Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

28Medidas y Perímetro

Grado 3 medido con reglas, balanzas y relojes. (Capítulo 19); este capítulo agrega la tabla de unidades — el máquina que lo convierte todo — y dos formas de medir un plano forma: la longitud de su borde (perímetro) y la habitación dentro de él (área, contado en cuadrados por ahora).

28.1 la tabla de unidades

Método 28.1 (Convirtiendo con la tabla)

Para longitudes, cada columna vale diez de las siguientes:

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
			$3$	$4$	$0$

Escribe el número con un dígito por columna, el dígito de las unidades. de la medida en la columna de su unidad (aquí $3.4$ m: el $3$ bajo m);
lea el número en la nueva unidad: $3.4$ m $= 340$ cm (rellene columnas vacías con ceros);
masas (kg … g) y capacidades (L … cL) trabajan el de la misma manera.

Ejemplo 28.2

$5$ kilómetros $= 5\,000$ metros; $270$ cm $= 2.7$ m (el $2$ aterriza debajo metro); $3$ kg $250$ g $= 3\,250$ g; $2.5$ L $= 250$ cL.

28.2 Perímetro

Definición 28.3 (Perímetro)

El perímetro de un polígono es el total longitud de su borde: suma las longitudes de todos sus lados (en la misma unidad!). Atajos para los clásicos:

\text{rectangle: } P = 2 \times (L + w), \qquad \text{square: } P = 4 \times c .

Ejemplo 28.4

Un jardín rectangular $12$ m por $7$ m:

P = 2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38 \text{ m}

de valla. Un marco de fotos cuadrado de lado $18$ cm: $P = 4 \times 18 = 72$ cm.

28.3 Área: contar cuadrados

Definición 28.5 (Área por conteo)

El área de una figura dibujada en una cuadrícula es el número de cuadrados de la cuadrícula que cubre. Dos medios cuadrados cuentan como uno. Área responde “cuánta superficie”, perímetro responde “¿cuánto mide el frontera ” — ¡dos preguntas diferentes!

Dos figuras en la cuadrícula: áreas 8 y 6 cuadrados. Ahora camina los bordes y contar las unidades: 12 para ambos! Mismo perímetro, diferente áreas. — Dos figuras en la cuadrícula: áreas $8$ y $6$ cuadrados. Ahora camina los bordes y contar las unidades: $12$ para ambos! Mismo perímetro, diferente áreas.

Ejemplo 28.6 (Medios cuadrados)

Un triángulo rectángulo dibujado en la cuadrícula con catetos $4$ y $2$ cubre $3$ cuadrados completos y $2$ medios cuadrados … cuenta con cuidado: es área es medio del rectángulo $4 \times 2$ , es decir, $4$ cuadrados. Cortar un Un rectángulo a lo largo de su diagonal siempre da dos triángulos de igual área.

Ejemplo 28.7 (Misma zona, diferentes perímetros)

Un cuadrado $4 \times 4$ y un rectángulo $8 \times 2$ cubren $16$ cuadrados — mismo área. Bordes: $16$ unidades para el cuadrado, $20$ para el rectángulo. Ninguna medida determina la otra: una larga y delgada La forma tiene muchos bordes para poca superficie.

28.4 Duraciones

Método 28.8 (Agregando tiempos a lo largo de la hora)

Para sumar o restar duraciones, trabaje en saltos durante las horas completas (recuerde $1$ h $= 60$ min):

9\text{ h }40 + 35 \text{ min}: \quad 9\text{ h }40 \xrightarrow{+20} 10\text{ h }00 \xrightarrow{+15} 10\text{ h }15 .

Nunca agregue minutos después de $60$ sin convertir: $40 + 35 = 75$ min $= 1$ h $15$ mín.

Ejemplo 28.9

El tren sale en $8{:}47$ y llega a $11{:}05$ . Duración: $8{:}47 \to 9{:}00$ es $13$ mínimo; $9{:}00 \to 11{:}00$ es $2$ h; $11{:}00 \to 11{:}05$ es $5$ mín. Total: $2$ h $18$ mín.

