por qué queda la cifra conjunta tan cerca de la de los alumnos?
un diagrama de sectores publicado muestra sectores etiquetados $45\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ y $10\,\%$ . Sin ninguna información más, ¿cómo sabes que hay un error?
una tabla de frecuencias sobre $40$ observaciones está medio borrada: frecuencias absolutas $14$ , $10$ , $?$ , $?$ y relativas $0.35$ , $0.25$ , $0.15$ , $?$ . Reconstruye las entradas que faltan;
una encuesta termina con frecuencias relativas $0.40$ , $0.35$ y $0.25$ . Calcula los tres ángulos del diagrama de sectores (Método 50.5) y comprueba que cierran el círculo.

Parte II — La encuesta que engañó a todo un país. En 1936, una revista estadounidense envió por correo diez millones de papeletas a direcciones sacadas de guías telefónicas y de registros de vehículos, recibió $2.4$ millones de respuestas y predijo una victoria aplastante del candidato Landon. Un joven estadístico, George Gallup, preguntó solo a unas cincuenta mil personas — elegidas para parecerse al conjunto de la población — y predijo lo contrario. Roosevelt ganó por una goleada.

¿qué frecuencia relativa de las papeletas enviadas volvió?
en 1936 el teléfono y el coche eran lujos. Explica en una o dos frases por qué la muestra de la revista, aunque enorme, estaba condenada — y qué lección de la pregunta 1 repite a escala nacional;
un modelo de juguete. Un pueblo tiene $1\,000$ votantes ricos, de los cuales el $70\,\%$ apoya a L, y $9\,000$ votantes modestos, de los cuales el $30\,\%$ apoya a L. Calcula el apoyo real a L en el pueblo. Una «encuesta de guía telefónica» llega a $500$ ricos y $500$ modestos: ¿qué apoyo predice?
la trampa silenciosa: una empresa tiene $200$ clientes descontentos y $800$ contentos. Los encuesta a todos; responde el $40\,\%$ de los descontentos, pero solo el $10\,\%$ de los contentos. Calcula el número de respuestas de cada clase y la frecuencia relativa de descontento entre las respuestas. Compárala con la frecuencia relativa verdadera;
repara la encuesta de la pregunta 8: mantén $1\,000$ entrevistas, pero repártelas en las proporciones verdaderas del pueblo. ¿Qué predice la encuesta reparada?

Parte III — La paradoja de los dos hospitales. Dos hospitales publican sus curaciones, separadas por gravedad:

	casos leves	casos graves
hospital A	$90$ curados de $100$	$280$ curados de $400$
hospital B	$340$ curados de $400$	$65$ curados de $100$

calcula la frecuencia relativa de curación del hospital A en los casos leves, en los graves y en total (los $500$ pacientes);
los mismos tres cálculos para el hospital B. ¿Qué hospital gana en los casos leves? ¿Y en los graves?
compara las dos frecuencias globales. Enuncia claramente lo extraño que ha ocurrido;
explica el truco: compara las mezclas de pacientes de los dos hospitales y di por qué la frecuencia relativa global puede traicionar a las dos frecuencias por categorías. Si tuvieras un caso grave, ¿qué hospital elegirías?
un titular de periódico dice: «El hospital B tiene mejor tasa de curación: $81\,\%$ frente a $74\,\%$ ». Escribe la carta al director de dos frases que todo este problema te ha enseñado a escribir — una frase sobre lo que ignora el titular y otra sobre la moraleja general (compara lo comparable y cuidado con los pesos).

Solución

Solución de Problema 50.1.

1. Frecuencias absolutas: $120 > 90$ , gana el colegio A. Relativas: $\frac{120}{400} = 0.30 = 30\,\%$ frente a $\frac{90}{250} = 0.36 = 36\,\%$ : gana el colegio B. El premio debe seguir a la frecuencia relativa — el colegio B recicla una parte mayor de lo que consume; el colegio A simplemente bebe más zumo.

2. Profesores: $\frac{18}{30} = 0.60 = 60\,\%$ . Alumnos: $\frac{210}{600} = 0.35 = 35\,\%$ . Juntos: $\frac{18 + 210}{630} = \frac{228}{630} \approx 0.36 = 36\,\%$ . Los alumnos son veinte veces más numerosos, así que la frecuencia conjunta se va casi por completo hacia su lado — el grupo grande lleva el peso grande.

