Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

55Fracciones: las cuatro operaciones

Este capítulo completa la aritmética de fracciones: suma y resta con cualquier denominadores, multiplicación y — el recién llegado — división, que resulta ser una multiplicación en disfrazarse. Las señales de Capítulo 54 te acompañan.

55.1 Sumar con cualquier denominador

Método 55.1 (denominador común)

Para sumar o restar $\frac ab$ y $\frac cd$ :

encuentra un múltiple común de $b$ y $d$ (el producto $b \times d$ siempre funciona; uno más pequeño ahorra esfuerzo);
reescribe ambos fracciones con ese denominador;
suma o resta el numeradores; simplificar.

Ejemplo 55.2

Calcule $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$ . Un múltiple común de $6$ y $4$ es $12$ :

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}, \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \qquad \frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.

Con carteles: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} - \dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$ .

55.2 Multiplicar fracciones

Teorema 55.3 (Producto de fracciones)

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .

Por qué, en una imagen. Tome $\frac34$ de $\frac25$ de un cuadrado: corte el cuadrado en $5$ tiras verticales y mantener $2$ ; corte horizontalmente en $4$ y mantenga $3$ filas de lo que quedaba. La parte conservada es una cuadrícula de $3 \times 2$ pequeña. celdas de $4 \times 5$ : fracción $\frac{6}{20}$ . ∎

3/4 × 2/5: la región doblemente sombreada es 3 × 2 = 6 celdas de 4 × 5 = 20, es decir 6/20 = 3/10 — numeradores multiplicado, denominadores multiplicado. — $\frac34 \times \frac25$ : la región doblemente sombreada es $3 \times 2 = 6$ celdas de $4 \times 5 = 20$ , es decir $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — numeradores multiplicado, denominadores multiplicado.

Ejemplo 55.4

Simplifica antes multiplicando, tachando factores comunes:

\frac{7}{12} \times \frac{9}{14} = \frac{7 \times 9}{12 \times 14} = \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7} = \frac{3}{8}

(el factor $7$ y un factor $3$ se cancelan entre arriba y abajo). Con señales, se aplican primero las reglas de Teorema 54.1: $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) = +\frac{10}{12} = \frac56$ .

55.3 Dividir fracciones

Definición 55.5 (inversa)

El inverso de un número distinto de cero $x$ es el número que multiplicado por $x$ da $1$ . lo inverso de $\frac ab$ es $\frac ba$ , ya que $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$ ; la inversa de un El número entero $n$ es $\frac1n$ .

Teorema 55.6 (Dividir es multiplicar por el inverso)

Para $c \neq 0$ :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .

Demostración. Por definición, el cociente $q$ de $\frac ab$ por $\frac cd$ es el número con $q \times \frac cd = \frac ab$ . comprobar el candidato $q = \frac ab \times \frac dc$ :

\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd = \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right) = \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere

∎

Ejemplo 55.7

\frac{3}{5} \div \frac{7}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{3 \times 10}{5 \times 7} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.

Una prueba de cordura: dividir por $\frac{7}{10}$ , un número menor que $1$ , debe dar un resultado más grande que $\frac35$ — y $\frac67 > \frac35$ efectivamente ( $\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$ ).

Ejemplo 55.8 (Barras de fracciones dentro de barras de fracciones)

Un "dos pisos" es simplemente una división escrita verticalmente:

\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ } = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.

Localice primero la barra principal (la más larga), luego aplique Teorema 55.6.

Método 55.9 (Cálculos mixtos)

En una expresión que mezcla fracciones y las cuatro operaciones:

aplica las prioridades habituales (Capítulo 45);
convierte cada división en una multiplicación por inverso;
decide los signos primero (Método 54.6), luego multiplicar o encontrar denominadores común;
simplifique lo antes posible.

Ejemplo 55.10

\begin{align*} \frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} &= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4} && \text{(product first!)} \\ &= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32 = \frac{4}{2} = 2 . \end{align*}

55.4 Ceremonias

Ejercicio 55.1 ★

Calcula y simplifica:

\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad \frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad \frac{7}{10} + \frac{8}{15} .

Solución

Solución de Ejercicio 55.1.

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{23}{20}$ .

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$ .

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} = \dfrac{37}{30}$ .

