Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

53Áreas y volúmenes

Rectángulos medidos de grado 6, triangulos rectángulos y cajas (Capítulo 43). Con unas tijeras — corta un trozo aquí, pégalo allí — las mismas ideas ahora dan el áreas de paralelogramos, de todo triángulos y del disco, y el volúmenes de prismas y cilindros.

53.1 Área de un paralelogramo

Teorema 53.1 (paralelogramo)

A paralelogramo con un lado de longitud $b$ (su base) y distancia $h$ entre ese lado y el opuesto (su altura) tiene área

A = b \times h .

Prueba con tijeras. Corta el triángulo en ángulo recto que sobresale de un lado y pégalo. por el otro: el paralelogramo se convierte en un rectángulo $b \times h$ con el mismo área. ∎

La prueba de las tijeras: deslizando el triángulo rojo desde el extremo izquierdo al extremo derecho convierte el paralelogramo en un rectángulo — lo mismo área, b × h. — La prueba de las tijeras: deslizando el triángulo rojo desde el extremo izquierdo al extremo derecho convierte el paralelogramo en un rectángulo — lo mismo área, $b \times h$ .

Observación 53.2

La altura es la distancia perpendicular entre las dos bases, ¡No la longitud del lado inclinado! Un paralelogramo muy inclinado puede tienen lados largos y un pequeño área.

53.2 Área de un triángulo

Teorema 53.3 (Triángulo)

Un triángulo con base $b$ y altura correspondiente $h$ (el perpendicular distancia desde el vértice opuesto a la línea base) tiene área

A = \frac{b \times h}{2} .

Demostración. Dos copias del triángulo, una girada media vuelta alrededor del punto medio de un lado, encajan en un paralelogramo con base $b$ y altura $h$ (es decir, simetría central en el trabajo, Proposición 52.4). El triángulo es medio del mismo: $\frac{bh}{2}$ . ∎

Un triángulo y su copia medio vuelta (discontinua) forman una paralelogramo: el área del triángulo es b× h/2. Cualquiera de los tres lados pueden servir como base — con altura su propio. — Un triángulo y su copia medio vuelta (discontinua) forman una paralelogramo: el área del triángulo es $\frac{b\times h}{2}$ . Cualquiera de los tres lados pueden servir como base — con altura *su propio*.

Ejemplo 53.4

Un triángulo tiene una base de $9$ cm y la altura correspondiente mide $4$ cm:

A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .

Para un triángulo bien, los dos catetos son una base y su altura: recuperamos la fórmula de Proposición 43.6.

53.3 Área de un disco

Teorema 53.5 (Disco)

Un disco de radio $r$ tiene área

A = \pi r^2 .

Idea de prueba. Cortar el disco en muchas rodajas finas iguales y colocarlas de la cabeza a la cola: casi forman un paralelogramo de altura $r$ cuya base es medio el circunferencia, $\pi r$ (Proposición 43.3). Su área es cerca de $\pi r \times r = \pi r^2$ , y la aproximación se vuelve Perfecto a medida que las rodajas se vuelven más finas. Una prueba completa necesita integral Cálculo, del volumen High School. ∎

Cortar el disco y desenrollar las rodajas: casi un paralelogramo de base π r (medio el borde) y altura r. — Cortar el disco y desenrollar las rodajas: casi un paralelogramo de base $\pi r$ (medio el borde) y altura $r$ .

Ejemplo 53.6

Un tablero de mesa redondo tiene radio $60$ cm. Su área es $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ cm $^2$ , un poco más que $1.1$ m $^2$ . Mira el diferencia: usos del perímetro $2\pi r$ $r$ , el área $\pi r^2$ usa $r^2$ .

53.4 Prismas y cilindros

Definición 53.7 (prisma, cilindro)

Un prisma es un sólido con dos paralelo idénticos. poligonal caras (el bases) unido por rectángulos; un cilindro ocurre lo mismo con los discos como bases. el altura es la distancia entre las dos bases.

