Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

50Organizar datos

Antes de calcular algo, se deben recopilar, contar y analizar datos. mostrado. Este capítulo trata sobre cómo convertir una lista desordenada de observaciones. en una tabla o imagen clara: recuentos, frecuencias, datos agrupados, barras gráficos y gráficos circulares. Resumir datos mediante un solo número (media, mediana) es el tema de Capítulo 71.

50.1 Conteos y frecuencias

Definición 50.1 (Conteo y frecuencia)

Para cada valor posible de una encuesta, su contar es la cantidad de veces que aparece; es frecuencia es el recuento dividido por el número total de observaciones:

\text{frequency} = \frac{\text{count}}{\text{total}} .

Las frecuencias se pueden escribir como fracciones, decimales o porcentajes, y siempre suman $1$ (es decir, $100\,\%$ ).

Ejemplo 50.2

Deporte favorito de los estudiantes $25$ de una clase, desde la lista cruda hasta la mesa:

sport	football	swimming	tennis	judo	total
count	$10$	$6$	$5$	$4$	$25$
frecuencia	$0.40$	$0.24$	$0.20$	$0.16$	$1$

Para fútbol: $\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0.40 = 40\,\%$ . el La fila frecuencia debe sumar $1$ — una verificación permanente y gratuita.

Observación 50.3 (¿Por qué frecuencias?)

Los recuentos no se pueden comparar entre grupos de diferentes tamaños: $10$ fanáticos del fútbol en una clase de $25$ (es decir, $40\,\%$ ) mostrar más entusiasmo que $12$ en un año escolar de $120$ ( $10\,\%$ ). Las frecuencias ponen todo en el mismo escala.

50.2 Agrupar datos en clases.

Ejemplo 50.4 (clases)

Las alturas (en cm) de los estudiantes $20$ van desde $148$ hasta $172$ . Enumerar cada altura por separado daría una tabla con casi la misma cantidad columnas como estudiantes; en su lugar, agrupe en clases:

height (cm)	$\intco{145}{155}$	$\intco{155}{165}$	$\intco{165}{175}$	total
count	$5$	$9$	$6$	$20$
frecuencia	$0.25$	$0.45$	$0.30$	$1$

Cada altura se cuenta exactamente en una clase ( $155$ entra $\intco{155}{165}$ , no en ambos — por eso los intervalos son medio abierto). La agrupación pierde detalles pero gana legibilidad.

50.3 Gráficos

Método 50.5 (Elegir y dibujar un gráfico)

gráfico de barras: una barra por valor o clase, altura proporcional al conteo (o el frecuencia). Bueno para comparando valores.
gráfico circular: un sector por valor, ángulo proporcional a el frecuencia — el círculo completo ( $360^\circ$ ) representa el total, entonces

$\text{angle} = \text{frequency} \times 360^\circ .$

Bueno para mostrar acciones de un todo.
En ambos casos: título, etiquetas y una graduación o el porcentajes escritos en la tabla.

Ejemplo 50.6

Ángulos para los deportes de Ejemplo 50.2: fútbol. $0.40 \times 360 = 144^\circ$ ; natación $0.24 \times 360 = 86.4^\circ$ ; tenis $72^\circ$ ; judo $57.6^\circ$ . Comprobar: $144 + 86.4 + 72 + 57.6 = 360$ .

Los mismos datos que un gráfico de barras (comparar alturas) y que un pastel gráfico (comparar acciones de la clase). El fútbol toma 144, es decir 40\,\% del círculo. — Los mismos datos que un gráfico de barras (comparar alturas) y que un pastel gráfico (comparar acciones de la clase). El fútbol toma $144^\circ$ , es decir $40\,\%$ del círculo.

Ejemplo 50.7 (Lectura crítica)

Un gráfico cuyo eje vertical comienza en $9$ en lugar de $0$ forma una barra. de $10$ parecen diez veces más altos que una barra de $9.1$ — visualmente engañoso, aunque los números son honestos. Primer reflejo frente a cualquier gráfico: verifique dónde comienza el eje y cuál es la graduación valor (Método 44.8).

