Mathematics · Libro 1 · Grades 1–9

Matemáticas de primaria y secundaria

Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

53Áreas y volúmenes

El año pasado medimos rectángulos, triángulos rectángulos y ortoedros (Capítulo 43). Con unas tijeras — cortar un trozo aquí, pegarlo allá — las mismas ideas dan ahora las áreas de los paralelogramos, de todos los triángulos y del disco, y los volúmenes de los prismas y los cilindros.

53.1 Área de un paralelogramo

Teorema 53.1 (Paralelogramo)

Un paralelogramo con un lado de longitud bb (su base) y distancia hh entre ese lado y el opuesto (su altura) tiene área

A=b×h.A = b \times h .

Demostración con tijeras. Corta el triángulo rectángulo que sobresale por un lado y pégalo en el otro: el paralelogramo se convierte en un rectángulo b×hb \times h con la misma área. ∎

La demostración con tijeras: deslizar el triángulo rojo del extremo izquierdo al derecho convierte el paralelogramo en un rectángulo — la misma área, b × h.
La demostración con tijeras: deslizar el triángulo rojo del extremo izquierdo al derecho convierte el paralelogramo en un rectángulo — la misma área, b×hb \times h.

Observación 53.2

¡La altura es la distancia perpendicular entre las dos bases, no la longitud del lado inclinado! Un paralelogramo muy inclinado puede tener lados largos y un área pequeña.

53.2 Área de un triángulo

Teorema 53.3 (Triángulo)

Un triángulo de base bb y altura correspondiente hh (la distancia perpendicular del vértice opuesto a la recta de la base) tiene área

A=b×h2.A = \frac{b \times h}{2} .

Demostración. Dos copias del triángulo, una girada media vuelta alrededor del punto medio de un lado, encajan en un paralelogramo de base bb y altura hh (esa es la simetría central en acción, Proposición 52.4). El triángulo es la mitad: bh2\frac{bh}{2}. ∎

Un triángulo y su copia girada media vuelta (discontinua) forman un paralelogramo: el área del triángulo es b× h/2. Cualquiera de los tres lados puede hacer de base — con su propia altura.
Un triángulo y su copia girada media vuelta (discontinua) forman un paralelogramo: el área del triángulo es b×h2\frac{b\times h}{2}. Cualquiera de los tres lados puede hacer de base — con su propia altura.

Ejemplo 53.4

Un triángulo tiene una base de 99 cm y la altura correspondiente mide 44 cm:

A=9×42=362=18 cm2.A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .

Para un triángulo rectángulo, los dos catetos son una base y su altura: recuperamos la fórmula de la Proposición 43.6.

53.3 Área de un disco

Teorema 53.5 (Disco)

Un disco de radio rr tiene área

A=πr2.A = \pi r^2 .

Idea de la demostración. Corta el disco en muchos sectores finos e iguales y colócalos alternando arriba y abajo: casi forman un paralelogramo de altura rr cuya base es la mitad de la longitud de la circunferencia, πr\pi r (Proposición 43.3). Su área es próxima a πr×r=πr2\pi r \times r = \pi r^2, y la aproximación se vuelve perfecta a medida que los sectores adelgazan. Una demostración completa necesita el cálculo integral, del volumen de secundaria superior. ∎

Cortar el disco en sectores y desenrollarlos: casi un paralelogramo de base π r (la mitad del borde) y altura r.
Cortar el disco en sectores y desenrollarlos: casi un paralelogramo de base πr\pi r (la mitad del borde) y altura rr.

Ejemplo 53.6

El tablero de una mesa redonda tiene radio 6060 cm. Su área es π×602=3600π≈11 310\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310 cm2^2, algo más de 1.11.1 m2^2. Fíjate en la diferencia: el perímetro 2πr2\pi r usa rr y el área πr2\pi r^2 usa r2r^2.

53.4 Prismas y cilindros

Definición 53.7 (Prisma, cilindro)

Un prisma es un cuerpo con dos caras poligonales iguales y paralelas (las bases) unidas por rectángulos; un cilindro es lo mismo con discos como bases. La altura es la distancia entre las dos bases.