Teorema 53.8 (Volúmenes)

Para un prisma o un cilindro con base área $B$ y altura $h$ :

V = B \times h .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 53.9

Una tienda de campaña es una prisma acostada de lado: sus bases son triángulos de base $2$ m y altura $1.5$ m, y la tienda mide $3$ m de largo.

Base área: $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ m $^2$ .
Volumen: $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ m $^3$ .

Una lata de radio $4$ cm y altura $11$ cm: $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ cm $^3$ , aproximadamente medio un litro.

53.5 Ceremonias

Ejercicio 53.1 ★

Calcular el área de un paralelogramo con base $8$ cm y altura $5$ cm; de otro con base $6.5$ m y altura $4$ m.

Solución

Solución de Ejercicio 53.1.

$8 \times 5 = 40$ cm $^2$ ; $6.5 \times 4 = 26$ m $^2$ .

Ejercicio 53.2 ★

Un paralelogramo tiene lados $10$ cm y $6$ cm, y la altura relativa a la base $10$ cm mide $4$ cm. Calcule su área. ¿Por qué es el ¿Responde no $60$ cm $^2$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 53.2.

$A = 10 \times 4 = 40$ cm $^2$ . La respuesta no es $10 \times 6 = 60$ porque el lado $6$ cm está inclinado: la fórmula utiliza la altura (distancia perpendicular), que es $4$ cm.

Ejercicio 53.3 ★

Calcular el área de un triángulo con base $12$ cm y altura $7$ cm; de un triangulo rectángulo con patas $9$ y $6$ ; de un triangulo con base $5.5$ m y altura $2$ m.

Solución

Solución de Ejercicio 53.3.

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ cm $^2$ ; $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ ; $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ m $^2$ .

Ejercicio 53.4 ★

Calcular el área de un disco de radio $5$ cm, luego de un medio disco de radio $10$ cm (valores exactos con $\pi$ , luego redondeados a la unidad).

Solución

Solución de Ejercicio 53.4.

Disco: $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ cm $^2$ . Medio disco de radio $10$ : $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ cm $^2$ .

Ejercicio 53.5 ★

Calcular el perímetro y el área de un disco de radio $3$ cm. ¿Cuál de las dos respuestas está en cm y cuál en cm $^2$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 53.5.

Perímetro: $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ cm (una longitud, en cm). Área: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ cm $^2$ (una superficie, en cm $^2$ ).

Ejercicio 53.6 ★

Calcular el volumen de un prisma con base área $24$ cm $^2$ y altura $10$ cm; de un cilindro de radio $3$ cm y altura $8$ cm (exacta, luego redondeado).

Solución

Solución de Ejercicio 53.6.

Prisma: $24 \times 10 = 240$ cm $^3$ . Cilindro: $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ cm $^3$ .

Ejercicio 53.7 ★

Un triángulo tiene área $28$ cm $^2$ y base $8$ cm. Encuentra el altura correspondiente, escribiendo primero la ecuación.

Solución

Solución de Ejercicio 53.7.

$\frac{8 \times h}{2} = 28$ , entonces $4h = 28$ y $h = 7$ cm.

Ejercicio 53.8 ★★

Dibuja cualquier triángulo y mide cuidadosamente los tres pares base-altura. Calcule $\frac{b \times h}{2}$ para cada par: los tres resultados deben de acuerdo (hasta error de medición). ¿Por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 53.8.

Los tres productos coinciden porque cada uno calcula el mismo cantidad — el área del triángulo. Esto proporciona una comprobación práctica. de construcciones, y una forma de calcular una altura desde otra par base-altura (usado en Ejercicio 53.12).

Ejercicio 53.9 ★★

Un jardín en forma de trapezoide se puede dividir, por una diagonal, en dos triángulos que comparten la misma altura $h = 20$ m, con bases $30$ m y $18$ m. Calcule su total área. ¿Puedes adivinar una fórmula general para el trapezoide?