50.4 Ceremonias

Ejercicio 50.1 ★

Aquí están las calificaciones de los estudiantes $20$ : $12$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $9$ , $12$ , $15$ , $11$ , $12$ , $9$ , $14$ , $12$ , $11$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $11$ , $12$ . Construya la tabla de conteos (una columna por marca).

Solución

Solución de Ejercicio 50.1.

Contando cada marca:

mark	$9$	$11$	$12$	$14$	$15$	total
count	$4$	$3$	$7$	$3$	$3$	$20$

Ejercicio 50.2 ★

Completa la tabla de Ejercicio 50.1 con una fila frecuencia (como fracciones de $20$ , luego como porcentajes). Verifique el suma.

Solución

Solución de Ejercicio 50.2.

Frecuencias: $\frac{4}{20} = 20\,\%$ , $\frac{3}{20} = 15\,\%$ , $\frac{7}{20} = 35\,\%$ , $15\,\%$ , $15\,\%$ . Suma: $20 + 15 + 35 + 15 + 15 = 100\,\%$ . ✓

Ejercicio 50.3 ★

En una encuesta de familias $50$ , $30$ tiene un automóvil. cual es el frecuencia de “un auto”, como decimal y como porcentaje? en otro Encuesta, $45$ familias de $90$ tienen un automóvil: ¿qué encuesta muestra? ¿la mayor proporción?

Solución

Solución de Ejercicio 50.3.

Primera encuesta: $\frac{30}{50} = 0.6 = 60\,\%$ . Segundo: $\frac{45}{90} = 0.5 = 50\,\%$ . La primera encuesta muestra la mayor proporción, aunque tiene menos familias con un coche en absoluto contar.

Ejercicio 50.4 ★

Las masas (kg) de los perros $15$ : $8$ , $23$ , $31$ , $12$ , $9$ , $27$ , $35$ , $14$ , $22$ , $18$ , $29$ , $11$ , $25$ , $33$ , $16$ . Agruparlos en el clases $\intco{5}{15}$ , $\intco{15}{25}$ , $\intco{25}{35}$ , $\intco{35}{45}$ y da las cuentas.

Solución

Solución de Ejercicio 50.4.

$\intco{5}{15}$ : $8, 12, 9, 14, 11$ — cuenta $5$ . $\intco{15}{25}$ : $23, 22, 18, 16$ — cuenta $4$ . $\intco{25}{35}$ : $31, 27, 29, 25, 33$ — cuenta $5$ . $\intco{35}{45}$ : $35$ — cuenta $1$ . Total $15$ . ✓

Ejercicio 50.5 ★

Dibuja el gráfico de barras de la tabla:

pets	$0$	$1$	$2$	$3$
families	$8$	$12$	$6$	$4$

Solución

Solución de Ejercicio 50.5.

Cuatro barras de alturas $8$ , $12$ , $6$ , $4$ sobre los valores $0$ , $1$ , $2$ , $3$ (la graduación cada $2$ funciona bien).

Ejercicio 50.6 ★

Para la tabla de Ejercicio 50.5, calcule las frecuencias y los ángulos del gráfico circular de cada valor (comprobar: total $360^\circ$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 50.6.

Total $30$ familias. Frecuencias: $\frac{8}{30}$ , $\frac{12}{30}$ , $\frac{6}{30}$ , $\frac{4}{30}$ . Ángulos ( $\times 360^\circ$ ): $96^\circ$ , $144^\circ$ , $72^\circ$ , $48^\circ$ ; suma $96 + 144 + 72 + 48 = 360^\circ$ . ✓

Ejercicio 50.7 ★

Un gráfico circular sobre los programas de estaciones favoritos: verano $162^\circ$ , primavera $90^\circ$ , otoño $54^\circ$ , invierno $54^\circ$ . ¿Qué porcentaje eligió cada temporada? Si $60$ personas respondieron, ¿cuántas eligieron verano?

Solución

Solución de Ejercicio 50.7.

Porcentajes: verano $\frac{162}{360} = 45\,\%$ ; primavera $\frac{90}{360} = 25\,\%$ ; otoño e invierno $\frac{54}{360} = 15\,\%$ cada uno. De $60$ personas, se eligió el verano. por $0.45 \times 60 = 27$ de ellos.