Teorema 53.8 (Volúmenes)

Para un prisma o un cilindro de área de la base BB y altura hh:

V=B×h.V = B \times h .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 53.9

Una tienda de campaña es un prisma tumbado: sus bases son triángulos de base 22 m y altura 1.51.5 m, y la tienda mide 33 m de largo.

  1. área de la base: B=2×1.52=1.5B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5 m2^2;
  2. volumen: V=B×h=1.5×3=4.5V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5 m3^3.

Una lata de radio 44 cm y altura 1111 cm: V=π×42×11=176π≈553V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553 cm3^3, aproximadamente medio litro.

53.5 Ejercicios

Ejercicio 53.1 ★

Calcula el área de un paralelogramo de base 88 cm y altura 55 cm; y la de otro de base 6.56.5 m y altura 44 m.

Solución

Solución de Ejercicio 53.1.

8×5=408 \times 5 = 40 cm2^2; 6.5×4=266.5 \times 4 = 26 m2^2.

Ejercicio 53.2 ★

Un paralelogramo tiene lados de 1010 cm y 66 cm, y la altura relativa a la base de 1010 cm mide 44 cm. Calcula su área. ¿Por qué la respuesta no es 6060 cm2^2?

Solución

Solución de Ejercicio 53.2.

A=10×4=40A = 10 \times 4 = 40 cm2^2. La respuesta no es 10×6=6010 \times 6 = 60 porque el lado de 66 cm está inclinado: la fórmula usa la altura (la distancia perpendicular), que es 44 cm.

Ejercicio 53.3 ★

Calcula el área de un triángulo de base 1212 cm y altura 77 cm; la de un triángulo rectángulo de catetos 99 y 66; y la de un triángulo de base 5.55.5 m y altura 22 m.

Solución

Solución de Ejercicio 53.3.

12×72=42\frac{12 \times 7}{2} = 42 cm2^2; 9×62=27\frac{9 \times 6}{2} = 27; 5.5×22=5.5\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5 m2^2.

Ejercicio 53.4 ★

Calcula el área de un disco de radio 55 cm y después la de un semidisco de radio 1010 cm (valores exactos con π\pi y después redondeados a la unidad).

Solución

Solución de Ejercicio 53.4.

Disco: π×52=25π≈79\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79 cm2^2. Semidisco de radio 1010: π×1022=50π≈157\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157 cm2^2.

Ejercicio 53.5 ★

Calcula el perímetro y el área de un disco de radio 33 cm. ¿Cuál de las dos respuestas va en cm y cuál en cm2^2?

Solución

Solución de Ejercicio 53.5.

Perímetro: 2π×3=6π≈18.82\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8 cm (una longitud, en cm). Área: π×32=9π≈28.3\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3 cm2^2 (una superficie, en cm2^2).

Ejercicio 53.6 ★

Calcula el volumen de un prisma de área de la base 2424 cm2^2 y altura 1010 cm; y el de un cilindro de radio 33 cm y altura 88 cm (exacto y después redondeado).

Solución

Solución de Ejercicio 53.6.

Prisma: 24×10=24024 \times 10 = 240 cm3^3. Cilindro: π×32×8=72π≈226\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226 cm3^3.

Ejercicio 53.7 ★

Un triángulo tiene área 2828 cm2^2 y base 88 cm. Halla la altura correspondiente, escribiendo antes la ecuación.

Solución

Solución de Ejercicio 53.7.

8×h2=28\frac{8 \times h}{2} = 28, así que 4h=284h = 28 y h=7h = 7 cm.

Ejercicio 53.8 ★★

Dibuja un triángulo cualquiera y mide con cuidado las tres parejas base–altura. Calcula b×h2\frac{b \times h}{2} para cada pareja: los tres resultados deberían coincidir (salvo error de medida). ¿Por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 53.8.

Los tres productos coinciden porque cada uno calcula la misma magnitud: el área del triángulo. Esto da una comprobación práctica de las construcciones y una manera de calcular una altura a partir de otra pareja base–altura (se usa en el Ejercicio 53.12).