3. Las frecuencias relativas tienen que sumar $100\,\%$ (Definición 50.1), pero $45 + 30 + 20 + 10 = 105$ : al menos un sector está mal.

4. Frecuencia absoluta correspondiente a la relativa $0.15$ : $0.15 \times 40 = 6$ . Las absolutas hasta ahora: $14 + 10 + 6 = 30$ , así que la última es $40 - 30 = 10$ , con frecuencia relativa $\frac{10}{40} = 0.25$ . (Comprobación: $0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.25 = 1$ .)

5. Ángulos: $0.40 \times 360 = 144^\circ$ , $0.35 \times 360 = 126^\circ$ , $0.25 \times 360 = 90^\circ$ ; y $144 + 126 + 90 = 360^\circ$ : el disco cierra.

6. Volvió el $\frac{2.4}{10} = 0.24 = 24\,\%$ de las papeletas.

7. Las guías telefónicas y los registros de vehículos recogían sobre todo hogares acomodados, cuyo voto difería del del país; los $2.4$ millones de respuestas eran un recuento gigantesco sacado de la población equivocada. Como en la pregunta 1: lo que importa no es a cuántos cuentas, sino a quiénes — una frecuencia relativa calculada sobre una muestra distorsionada describe la muestra, no el país.

8. Apoyo real: $0.7 \times 1\,000 + 0.3 \times 9\,000 = 700 + 2\,700 = 3\,400$ partidarios de $10\,000$ : el $34\,\%$ . La encuesta: $0.7 \times 500 + 0.3 \times 500 = 350 + 150 = 500$ de $1\,000$ : el $50\,\%$ — dieciséis puntos de más, porque los ricos son la mitad de la muestra pero la décima parte del pueblo.

9. Respuestas: $0.4 \times 200 = 80$ descontentos y $0.1 \times 800 = 80$ contentos, o sea, $160$ respuestas de las cuales $80$ son de descontentos: descontento medido $\frac{80}{160} = 50\,\%$ . Descontento real: $\frac{200}{1\,000} = 20\,\%$ . Nadie ha mentido — los descontentos sencillamente responden más y la encuesta los oye más fuerte.

10. Proporciones verdaderas: una décima parte ricos, o sea, $100$ entrevistas a ricos y $900$ a modestos: $0.7 \times 100 + 0.3 \times 900 = 70 + 270 = 340$ de $1\,000$ : la encuesta reparada predice el $34\,\%$ — la verdad de la pregunta 8. Cincuenta mil entrevistas bien elegidas ganan a dos millones mal elegidas.

11. Hospital A: leves, $\frac{90}{100} = 90\,\%$ ; graves, $\frac{280}{400} = 70\,\%$ ; en total, $\frac{90 + 280}{500} = \frac{370}{500} = 74\,\%$ .

12. Hospital B: leves, $\frac{340}{400} = 85\,\%$ ; graves, $\frac{65}{100} = 65\,\%$ ; en total, $\frac{340 + 65}{500} = \frac{405}{500} = 81\,\%$ . El hospital A gana en los casos leves ( $90 > 85$ ) y en los graves ( $70 > 65$ ).

13. En total, B muestra un $81\,\%$ frente al $74\,\%$ de A: el hospital que pierde en todas las categorías gana en el total. (Esta inversión tiene nombre: la paradoja de Simpson.)

14. Las mezclas son opuestas: los pacientes de A son en su mayoría graves ( $400$ de $500$ ) y los de B, en su mayoría leves ( $400$ de $500$ ). Los casos graves se curan menos a menudo se traten donde se traten, así que la cifra global de A queda arrastrada hacia abajo por los casos difíciles que acepta — la cifra global es una mezcla ponderada y los pesos difieren entre hospitales. Un paciente grave debería elegir el hospital A: el $70\,\%$ gana al $65\,\%$ en la única fila que le concierne.

15. Por ejemplo: «Su comparación mezcla pacientes leves y graves, y los dos hospitales tratan mezclas opuestas — separando por gravedad, el hospital A cura una proporción mayor de los dos tipos. Las cifras globales solo se pueden comparar cuando los grupos que hay detrás son parecidos; si no, deciden los pesos y no la calidad».

Términos definidos en este capítulo

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

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