Ejercicio 50.8 ★★

En la clase A, $12$ estudiantes de $30$ caminan a la escuela; en la clase B, $14$ de $40$ . ¿Qué clase tiene la mayor proporción de caminantes? Justifique con frecuencias, no con recuentos.

Solución

Solución de Ejercicio 50.8.

Clase A: $\frac{12}{30} = 40\,\%$ . Clase B: $\frac{14}{40} = 35\,\%$ . La clase A tiene la mayor proporción de caminantes, aunque la clase B tiene más caminantes en cuenta.

Ejercicio 50.9 ★★

Una revista imprime un gráfico de barras de ventas mensuales: $9\,800$ , luego $10\,000$ , luego $10\,100$ , con el eje vertical comenzando en $9\,700$ . Describe lo que ve el lector y qué eje honesto. En su lugar se mostraría comenzando en $0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 50.9.

Con el eje comenzando en $9\,700$ , las tres barras tienen visibles alturas unidades $100$ , $300$ y $400$ : la última mira cuatro veces En primer lugar, lo que sugiere que las ventas se cuadriplicaron. Con un eje de $0$ , las barras son casi iguales ( $9\,800$ a $10\,100$ es un aumento de aproximadamente $3\,\%$ ): La imagen honesta muestra ventas casi planas.

Ejercicio 50.10 ★★

Una tabla frecuencia tiene tres valores con frecuencias $0.35$ , $0.4$ y $f$ . Encuentra $f$ . Si el conteo total es $80$ , proporcione los tres conteos.

Solución

Solución de Ejercicio 50.10.

Las frecuencias suman $1$ : $f = 1 - 0.35 - 0.4 = 0.25$ . Recuentos (totales $80$ ): $0.35 \times 80 = 28$ ; $0.4 \times 80 = 32$ ; $0.25 \times 80 = 20$ . Verificar: $28 + 32 + 20 = 80$ .

Ejercicio 50.11 ★★★

En una escuela, $55\,\%$ de los estudiantes son niñas. Entre las chicas, $40\,\%$ comer en la cafetería; entre los chicos, $60\,\%$ lo hace. Fuera de $400$ estudiantes ¿cuantos comen en la cafeteria? (Calcule los cuatro tamaños de grupo paso a paso). ¿Qué porcentaje general es ese?

Solución

Solución de Ejercicio 50.11.

Chicas: $55\,\%$ de $400 = 220$ ; chicos: $180$ . Chicas que van a la cafetería: $0.4 \times 220 = 88$ ; chicos: $0.6 \times 180 = 108$ . Totales: $88 + 108 = 196$ estudiantes, es decir $\frac{196}{400} = 49\,\%$ del colegio — entre $40\,\%$ y $60\,\%$ , más cercano al índice de niñas porque las chicas son más numerosas.

50.5 Problema: cómo se encuentran los datos y cómo detectarlos

Problema 50.1

Problema de fin de semana — cuenta contra frecuencias, La encuesta que engañó a un país y la paradoja de los dos. hospitales

Los números no mienten, pero pueden engañar: una cuenta enorme puede ocultar un pequeño frecuencia, una encuesta gigantesca puede no tener valor, y, lo más extraño de todo, un hospital puede vencer a su rival en cada categoría de pacientes y aún pierde en el general cifras. Las tres trampas surgen en este problema, solo armadas con los conteos y frecuencias de este capítulo (Definición 50.1).

Parte I — Counts are not frequencies.

La Escuela A recicla $120$ de sus $400$ cartones de jugo; escuela B, $90$ de su $250$ . ¿Qué escuela tiene la mayor contar de cartones reciclados? Cuanto más grande frecuencia? ¿Qué escuela merece el reciclaje? premio?
Se releva un nuevo horario: $18$ de los profesores $30$ les gusta, y a $210$ de los estudiantes $600$ les gusta. Calcular el dos frecuencias, entonces la frecuencia entre todas las $630$ personas juntas. ¿Por qué la figura combinada queda así? cerca de la de los estudiantes?
Un gráfico circular publicado muestra los sectores etiquetados $45\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ y $10\,\%$ . Sin más información, ¿cómo sabes que se cometió un error?
Una tabla frecuencia sobre observaciones $40$ está medio borrada: cuenta $14$ , $10$ , $?$ , $?$ y frecuencias $0.35$ , $0.25$ , $0.15$ , $?$ . Reconstruya las entradas que faltan.
Una encuesta finaliza con las frecuencias $0.40$ , $0.35$ y $0.25$ . Calcula los tres ángulos del gráfico circular. (Método 50.5) y revisa que cierren el círculo.