Ejercicio 53.9 ★★

Un jardín con forma de trapecio se puede partir, con una diagonal, en dos triángulos que comparten la misma altura h=20h = 20 m, con bases de 3030 m y 1818 m. Calcula su área total. ¿Sabrías adivinar una fórmula general para el trapecio?

Solución

Solución de Ejercicio 53.9.

Los dos triángulos tienen áreas 30×202=300\frac{30 \times 20}{2} = 300 m2^2 y 18×202=180\frac{18 \times 20}{2} = 180 m2^2: en total, 480480 m2^2. Fórmula general sugerida: para lados paralelos aa y bb a distancia hh,

A=(a+b)×h2A = \frac{(a + b) \times h}{2}

— la fórmula del trapecio (aquí, (30+18)×202=480\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480).

Ejercicio 53.10 ★★

Un jarrón cilíndrico de radio 66 cm contiene agua hasta una altura de 1515 cm. Toda el agua se vierte en un ortoedro vacío de base 1818 cm ×\times 1212 cm. ¿Qué altura de agua se alcanza en el ortoedro? (El mismo volumen, distinta base.)

Solución

Solución de Ejercicio 53.10.

Volumen de agua: π×62×15=540π≈1 696\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696 cm3^3. Base del ortoedro: 18×12=21618 \times 12 = 216 cm2^2. Altura alcanzada: 540π216=2.5π≈7.9\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9 cm.

Ejercicio 53.11 ★★

Una pizza de diámetro 3030 cm cuesta 99 euros; otra de diámetro 4040 cm cuesta 1414 euros. Calcula las dos áreas y el precio por cada 100100 cm2^2. ¿Qué pizza sale mejor de precio?

Solución

Solución de Ejercicio 53.11.

Radios 1515 y 2020 cm. Áreas: 225π≈707225\pi \approx 707 cm2^2 y 400π≈1257400\pi \approx 1257 cm2^2. Precio por cada 100100 cm2^2: 97.07≈1.27\frac{9}{7.07} \approx 1.27 euros y 1412.57≈1.11\frac{14}{12.57} \approx 1.11 euros. La pizza grande sale mejor de precio — las áreas crecen con el cuadrado del diámetro.

Ejercicio 53.12 ★★★

Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 66 cm y 88 cm, y su hipotenusa mide 1010 cm. Calcula su área con los catetos y usa después ese área para hallar la altura relativa a la hipotenusa.

Solución

Solución de Ejercicio 53.12.

Con los catetos: A=6×82=24A = \frac{6 \times 8}{2} = 24 cm2^2. Con la hipotenusa como base: 24=10×h2=5h24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h, así que h=4.8h = 4.8 cm.

53.6 Problema: El cuadrado que se esfuma

Problema 53.1

Problema de fin de semana — una «demostración» famosa de que 64=6564 = 65, desenmascarada con áreas y pendientes, con pizzas y coronas de postre

Un mago corta un cuadrado de 8×88 \times 8 en cuatro piezas, las desliza y las vuelve a montar formando un rectángulo de 5×135 \times 13. El público cuenta: 8×8=648 \times 8 = 64, pero 5×13=655 \times 13 = 65 — ¡ha aparecido un cuadradito de la nada! Las fórmulas de área de este capítulo son exactamente las herramientas que pillan el truco. Después el problema pone a trabajar el razonamiento honesto con áreas: en trapecios, en pilas inclinadas, en la economía de las pizzas — y, por último, vuelve al mago para una segunda función aún más extraña.

Parte I — El truco, ejecutado y desenmascarado. Las cuatro piezas del cuadrado de 8×88 \times 8 son: dos triángulos rectángulos de catetos 88 y 33, y dos trapecios rectángulos de lados paralelos 55 y 33 y altura 55.