Solución

Solución de Ejercicio 53.9.

Los dos triángulos tienen áreas $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ m $^2$ y $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ m $^2$ : total $480$ m $^2$ . generales fórmula sugerida: para paralelo lados $a$ y $b$ a distancia $h$ ,

A = \frac{(a + b) \times h}{2}

— la fórmula del trapezoide (aquí $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$ ).

Ejercicio 53.10 ★★

Un jarrón cilíndrico de radio $6$ cm contiene agua hasta una altura de $15$ cm. Se vierte toda el agua en un caja vacío. $18$ cm $\times$ $12$ cm en la base. ¿Qué altura del agua se alcanza en el caja? (Mismo volumen, base diferente).

Solución

Solución de Ejercicio 53.10.

Agua volumen: $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ cm $^3$ . Caja base: $18 \times 12 = 216$ cm $^2$ . Altura alcanzada: $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ cm.

Ejercicio 53.11 ★★

Una pizza de diámetro $30$ cm cuesta $9$ euros; uno de diámetro $40$ cm cuesta $14$ euros. Calcular los dos áreas y el precio por $100$ cm $^2$ . ¿Qué pizza es la mejor oferta?

Solución

Solución de Ejercicio 53.11.

Radios $15$ y $20$ cm. Áreas: $225\pi \approx 707$ cm $^2$ y $400\pi \approx 1257$ cm $^2$ . Precio por $100$ cm $^2$ : $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ euros y $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ euros. La pizza grande es mejor. oferta — áreas crece con el cuadrado del diámetro.

Ejercicio 53.12 ★★★

Las dos patas de un triangulo rectángulo miden $6$ cm y $8$ cm, y sus la hipotenusa mide $10$ cm. Calcule su área con las piernas, luego use que área para encontrar la altura relativa al hipotenusa.

Solución

Solución de Ejercicio 53.12.

Con las piernas: $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm $^2$ . con el hipotenusa como base: $24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h$ , entonces $h = 4.8$ cm.

53.6 Problema: el cuadrado que desaparece

Problema 53.1

Problema del fin de semana — una famosa “prueba” que $64 = 65$ , desenmascarado por zonas y pistas, con pizzas y anillas para postre

Un mago corta un cuadrado $8 \times 8$ en cuatro pedazos, lo desliza alrededor y los vuelve a ensamblar en un rectángulo $5 \times 13$ . La audiencia cuenta: $8 \times 8 = 64$ , pero $5 \times 13 = 65$ — una unidad cuadrada ha aparecido de la nada aire! Las fórmulas área de este capítulo son exactamente las herramientas que capta el truco. El problema entonces plantea un razonamiento honesto área. trabajo: sobre trapecios, sobre pilas inclinadas, sobre economía de la pizza — y finalmente regresa con el mago por un segundo, incluso extraño rendimiento.

Parte I — The trick, performed and unmasked. Las cuatro piezas del cuadrado $8 \times 8$ son: dos correcto triangulos con catetos $8$ y $3$ , y dos trapecios rectos con paralelo lados $5$ y $3$ y altura $5$ .

Calcular el área del cuadrado original y el área del el rectángulo reclamado. Exprese el escándalo en una línea.
Calcular el área de cada una de las cuatro piezas. (Teorema 53.3; para los trapecios, corte o utilice Ejercicio 53.9).
Añade los cuatro áreas. ¿Cuál de las dos figuras — cuadrado o rectángulo — ¿se pueden llenar realmente las piezas?
En la disposición del rectángulo, la hipotenusa de un triángulo (aumentando $3$ a través de $8$ ) se supone que continúa un borde inclinado del trapezoide (que se eleva $2$ a través de $5$ ) en uno recta “diagonal”. Pruebe la alineación: son $3$ de ancho $8$ y $2$ en $5$ con la misma inclinación (Teorema 49.3)?
Explica dónde se esconde el cuadrado sexagésimo quinto: qué forma tiene el espacio a lo largo de la falsa diagonal, ¿cuál es su exactitud área? ¿Y por qué el ojo no lo ve? (¿Qué ancho, en promedio, tiene un astilla de ese área estirada sobre el rectángulo diagonal, aproximadamente $13$ unidades de largo?)