Ejercicio 55.2 ★

Calcular (primero los signos):

-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad \frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad -\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .

Solución

Solución de Ejercicio 55.2.

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{1}{14}$ .

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} = -\dfrac{13}{12}$ .

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} = -\dfrac{11}{10}$ .

Ejercicio 55.3 ★

Calcula, simplificando antes de multiplicar:

\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad \frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad \left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .

Solución

Solución de Ejercicio 55.3.

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15} = \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (simplificar por $5$ y por $4$ ).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3} = \dfrac{3}{2}$ (simplificar por $7$ y por $3$ ).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45} = -\dfrac43$ (signos opuestos: negativo).

Ejercicio 55.4 ★

Dé el inverso de: $\dfrac{3}{7}$ ; $5$ ; $\dfrac{1}{4}$ ; $-\dfrac{2}{9}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 55.4.

Inversas: $\dfrac73$ ; $\dfrac15$ ; $4$ ; $-\dfrac92$ (el inverso mantiene el cartel).

Ejercicio 55.5 ★

Calcular:

\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad \frac{7}{5} \div 14, \qquad 6 \div \frac{3}{4} .

Solución

Solución de Ejercicio 55.5.

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18} = \dfrac23$ .

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70} = \dfrac{1}{10}$ .

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$ .

Ejercicio 55.6 ★

Calcular los dos pisos:

\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ }, \qquad \frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ }, \qquad \frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .

Solución

Solución de Ejercicio 55.6.

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} = \dfrac23$ .

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ .

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$ .

Ejercicio 55.7 ★

Calcular, respetando prioridades:

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}, \qquad \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .

Solución

Solución de Ejercicio 55.7.

Producto primero: $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10} = \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$ .

Primero los corchetes: $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45 = \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$ .

Ejercicio 55.8 ★★

Un tanque está $\frac{2}{5}$ lleno. Uno agrega $\frac{1}{3}$ of the tank’s capacidad. ¿Qué fracción del tanque está ahora lleno? que fracción todavía está vacío?

Solución

Solución de Ejercicio 55.8.

Lleno: $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ del tanque. Vacío: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$ .

Ejercicio 55.9 ★★

Tres cuarteles de los alumnos de una clase aprobaron una prueba; entre esos, dos tercios obtuvieron más de $14$ de $20$ . Que fracción de la clase ¿Tienes más de $14$ ? Si eso representa a los estudiantes $12$ , ¿qué tamaño tiene? la clase?

Solución

Solución de Ejercicio 55.9.

Fracción con más de $14$ : $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ de la clase. Si se trata de estudiantes $12$ , la clase tiene estudiantes $24$ .

Ejercicio 55.10 ★★

Una cuerda de $\frac{15}{2}$ m se debe cortar en trozos de $\frac{3}{4}$ m cada uno. ¿Cuántas piezas se obtienen? (Una división de fracciones — comprueba que la respuesta es un número entero.)

Solución

Solución de Ejercicio 55.10.

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43 = \dfrac{60}{6} = 10$ piezas — un número entero, sin desperdicio de cuerda.

Ejercicio 55.11 ★★

calcular

E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9}, \qquad F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .

Solución

Solución de Ejercicio 55.11.

$E$ : primera división: $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac34$ ; entonces $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} = -\dfrac{1}{12}$ .

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times \dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (el cuadrado es positivo).

Ejercicio 55.12 ★★★

Simplifica la expresión

1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}

(comience desde el fracción más interno y trabaje hacia afuera, una barra a la vez). tiempo).

Solución

Solución de Ejercicio 55.12.

De adentro hacia afuera: $1 + 1 = 2$ ; entonces $1 + \dfrac12 = \dfrac32$ ; entonces

1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .

55.5 Problema: fracciones egipcias

Problema 55.1

Problema de fin de semana — cada fracción es una suma de fracciones unitarias distintas

Un unit fracción es un fracción con numerador $1$ . el escribas del antiguo Egipto — el papiro de Rhind fue copiado alrededor $1550$ BC — escribió cada fracción como suma de distinto unidad fracciones: nunca $\frac27 = \frac17 + \frac17$ , pero $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ . Un suma de este tipo se denomina escritura egipcia del fracción. Este problema desarrolla la Técnicas de suma y comparación de este capítulo. (Método 55.1) en un método — publicado por Fibonacci en $1202$ — que produce una escritura egipcia de cualquier fracción entre $0$ y $1$ , y termina con un celebrado rompecabezas de herencia.