Parte II — The poll that fooled a country. En 1936, una revista estadounidense envió por correo diez millones de papeletas a direcciones tomadas de directorios telefónicos y registros de automóviles listas, recibió $2.4$ millones de respuestas y predijo una aplastante victoria del candidato Landon. Un joven estadístico, George Gallup, interrogó sólo a unas cincuenta mil personas, elegidas para parecerse a toda la población — y predijo lo contrario. Roosevelt ganó por abrumadora mayoría.

¿Qué frecuencia de las boletas enviadas por correo regresaron?
En 1936 los teléfonos y los coches eran lujos. Explicar en Una o dos frases por qué la muestra de la revista, aunque enorme, estaba condenado — y qué lección de la pregunta 1 se repite en el nacional escala.
Un modelo de juguete. Una ciudad tiene $1\,000$ votantes ricos, de los cuales $70\,\%$ apoya a L, y $9\,000$ votantes modestos, de los cuales $30\,\%$ soporta L. Calcula el verdadero soporte de L en el pueblo. Una "encuesta de directorio telefónico" llega a $500$ ricos y $500$ votantes modestos: ¿qué apoyo predice?
La trampa del silencio: una empresa tiene $200$ clientes descontentos y $800$ felices. Encuesta a todos; $40\,\%$ de la respuesta infeliz, pero solo $10\,\%$ de los felices lo hacen. Calcule el número de respuestas de cada tipo y el frecuencia de infelicidad entre las respuestas. Comparar con el verdadero frecuencia.
Reparar el sondeo de la pregunta 8: mantener $1\,000$ entrevistas, pero distribuirlas en la verdadera ciudad proporciones. ¿Qué predice la encuesta reparada?

Parte III — The paradox of the two hospitals. Dos hospitales publican sus recuentos de curas, divididos por gravedad:

	mild cases	severe cases
hospital A	$90$ cured of $100$	$280$ cured of $400$
hospital B	$340$ cured of $400$	$65$ cured of $100$

Calcular la curación del hospital A frecuencia para casos leves, para casos graves y en general (todos los pacientes $500$ ).
Los mismos tres cálculos para el hospital B. ¿Qué hospital ¿Gana en casos leves? ¿En casos severos?
Compare las dos frecuencias generales. Indique claramente el cosa extraña que ha sucedido.
Explica el truco: compara los dos hospitales. mezclas de pacientes y diga por qué el resultado general frecuencia puede traicionar ambas frecuencias de categoría. si tu tuvo un caso grave, ¿qué hospital debería elegir?
Un titular de periódico dice: “El Hospital B tiene la mejor tasa de curación: $81\,\%$ contra $74\,\%$ .” Escriba el carta de dos frases al editor que todo este problema te ha enseñado a escribir — una oración en Lo que el titular ignora, uno sobre la moral general. (compare cosas similares y tenga en cuenta los pesos).

Solución

Solución de Problema 50.1.

1. Cuenta: $120 > 90$ , la escuela A gana. Frecuencias: $\frac{120}{400} = 0.30 = 30\,\%$ en contra $\frac{90}{250} = 0.36 = 36\,\%$ : gana el colegio B. el premio debe seguir el frecuencia — la escuela B recicla una proporción mayor de lo que utiliza; la escuela A simplemente bebe más jugo.

2. Profesores: $\frac{18}{30} = 0.60 = 60\,\%$ . Estudiantes: $\frac{210}{600} = 0.35 = 35\,\%$ . Juntos: $\frac{18 + 210}{630} = \frac{228}{630} \approx 0.36 = 36\,\%$ . Los estudiantes son veinte veces más numerosos, por lo que frecuencia combinado es arrastrado casi por completo hacia su lado — el gran grupo lleva el gran peso.