  1. calcula el área del cuadrado original y el área del rectángulo que se afirma. Enuncia el escándalo en una línea;
  2. calcula el área de cada una de las cuatro piezas (Teorema 53.3; para los trapecios, córtalos o usa el Ejercicio 53.9);
  3. suma las cuatro áreas. ¿Cuál de las dos figuras — el cuadrado o el rectángulo — pueden llenar realmente las piezas?
  4. en la disposición rectangular, la hipotenusa de un triángulo (que sube 33 en 88) debería continuar el borde inclinado de un trapecio (que sube 22 en 55) formando una sola «diagonal» recta. Comprueba la alineación: ¿son 33 en 88 y 22 en 55 la misma inclinación (Teorema 49.3)?
  5. explica dónde se esconde el sexagésimo quinto cuadradito: qué forma tiene el hueco a lo largo de la falsa diagonal, cuál es su área exacta y por qué se le escapa al ojo. (¿Qué anchura media tiene una astilla de esa área estirada a lo largo de la diagonal del rectángulo, que mide unas 1313 unidades?)

Parte II — Razonar honradamente con áreas.

  1. traza dos rectas paralelas separadas 44 cm, una base de 66 cm sobre una de ellas y tres triángulos distintos sobre esa base con los vértices en puntos diversos de la otra recta. Calcula las tres áreas. ¿Por qué son todas iguales, deslice el vértice donde deslice a lo largo de su recta?

  2. demuestra la fórmula del trapecio en general: un trapecio de lados paralelos BB y bb y altura hh, cortado por una diagonal, da dos triángulos de la misma altura hh. Concluye:

    A=(B+b)×h2.A = \frac{(B + b) \times h}{2} .
  3. aplícala a un trapecio con B=9B = 9 cm, b=5b = 5 cm y h=4h = 4 cm.
  4. los carpinteros usan la misma fórmula disfrazada: área == (media de los dos lados paralelos) ×\times altura. Explica por qué es la misma regla y recalcula la pregunta 8 de esa manera;
  5. inclina un montón bien apilado de cartas hasta dejarlo torcido. Explica por qué el volumen no ha cambiado y qué dice esto sobre la altura en la fórmula del prisma V=B×hV = B \times h (Teorema 53.8): ¿qué altura hay que tomar en una pila torcida, la longitud inclinada o la vertical? (Compara con el Ejercicio 53.2, una dimensión más arriba.)

Parte III — Coronas, pizzas y el regreso del mago.

  1. un estanque circular de radio 33 m está en el centro de un césped circular de radio 55 m. Calcula el área de la corona de césped (exacta con π\pi y después redondeada al m2^2).
  2. halla el radio del único disco cuya área sea exactamente igual al área de esa corona. (Los tres radios que ya tienes forman un trío famoso, cuya historia se cuenta en el Capítulo 58.)
  3. ¿qué es más pizza: una pizza de diámetro 4040 cm o dos pizzas de diámetro 2828 cm? Calcula y compara;
  4. para duplicar el área de una pizza, ¿por qué factor aproximado tiene que crecer su radio? Comprueba el candidato 1.41.4 (recuerda que las áreas siguen el cuadrado del factor de ampliación, Problema 44.1) y di dónde hace su entrada oficial el factor exacto — el número cuyo cuadrado es 22 (Ejemplo 58.9).
  5. el mago vuelve: corta un cuadrado de 13×1313 \times 13 con los números 55, 88 y 1313 haciendo los papeles que antes hacían 33, 55 y 88, y monta un rectángulo de 8×218 \times 21. Calcula las dos áreas: ¿qué se esfuma esta vez? Los números 3,5,8,13,213, 5, 8, 13, 21 son términos consecutivos de la sucesión del Problema 47.1 — enuncia el patrón de las ganancias y pérdidas del mago, y la moraleja: ¿por qué las áreas no mienten nunca?
Solución

Solución de Problema 53.1.

1. Cuadrado: 8×8=648 \times 8 = 64. Rectángulo: 5×13=655 \times 13 = 65. Las mismas cuatro piezas parecen cubrir 6464 unidades cuadradas en una figura y 6565 en la otra: se ha creado una unidad de área de la nada — supuestamente.

2. Cada triángulo: 8×32=12\frac{8 \times 3}{2} = 12. Cada trapecio: (5+3)×52=20\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20.

3. 12+12+20+20=6412 + 12 + 20 + 20 = 64: las piezas suman 6464, así que pueden llenar exactamente el cuadrado — y no pueden llenar el rectángulo de 6565 unidades. El dibujo del rectángulo tiene que contener un hueco.

