55Fracciones: las cuatro operaciones

Solución de Problema 55.1.

1. $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ y $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$. Así que $\frac56 = \frac12 + \frac13$ y $\frac34 = \frac12 + \frac14$ son escrituras egipcias (con fracciones unitarias distintas en cada una).

2. Con el denominador común $28$:

3. $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 = \frac12$, and $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$. En general, el denominador común de $\frac{1}{n+1}$ y $\frac{1}{n(n+1)}$ es $n(n+1)$:

4. Parte de $1 = \frac12 + \frac12$ y parte la segunda mitad con la pregunta 3:

tres fracciones unitarias distintas.

5. Partiendo el $\frac13$ de $\frac56 = \frac12 + \frac13$ se obtiene

Ninguna escritura egipcia es única: la identidad de partición puede sustituir siempre la fracción unitaria de denominador mayor por dos fracciones unitarias nuevas y aún más pequeñas — así que de cualquier escritura se fabrica otra.

6. Con denominador $21$: $\frac27 = \frac{6}{21} < \frac{7}{21} = \frac13$. Con denominador $28$: $\frac14 = \frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$. Las fracciones unitarias menguan a medida que crecen sus denominadores, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 > \dots$; como $\frac13$ (y todo lo que está por encima) es demasiado grande y $\frac14$ cabe, $\frac14$ es la mayor fracción unitaria menor que $\frac27$.

7. $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} = \frac{1}{28}$: el método voraz produce $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$, exactamente la entrada de los escribas de la pregunta 2.

8. Con denominador $14$: $\frac12 = \frac{7}{14} < \frac{10}{14} = \frac57$, mientras que la única fracción unitaria mayor, $1$, supera $\frac57$. Así que $\frac12$ es la mayor que cabe, y

9. Con denominador $28$: $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} < \frac{7}{28} = \frac14$, así que $\frac14$ es demasiado grande. Con denominador $70$: $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$, así que $\frac15$ cabe: es la mayor fracción unitaria menor que $\frac{3}{14}$. Entonces,

Comprobación: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} = \frac{50}{70} = \frac57$.

10. Primer paso: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} = \frac45$ y $1 > \frac45$, así que resta $\frac12$: $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$. Segundo paso: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ es demasiado grande, y $\frac14 = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ cabe, así que resta $\frac14$: $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}$. Conclusión:

11. Los numeradores de los restos sucesivos son: para $\frac27$: $2$ y después $1$; para $\frac57$: $5$, después $3$ y después $1$; para $\frac45$: $4$, después $3$ y después $1$. Cada lista es estrictamente decreciente.

12. El denominador común de $\frac ab$ y $\frac1n$ es $b \times n$:

13. Sobre el denominador común $b \times (n-1)$, la desigualdad $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ compara los numeradores $b$ y $a \times (n - 1)$:

y sumar $a - b$ a los dos miembros da $a > a \times n - b$. Así que, después de cada paso voraz, el numerador del resto (pregunta 12) es un número entero estrictamente menor que el anterior. Los números enteros no pueden decrecer estrictamente para siempre: al cabo de como mucho $a$ pasos, el resto tiene numerador $1$ — una fracción unitaria — o es $0$, y el método se para.

14. Con el denominador común $18$:

que es menor que $1$: el testamento se olvidó $\frac{1}{18}$ del rebaño. Ese hueco es todo el truco. De $18$ camellos, las partes $\frac12$, $\frac13$ y $\frac19$ son los números enteros $9$, $6$ y $2$, que suman $9 + 6 + 2 = 17$: exactamente el rebaño, y el decimoctavo camello se vuelve a casa. Y nadie puede quejarse: el testamento prometía, de $17$ camellos, $\frac{17}{2} = 8.5$, luego $\frac{17}{3} \approx 5.67$ y luego $\frac{17}{9} \approx 1.89$ camellos, y cada hijo recibió estrictamente más ($9$, $6$ y $2$). El $\frac{1}{18}$ olvidado es lo que el camello del vecino llenó temporalmente.

15. La pregunta 4 proporciona el testamento reparado:

Las partes son números enteros cuando el tamaño del rebaño es divisible entre $2$, entre $3$ y entre $6$ — es decir, divisible entre $6$. El rebaño más pequeño así es de $6$ camellos: partes $3$, $2$ y $1$, y no sobra nada.