38Los números decimales

Solución de Problema 38.1.

1. $3$ es mayor: completando, $3.000 > 2.999$. La diferencia es $3.000 - 2.999 = 0.001$, una milésima.

2. Estrictamente entre $7.4 = 7.40$ y $7.5 = 7.50$ están

nueve números, uno por cada marca nueva de la graduación.

3. El mismo dibujo, diez veces más pequeño: entre $7.440$ y $7.450$ están $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — otra vez nueve números.

4. Entre $7.400$ y $7.500$, los números de tres cifras decimales son $7.401, 7.402, \dots, 7.499$: todas las milésimas de $401$ a $499$, es decir, $99$ números.

5. La receta de la ampliación: escribe los dos números con el mismo número de cifras decimales y después añade una cifra decimal más — el número menor seguido de una cifra del $1$ al $9$ cae estrictamente entre los dos. En efecto, $5.67 = 5.670$ y $5.68 = 5.680$, and

y, del mismo modo, $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. Entre dos marcas vecinas de la graduación siempre hay todo un nivel nuevo de nueve marcas más finas.

6. $3 < 3.05 < 3.1$; luego $3 < 3.005 < 3.01$; luego $3 < 3.0005 < 3.001$. Cada candidato queda vencido por una ampliación más.

7. Sea cual sea el número que proponga Tomás — llamémoslo su candidato, estrictamente mayor que $3$ —, la pregunta 5 produce un número estrictamente entre $3$ y el candidato. Así que el candidato no era el número más cercano a $3$: existe otro aún más cerca. Como esto le pasa a todos los candidatos sin excepción, ningún número puede ser «el número justo después del $3$»: sencillamente no existe.

8. $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$. Y $3 - 2.999 = 0.001$. Con veinte nueves, la diferencia es un punto decimal seguido de diecinueve ceros y un $1$ — una unidad en el vigésimo lugar decimal: diminuta, pero no cero. Por muchos nueves que escriba Tomás, nunca llega a $3$.

9. Los números enteros suben de $1$ en $1$: mayor que $7$ y menor que $8$ significaría un número entero de unidades estrictamente entre $7$ y $8$ unidades, y no lo hay. La ampliación escapa de esto solo escribiendo cifras después del punto — justamente lo que los números enteros no tienen.

10. La longitud más pequeña que redondea a $3.7$ es $3.65$ cm: su cifra siguiente es $5$, que redondea hacia arriba (Definición 38.9). Y $3.75$ redondea a $3.8$ por la misma razón. Así que «$3.7$ cm a la décima más cercana» significa: al menos $3.65$ cm y estrictamente menos de $3.75$ cm — todo un tramo ampliado de longitudes verdaderas posibles se esconde detrás de un solo valor redondeado.

11. $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. En una frase: comparando cifra a cifra desde la izquierda, $0.0999$ tiene $0$ décimas mientras que $0.6$ tiene $6$, y ahí queda decidida la comparación — el número de cifras escritas no dice nada sobre el tamaño (Método 38.3).

12. No: en céntimos, $4.99$ euros son $499$ céntimos y $5$ euros son $500$ céntimos — números enteros consecutivos, sin nada en medio. Los precios, al tener exactamente dos cifras decimales, son en realidad números enteros de céntimos disfrazados: como los números enteros de la pregunta 9, sí tienen vecinos de al lado. La ampliación sin fin necesita el derecho a escribir cada vez más cifras decimales.

13. Los candidatos cercanos a $6$ son $5.82$ y $8.25$ (un número que empiece por $2$, o por $58$, $25$, $82$ u $85$, queda lejos de $6$). Distancias: $6 - 5.82 = 0.18$ y $8.25 - 6 = 2.25$. El más cercano es $5.82$.

14. Por ejemplo, $3.1415$, ya que $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$; después $3.14159$, ya que $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (Los dos son pasos reales de la caza auténtica de $\pi = 3.14159\dots$)

15. Supón que alguien nombra un número, tan grande como quiera. Una ampliación convierte cada par de marcas vecinas entre $0$ y $1$ en nueve números nuevos, y la ampliación se puede repetir indefinidamente — las preguntas 2, 3 y 4 eran solo los dos primeros niveles. Repitiéndola las veces suficientes se producen más números decimales entre $0$ y $1$ que el número nombrado. Así que ningún número basta para contarlos: hay infinitos.