Parte II — Honest área reasoning.

Dibujar dos lineas paralelas $4$ cm de distancia, una base de $6$ cm en uno de ellos, y tres triángulos diferentes en esa base con vértices en varios puntos de la otra línea. calcular los tres áreas. ¿Por qué son todos iguales, sin importar cuál sea el vértice? se desliza a lo largo de su línea?
Demuestre la fórmula del trapezoide en general: un trapezoide con paralelo lados $B$ y $b$ y altura $h$ , cortados a lo largo de diagonal, da dos triángulos de la misma altura $h$ . Concluir:

$A = \frac{(B + b) \times h}{2} .$
Aplicarlo a un trapezoide de $B = 9$ cm, $b = 5$ cm, $h = 4$ cm.
Los carpinteros usan la misma fórmula disfrazada: área $=$ (promedio de los dos lados paralelo) Altura $\times$ . Explique por qué esta es la misma regla y vuelva a calcular la pregunta. 8 de esa manera.
Incline una pila ordenada de naipes en una pila inclinada. Explique por qué el volumen no ha cambiado y qué dice sobre la altura en la fórmula prisma $V = B \times h$ (Teorema 53.8): cuál altura que se debe tomar para una pila inclinada — la inclinación ¿Largo o el vertical? (Comparar Ejercicio 53.2, una dimensión hacia arriba.)

Parte III — Rings, pizzas, and the magician’s return.

Un estanque circular de radio $3$ m se encuentra en el centro de un Césped circular de radio $5$ m. Calcule el área del anillo de pasto (exactamente con $\pi$ , luego redondeado a la m $^2$ ).
Encuentre el radio del disco único cuyo área es igual Ese anillo es área exactamente. (Los tres radios que tienes ahora forman un famoso triple, cuya historia se cuenta en Capítulo 58.)
Cuál es más pizza: una pizza de diámetro $40$ cm, o dos pizzas de diámetro $28$ cm? Calcula y compara.
A doble área de una pizza, aproximadamente en qué factor ¿Debe crecer su radio? Verifique el candidato $1.4$ (recuerde que áreas siga el cuadrado del escalamiento factor, Problema 44.1), y diga dónde factor exacto — el número cuyo cuadrado es $2$ — hace su entrada oficial (Ejemplo 58.9).
El mago regresa: corta un cuadrado $13 \times 13$ con los números $5$ , $8$ , $13$ desempeñando los roles que $3$ , $5$ , $8$ jugado antes y vuelve a ensamblar un $8 \times 21$ rectángulo. Calcule ambos áreas: ¿qué desaparece esta vez? Los números $3, 5, 8, 13, 21$ son términos consecutivos de la secuencia de Problema 47.1 — indica el patrón del Las ganancias y pérdidas del mago, y la moraleja: ¿por qué áreas? ¿Nunca mientes?

Solución

Solución de Problema 53.1.

1. Cuadrado: $8 \times 8 = 64$ . Rectángulo: $5 \times 13 = 65$ . Las mismas cuatro piezas parecen cubrir $64$ unidades cuadradas en una figura y $65$ en la otra: una unidad de área ha sido creado de la nada — supuestamente.

2. Cada triángulo: $\frac{8 \times 3}{2} = 12$ . cada uno trapezoide: $\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20$ .

3. $12 + 12 + 20 + 20 = 64$ : las piezas en total $64$ , para que puedan llenar el cuadrado exactamente — y pueden llenar no el rectángulo de unidades $65$ . La imagen rectangular debe contener un agujero.

