Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

23La división

El año pasado dividimos con las tablas y restos pequeños (Capítulo 17); este capítulo instala el método escrito completo — la división larga — que sirve para cualquier número, grupo de cifras a grupo de cifras.

23.1 El método de la división larga

Método 23.1 (Dividir por un número de una cifra)

Para dividir $749$ entre $6$ :

toma la cifra de más a la izquierda, $7$ (centenas): el $6$ cabe $1$ vez en $7$ ; escribe $1$ en el cociente, resta $6$ y queda resto $1$ ;
baja la cifra siguiente, el $4$ : ahora divide $14$ (decenas): $6 \times 2 = 12$ ; escribe $2$ , resto $2$ ;
baja el $9$ : divide $29$ : $6 \times 4 = 24$ ; escribe $4$ , resto $5$ ;
ya no quedan cifras: el cociente es $124$ y el resto, $5$ .

Comprobación: $6 \times 124 + 5 = 744 + 5 = 749$ , y $5 < 6$ .

La división larga de 749 entre 6, escrita entera: aparece cada resta, cada cifra se queda en su columna y las flechas grises señalan las cifras que se bajan. — La división larga de $749$ entre $6$ , escrita entera: aparece cada resta, cada cifra se queda en su columna y las flechas grises señalan las cifras que se bajan.

Ejemplo 23.2 (Un cero en el cociente)

Divide $618$ entre $3$ : centenas, $6 \div 3 = 2$ ; decenas, baja el $1$ : el $3$ cabe $0$ veces en $1$ — ¡escribe el $0$ ! — y queda resto $1$ ; unidades, baja el $8$ : $18 \div 3 = 6$ . Cociente $206$ , resto $0$ . Olvidar el cero del medio (y escribir $26$ ) es el error clásico; la comprobación $3 \times 26 = 78 \neq 618$ lo detecta al instante.

Ejemplo 23.3 (Estimar el tamaño del cociente)

Antes de dividir $749$ entre $6$ , acota la respuesta: $6 \times 100 = 600$ y $6 \times 200 = 1\,200$ , así que el cociente está entre $100$ y $200$ — tendrá tres cifras. Esta estimación de una línea evita casi todos los errores de cifra mal colocada.

23.2 Elegir lo que pide la pregunta

Método 23.4 (Cociente, resto o cociente más uno)

Como en el Método 17.5, la historia decide:

«cuántos … completos» o «cuántos para cada uno»: el cociente;
«cuántos sobran»: el resto;
«cuántos recipientes hacen falta para todo»: el cociente más uno si el resto no es cero.

Ejemplo 23.5

Hay que empaquetar $530$ libros en cajas de $8$ .

530 = 8 \times 66 + 2 .

¿Cuántas cajas completas? $66$ . ¿Cuántos libros quedan fuera de una caja completa? $2$ . ¿Cuántas cajas para empaquetar todos los libros? $67$ . Tres preguntas, una sola división.

Ejemplo 23.6 (Repartir un gasto)

Cuatro amigos comparten a partes iguales el coste de un regalo de $92$ : $92 \div 4 = 23$ exactamente (resto $0$ ). Cada uno paga $23$ . Cuando el resto es cero, la división «es exacta» y el reparto es perfectamente justo.

23.3 Ejercicios

Ejercicio 23.1 ★

Acota cada cociente como en el Ejemplo 23.3 (¿entre qué dos números «redondos»?) y calcula después la división larga: $96 \div 4$ ; $87 \div 5$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

$96 \div 4$ : entre $4 \times 20 = 80$ y $4 \times 30 = 120$ , así que el cociente tiene dos cifras; la división larga da $24$ , resto $0$ .

$87 \div 5$ : entre $5 \times 10 = 50$ y $5 \times 20 = 100$ ; cociente $17$ , resto $2$ ( $87 = 5 \times 17 + 2$ ).