Parte I — Unit fracciones and the splitting identity.

Calcular $\frac12 + \frac13$ y $\frac12 + \frac14$ , y deducir escritos egipcios de $\frac56$ y $\frac34$ .
Verifique la entrada de los escribas para $\frac27$ : muestre que $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ .
Compruebe que $\frac13 + \frac16 = \frac12$ y que $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$ . Luego prueba la identidad dividida: para cada número entero $n \geq 1$ ,

$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$
Deduce una escritura egipcia del propio $1$ , como suma de tres unidades distintas fracciones.
Divida el último término de $\frac56 = \frac12 + \frac13$ en obtener una escritura egipcia segundo de $\frac56$ , con tres unidades fracciones. Explique por qué ningún fracción tiene un nombre único. Escritura egipcia.

Parte II — Fibonacci’s greedy method. El método es: restar la unidad más grande fracción que encaja y repite con lo que queda.

Usando denominadores común, demuestre que $\frac14 < \frac27 < \frac13$ . ¿Por qué esto prueba que $\frac14$ es la unidad más grande fracción más pequeña que $\frac27$ ?
Calcular $\frac27 - \frac14$ . Cual escrito de $\frac27$ Qué produce el método codicioso?
Ahora toma $\frac57$ . Demuestre que la unidad más grande fracción menor que $\frac57$ es $\frac12$ y calcula $\frac57 - \frac12$ .
Demuestre que la unidad más grande fracción más pequeña que $\frac{3}{14}$ es $\frac15$ (compárese $\frac{3}{14}$ con $\frac14$ y con $\frac15$ ), calcular $\frac{3}{14} - \frac15$ , y concluye:

$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$

Verifique este escrito directamente con el común denominador $70$ .
Ejecute el método codicioso en $\frac45$ , verificando en cada paso que su unidad fracción es la más grande que cabe, y verificar el escrito final.

Parte III — Why the method always stops, and the eighteenth camel.

En las preguntas 7–10 se aplicó el método a $\frac27$ , $\frac57$ y $\frac45$ . Para cada uno, indique el numeradores de el sucesivo restos (antes de cualquier simplificación). ¿Qué observas?
Para un fracción $\frac ab$ y un número entero $n$ , mostrar eso

$\frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$
Supongamos que el método codicioso resta $\frac1n$ de $\frac ab$ : entonces $\frac1n$ encaja pero $\frac{1}{n-1}$ es ya demasiado grande, $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ . poniendo ambos sobre el común denominador $b \times (n - 1)$ , deducir que $b > a \times n - a$ , de ahí que el nuevo numerador satisface

$a \times n - b < a .$

Explique por qué esto prueba que el método siempre se detiene.
Un viejo cuento: un padre muere dejando $17$ camellos, dispuestos $\frac12$ del rebaño a su hijo mayor, $\frac13$ a el segundo, $\frac19$ al tercero — y ninguno de los Las acciones son un número entero de camellos. Un vecino presta el familia un decimoctavo camello; los niños toman $9$ , $6$ y $2$ camellos y se devuelve el camello prestado. calcular $\frac12 + \frac13 + \frac19$ y explica el truco: por qué ¿Podría dividirse la manada en camellos enteros y por qué no ¿El niño recibe menos de lo prometido en el testamento?
Reparar el testamento: proponer tres unidades distinto fracciones que suman exactamente $1$ , y dan el tamaño de rebaño más pequeño para el cual las tres partes están enteras cantidad de camellos.

Solución

Solución de Problema 55.1.

1. $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ y $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$ . entonces $\frac56 = \frac12 + \frac13$ y $\frac34 = \frac12 + \frac14$ son escritos egipcios (unidad distinta fracciones en cada uno).

2. Con el común denominador $28$ :

\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .

3. $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 = \frac12$ y $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$ . En general, lo común denominador de $\frac{1}{n+1}$ y $\frac{1}{n(n+1)}$ es $n(n+1)$ :

\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} .