4. La misma pendiente significaría $3$ en $8$ proporcional a $2$ a través de $5$ ; cruz productos: $3 \times 5 = 15$ y $2 \times 8 = 16$ . No iguales: el la hipotenusa y el borde inclinado se alinean no. el La “diagonal” del rectángulo es mentira — dos ligeramente diferentes pendientes que se encuentran en un ángulo poco profundo.

5. A lo largo de la falsa diagonal las cuatro piezas dejan un espacio largo y extremadamente delgado: una astilla en forma de una plano paralelogramo — cuyo área es exactamente el que falta $65 - 64 = 1$ unidad cuadrada. Estirado a lo largo de una diagonal aproximadamente $13$ unidades de largo, su ancho promedio es de aproximadamente Unidades $1 \div 13 \approx 0.08$ : sobre dibujo real, más delgadas que la línea de lápiz que lo oculta.

6. Cada triángulo tiene base $6$ cm y altura $4$ cm — la distancia entre paralelas, dondequiera que se encuentre el ápice — entonces cada área es $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ (Teorema 53.3). Deslizando el ápice a lo largo del paralelo cambia la forma, nunca la base ni la altura: igual a áreas para siempre.

7. La diagonal corta el trapezoide en un triángulo. con base $B$ y uno con base $b$ , ambos de altura $h$ (el distancia entre los lados paralelo):

A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2} = \frac{(B + b) \times h}{2} .

8. $A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28$ cm $^2$ .

9. El promedio de los lados paralelo es $\frac{B + b}{2}$ , entonces (promedio) $\times h = \frac{(B+b) \times h}{2}$ : la misma fórmula, factorizada de manera diferente. Verificar: promedio $= \frac{9+5}{2} = 7$ , y $7 \times 4 = 28$ cm $^2$ .

10. La pila inclinada contiene exactamente las mismas cartas. — las mismas capas, cada una del mismo área — entonces lo mismo volumen. En $V = B \times h$ se debe medir la altura. perpendicular a la base (la altura vertical del pila), no a lo largo de la inclinación: exactamente como el paralelogramo área quiere la altura perpendicular, no el lado inclinado (Ejercicio 53.2), una dimensión hacia arriba.

11. Anillo $= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi \approx 50$ m $^2$ (Teorema 53.5).

12. Un disco de área $16\pi$ tiene radio $4$ , ya que $\pi \times 4^2 = 16\pi$ . Los radios $3$ , $4$ , $5$ : los más famoso triplete en matemáticas, protagonizado por Capítulo 58.

13. Una pizza $40$ cm: radio $20$ , área $\pi \times 400 \approx 1\,257$ cm $^2$ . Dos $28$ cm pizzas: radio $14$ , juntas $2 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232$ cm $^2$ . el Una sola pizza grande es una pizza más que las dos medianas.

14. Escalando el radio por $1.4$ balanza el área por $1.4^2 = 1.96$ — casi el doble. El factor exacto es el número cuyo cuadrado es $2$ , aproximadamente $1.414$ : el número diagonal de Ejemplo 58.9. (Regla general: medio nuevamente (El ancho es casi el doble de la pizza).

15. $13 \times 13 = 169$ , pero $8 \times 21 = 168$ : esta vez una unidad cuadrada desaparece — las piezas superpongan en una fina astilla en lugar de dejar un espacio. con términos consecutivos $3, 5, 8, 13, 21$ del Hemachandra–Secuencia de Fibonacci, el cambio productos entre uno más y uno menos que el cuadrado ( $5 \times 13 = 65 = 8^2 + 1$ , luego $8 \times 21 = 168 = 13^2 - 1$ ): el mago alternativamente "gana" y "pierde" una unidad. Áreas nunca mientas: piezas por un total de $64$ cubren $64$ , por donde se deslicen — cada La unidad faltante o extra está escondida en una franja, esperando una pendiente. verifique para exponerlo.