4. La misma inclinación significaría que 33 en 88 es proporcional a 22 en 55; productos cruzados: 3×5=153 \times 5 = 15 y 2×8=162 \times 8 = 16. No son iguales: la hipotenusa y el borde inclinado no se alinean. La «diagonal» del rectángulo es mentira — dos pendientes ligeramente distintas que se juntan en un ángulo muy abierto.

5. A lo largo de la falsa diagonal, las cuatro piezas dejan un hueco larguísimo y finísimo — una astilla con forma de paralelogramo muy achatado — cuya área es exactamente la unidad cuadrada que falta, 65−64=165 - 64 = 1. Estirada a lo largo de una diagonal de unas 1313 unidades, su anchura media es de unas 1÷13≈0.081 \div 13 \approx 0.08 unidades: en un dibujo real, más fina que el trazo de lápiz que la esconde.

6. Cada triángulo tiene base 66 cm y altura 44 cm — la distancia entre las paralelas, esté donde esté el vértice —, así que cada área es 6×42=12\frac{6 \times 4}{2} = 12 cm2^2 (Teorema 53.3). Deslizar el vértice a lo largo de la paralela cambia la forma, nunca la base ni la altura: áreas iguales para siempre.

7. La diagonal corta el trapecio en un triángulo de base BB y otro de base bb, los dos de altura hh (la distancia entre los lados paralelos):

A=B×h2+b×h2=(B+b)×h2.A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2} = \frac{(B + b) \times h}{2} .

8. A=(9+5)×42=562=28A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28 cm2^2.

9. La media de los lados paralelos es B+b2\frac{B + b}{2}, así que (media) ×h=(B+b)×h2\times h = \frac{(B+b) \times h}{2}: la misma fórmula, factorizada de otro modo. Comprobación: media =9+52=7= \frac{9+5}{2} = 7, y 7×4=287 \times 4 = 28 cm2^2.

10. La pila torcida contiene exactamente las mismas cartas — las mismas capas, cada una de la misma área —, así que el mismo volumen. En V=B×hV = B \times h, la altura hay que medirla perpendicularmente a la base (la altura vertical de la pila), no a lo largo de la inclinación: exactamente igual que el área del paralelogramo quiere la altura perpendicular y no el lado inclinado (Ejercicio 53.2), una dimensión más arriba.

11. Corona =π×52−π×32=25π−9π=16π≈50= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi \approx 50 m2^2 (Teorema 53.5).

12. Un disco de área 16π16\pi tiene radio 44, ya que π×42=16π\pi \times 4^2 = 16\pi. Los radios 33, 44 y 55: el trío más famoso de las matemáticas, protagonista del Capítulo 58.

13. Una pizza de 4040 cm: radio 2020 y área π×400≈1 257\pi \times 400 \approx 1\,257 cm2^2. Dos pizzas de 2828 cm: radio 1414 y, juntas, 2×π×196=392π≈1 2322 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232 cm2^2. La pizza grande sola es más pizza que las dos medianas.

14. Multiplicar el radio por 1.41.4 multiplica el área por 1.42=1.961.4^2 = 1.96 — casi el doble. El factor exacto es el número cuyo cuadrado es 22, unos 1.4141.414: el número de la diagonal del Ejemplo 58.9. (Regla práctica: una mitad más de anchura es casi el doble de pizza.)

15. 13×13=16913 \times 13 = 169, pero 8×21=1688 \times 21 = 168: esta vez desaparece una unidad cuadrada — las piezas se solapan en una astilla fina en vez de dejar un hueco. Con términos consecutivos 3,5,8,13,213, 5, 8, 13, 21 de la sucesión de Hemachandra–Fibonacci, los productos van alternando entre uno más y uno menos que el cuadrado (5×13=65=82+15 \times 13 = 65 = 8^2 + 1, y después 8×21=168=132−18 \times 21 = 168 = 13^2 - 1): el mago «gana» y «pierde» alternativamente una unidad. Las áreas no mienten nunca: unas piezas que suman 6464 cubren 6464, las deslices como las deslices — toda unidad que falte o sobre se esconde en una astilla, esperando a que una comprobación de pendientes la delate.

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