3. Las frecuencias deben sumar $100\,\%$ (Definición 50.1), pero $45 + 30 + 20 + 10 = 105$ : al menos un sector está mal.

4. Recuento para frecuencia $0.15$ : $0.15 \times 40 = 6$ . Los recuentos hasta ahora: $14 + 10 + 6 = 30$ , entonces el último recuento es $40 - 30 = 10$ , con frecuencia $\frac{10}{40} = 0.25$ . (Compruebe: $0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.25 = 1$ .)

5. Ángulos: $0.40 \times 360 = 144^\circ$ , $0.35 \times 360 = 126^\circ$ , $0.25 \times 360 = 90^\circ$ ; y $144 + 126 + 90 = 360^\circ$ : el pastel se cierra.

6. $\frac{2.4}{10} = 0.24 = 24\,\%$ de las papeletas llegaron atrás.

7. Directorios telefónicos y registros de vehículos listados hogares en su mayoría ricos, cuyo voto difería del del país; los $2.4$ millones de respuestas fueron un conteo gigante elaborado de la población equivocada. Como en la pregunta 1: lo que importa es no cuántos cuentas, sino quién — un frecuencia calculado en un La muestra distorsionada describe la muestra, no el país.

8. Soporte verdadero: $0.7 \times 1\,000 + 0.3 \times 9\,000 = 700 + 2\,700 = 3\,400$ partidarios de $10\,000$ : $34\,\%$ . La encuesta: $0.7 \times 500 + 0.3 \times 500 = 350 + 150 = 500$ fuera de $1\,000$ : $50\,\%$ — dieciséis puntos demasiado alto, porque el Los ricos son medio la muestra, pero una décima parte de la ciudad.

9. Respuestas: $0.4 \times 200 = 80$ infeliz y $0.1 \times 800 = 80$ feliz, entonces $160$ responde de las cuales $80$ infeliz: infelicidad medida $\frac{80}{160} = 50\,\%$ . Verdadero infelicidad: $\frac{200}{1\,000} = 20\,\%$ . Nadie mintió — los infelices simplemente responden más y la encuesta los escucha más fuerte.

10. Proporciones reales: una décima parte de ricos, entonces $100$ entrevistas ricas y modestas $900$ : $0.7 \times 100 + 0.3 \times 900 = 70 + 270 = 340$ fuera de $1\,000$ : la encuesta reparada predice $34\,\%$ — la verdad de pregunta 8. Cincuenta mil entrevistas bien elegidas ganaron a dos Millones de personas mal elegidas.

11. Hospital A: leve $\frac{90}{100} = 90\,\%$ ; severo $\frac{280}{400} = 70\,\%$ ; en general $\frac{90 + 280}{500} = \frac{370}{500} = 74\,\%$ .

12. Hospital B: leve $\frac{340}{400} = 85\,\%$ ; grave $\frac{65}{100} = 65\,\%$ ; en general $\frac{340 + 65}{500} = \frac{405}{500} = 81\,\%$ . Hospital A gana en casos leves ( $90 > 85$ ) y en casos graves ( $70 > 65$ ).

13. En general, B muestra $81\,\%$ contra $74\,\%$ de A: el hospital que pierde en la categoría cada gana el Total. (Esta inversión tiene un nombre: la paradoja de Simpson).

14. Las mezclas son opuestas: los pacientes de A son en su mayoría grave ( $400$ de $500$ ), B en su mayoría leve ( $400$ de $500$ ). Los casos graves se curan con menos frecuencia dondequiera que se traten, por lo que A’s La cifra global se ve afectada por los casos difíciles que acepta — el conjunto es una mezcla ponderada y los pesos difieren entre hospitales. Un paciente grave debe elegir el hospital A: $70\,\%$ supera a $65\,\%$ en la única fila que les concierne.

15. Por ejemplo: “Su comparación combina suave y pacientes graves y los dos hospitales tratan mezclas opuestas — dividido por gravedad, el hospital A cura una mayor proporción de ambos tipos. Las cifras globales sólo podrán compararse cuando los grupos detrás de ellos son iguales; de lo contrario, los pesos, no el calidad, decide el ganador."