Ejercicio 23.2 ★

Calcula las divisiones largas y comprueba cada una: $672 \div 4$ ; $925 \div 7$ ; $804 \div 6$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

$672 \div 4 = 168$ , resto $0$ (comprobación: $4 \times 168 = 672$ ).

$925 \div 7 = 132$ , resto $1$ (comprobación: $7 \times 132 + 1 = 925$ ).

$804 \div 6 = 134$ , resto $0$ (comprobación: $6 \times 134 = 804$ ).

Ejercicio 23.3 ★

Cuidado con el cero (véase el Ejemplo 23.2): $816 \div 4$ ; $420 \div 7$ ; $2\,512 \div 5$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

$816 \div 4 = 204$ (el paso de las decenas es $1 \div 4$ : cero veces — hay que escribir el $0$ ).

$420 \div 7 = 60$ .

$2\,512 \div 5 = 502$ , resto $2$ (comprobación: $5 \times 502 + 2 = 2\,512$ ).

Ejercicio 23.4 ★

Escribe la igualdad de comprobación ( $a = b \times q + r$ ) para: $85 \div 9$ ; $1\,000 \div 3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

$85 = 9 \times 9 + 4$ (cociente $9$ , resto $4$ ).

$1\,000 = 3 \times 333 + 1$ .

Ejercicio 23.5 ★

Se meten $156$ huevos en hueveras de $6$ . ¿Cuántas hueveras se llenan?

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

$156 \div 6 = 26$ : se llenan veintiséis hueveras y no sobra ninguno.

Ejercicio 23.6 ★

Una cinta de $250$ cm se corta en trozos de $8$ cm. ¿Cuántos trozos salen y qué longitud sobra?

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

$250 = 8 \times 31 + 2$ : treinta y un trozos y sobran $2$ cm de cinta.

Ejercicio 23.7 ★

$375$ alumnos van a un espectáculo en autobuses de $52$ plazas. ¿Cuántos autobuses hacen falta? (¿Qué caso del Método 23.4 es este? Divide entre $52$ usando múltiplos: $52 \times 7 = 364$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

$375 = 52 \times 7 + 11$ : siete autobuses llevan a $364$ alumnos y quedan $11$ — es el caso del «más uno»: hacen falta $8$ autobuses.

Ejercicio 23.8 ★

Tres amigos se reparten $234$ canicas a partes iguales. ¿Cuántas canicas para cada uno? Compruébalo con una multiplicación.

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

$234 \div 3 = 78$ : cada uno recibe $78$ canicas. Comprobación: $3 \times 78 = 234$ .

Ejercicio 23.9 ★

Halla el dividendo: la división entre $7$ da cociente $58$ y resto $3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

Dividendo $= 7 \times 58 + 3 = 406 + 3 = 409$ .

Ejercicio 23.10 ★★

Un bibliotecario coloca $438$ libros, $9$ por estante. Los estantes vienen en estanterías de $6$ estantes. ¿Cuántos estantes hacen falta? ¿Cuántas estanterías hay que comprar? (Dos divisiones, las dos con una pregunta de «más uno».)

Solución

Solución de Ejercicio 23.10.

Estantes: $438 = 9 \times 48 + 6$ : $48$ estantes llenos y $6$ libros más — hacen falta $49$ estantes. Estanterías: $49 = 6 \times 8 + 1$ : ocho estanterías completas y un estante suelto — hay que comprar $9$ estanterías.

Ejercicio 23.11 ★★

En una división entre $8$ , el cociente es igual al resto. ¿Cuáles son los dividendos posibles? Enuméralos todos. (El resto debe quedarse por debajo de $8$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 23.11.

Cociente $=$ resto $= r$ con $r < 8$ , así que $r$ vale $0, 1, \dots, 7$ y el dividendo es $8r + r = 9r$ : los dividendos posibles son $0$ , $9$ , $18$ , $27$ , $36$ , $45$ , $54$ , $63$ .