4. Comience desde $1 = \frac12 + \frac12$ y divida el segundo medio por la pregunta 3:

1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,

tres unidades distintas fracciones.

5. Dividir el $\frac13$ en $\frac56 = \frac12 + \frac13$ da

\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .

Ninguna escritura egipcia es jamás única: la identidad escindible puede reemplace siempre la unidad fracción con la denominador más grande por dos unidades nuevas, incluso más pequeñas fracciones — así que desde cualquier escritura fabrica otro.

6. Con denominador $21$ : $\frac27 = \frac{6}{21} < \frac{7}{21} = \frac13$ . Con denominador $28$ : $\frac14 = \frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$ . Unidad fracciones encoge como su crecimiento denominadores, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 > \dots$ ; ya que $\frac13$ (y todo lo que está encima) es demasiado grande y $\frac14$ encaja, $\frac14$ es la unidad más grande fracción más pequeña que $\frac27$ .

7. $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} = \frac{1}{28}$ : el método codicioso produce $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ , exactamente la entrada de los escribas de pregunta 2.

8. Con denominador $14$ : $\frac12 = \frac{7}{14} < \frac{10}{14} = \frac57$ , mientras que la única unidad más grande fracción, $1$ , excede $\frac57$ . Entonces $\frac12$ es el más grande que cabe, y

\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .

9. Con denominador $28$ : $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} < \frac{7}{28} = \frac14$ , entonces $\frac14$ es demasiado grande. con denominador $70$ : $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$ , por lo que encaja $\frac15$ : es la unidad más grande fracción menor que $\frac{3}{14}$ . entonces

\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70} = \frac{1}{70}, \qquad\text{hence}\qquad \frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .

Verificar: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} = \frac{50}{70} = \frac57$ .

10. Primer paso: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} = \frac45$ y $1 > \frac45$ , así que resta $\frac12$ : $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$ . Segundo paso: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ es demasiado grande y $\frac14 = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ encaja, así que resta $\frac14$ : $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}$ . Conclusión:

\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20}, \qquad \frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} = \frac45 . \checkmark

11. Los numeradores de los sucesivos restos son: para $\frac27$ : $2$ , luego $1$ ; para $\frac57$ : $5$ , luego $3$ , luego $1$ ; para $\frac45$ : $4$ , luego $3$ , luego $1$ . Cada lista es estrictamente decreciente.

12. El denominador común de $\frac ab$ y $\frac1n$ es $b \times n$ :

\frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n} = \frac{a \times n - b}{b \times n} .

13. Sobre el denominador $b \times (n-1)$ común, el desigualdad $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ compara la numeradores $b$ y $a \times (n - 1)$ :

b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,

y al agregar $a - b$ a ambos lados se obtiene $a > a \times n - b$ . entonces después de cada paso codicioso el numerador del resto (pregunta 12) es un número entero estrictamente menor que el anterior. entero los números no pueden disminuir estrictamente para siempre: después de como máximo los pasos $a$ el resto tiene numerador $1$ — una unidad fracción — o es $0$ y el método se detiene.

14. Con el común denominador $18$ :

\frac12 + \frac13 + \frac19 = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{17}{18} ,

que es menos que $1$ : se olvidó de $\frac{1}{18}$ de la manada. Esa brecha es todo el truco. De los camellos $18$ , el las acciones $\frac12$ , $\frac13$ , $\frac19$ son los números enteros $9$ , $6$ y $2$ , que suman $9 + 6 + 2 = 17$ : exactamente el rebaño, y el decimoctavo camello se va a casa. Y nadie puede quejarse: el prometido, de $17$ camellos, $\frac{17}{2} = 8.5$ , entonces $\frac{17}{3} \approx 5.67$ , luego $\frac{17}{9} \approx 1.89$ camellos, y cada niño recibió estrictamente más ( $9$ , $6$ y $2$ ). El olvidado $\frac{1}{18}$ es lo que el camello del vecino llenado temporalmente.

15. La pregunta 4 proporciona el testamento reparado:

\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .

Las participaciones son números enteros cuando el tamaño del rebaño es divisible por $2$ , por $3$ y por $6$ — es decir, divisible por $6$ . el El rebaño más pequeño es el de camellos $6$ : comparte $3$ , $2$ y $1$ , y no sobra nada.