28.5 Ceremonias

Ejercicio 28.1 ★

Convertir con la tabla de unidades: $7$ m en cm; $3.2$ kilómetros en metros; $85$ mm pulg. centímetros; $4\,500$ m en km.

Solución

Solución de Ejercicio 28.1.

$7$ m $= 700$ cm; $3.2$ km $= 3\,200$ m; $85$ mm $= 8.5$ cm; $4\,500$ m $= 4.5$ km.

Ejercicio 28.2 ★

Convertir: $2$ kg en g; $1\,800$ g en kg y g; $3.5$ L en cl; $25$ cL en L.

Solución

Solución de Ejercicio 28.2.

$2$ kg $= 2\,000$ g; $1\,800$ g $= 1$ kg $800$ g; $3.5$ L $= 350$ cL; $25$ cL $= 0.25$ L.

Ejercicio 28.3 ★

Calcular el perímetro: un rectángulo $9$ cm $\times$ $5$ cm; un cuadrado de lado $7.5$ cm; un triángulo con lados $6$ cm, $8$ cm y $10$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 28.3.

Rectángulo: $2 \times (9 + 5) = 28$ cm. Cuadrado: $4 \times 7.5 = 30$ cm. Triángulo: $6 + 8 + 10 = 24$ cm.

Ejercicio 28.4 ★

Un rectángulo tiene perímetro $26$ cm y longitud $8$ cm. Encuentra su ancho (primero busque el largo $+$ y el ancho).

Solución

Solución de Ejercicio 28.4.

Largo $+$ ancho $= 26 \div 2 = 13$ cm, por lo que el ancho es $13 - 8 = 5$ cm.

Ejercicio 28.5 ★

En papel cuadriculado, dibuja una figura en forma de L que cubra exactamente $10$ cuadrados y contar las unidades de su perímetro.

Solución

Solución de Ejercicio 28.5.

Muchas formas de L funcionan; para un $10$ -cuadrado L hecho de un $4 \times 2$ rectángulo más un pie $2 \times 1$ , caminar por el borde da $16$ unidades. (Cualquier cifra correcta y un conteo cuidadoso es correcto; el perímetro depende de la L elegida).

Ejercicio 28.6 ★

Dibuja dos rectángulos diferentes de cuadrados área $12$ . Calcular el perímetro de cada uno. ¿Cuál es "más redondo" y cuál es "más delgado"?

Solución

Solución de Ejercicio 28.6.

$3 \times 4$ : perímetro $14$ . $2 \times 6$ : perímetro $16$ . ( $1 \times 12$ : perímetro $26$ .) Cuanto más cerca de un cuadrado, más más pequeño el perímetro para el mismo área.

Ejercicio 28.7 ★

Se dibuja un triángulo rectángulo en la cuadrícula con los catetos $6$ y $3$ . que es ¿Su área en cuadrados? (Utilice Ejemplo 28.6).

Solución

Solución de Ejercicio 28.7.

Medio del rectángulo $6 \times 3$ : cuadrados $18 \div 2 = 9$ .

Ejercicio 28.8 ★

Calcule las duraciones: de $10{:}20$ a $12{:}45$ ; de $7{:}35$ a $9{:}10$ . Una película dura $1$ h $50$ y comienza en $20{:}30$ : ¿cuándo? ¿Termina?

Solución

Solución de Ejercicio 28.8.

$10{:}20 \to 12{:}45$ : $2$ h $25$ mín. $7{:}35 \to 9{:}10$ : $1$ h $35$ mín. Película: $20{:}30 + 1$ h $50 = 22{:}20$ .

Ejercicio 28.9 ★

Kim corre $3$ vueltas de un campo rectangular $60$ m por $45$ m. cuantos metros que corre?

Solución

Solución de Ejercicio 28.9.

Una vuelta: $2 \times (60 + 45) = 210$ m. Tres vueltas: $3 \times 210 = 630$ m.

Ejercicio 28.10 ★★

Un agricultor quiere cercar un campo cuadrado de lado $85$ m, dejando un Portón de $4$ m sin valla. ¿Cuántos metros de valla debe comprar?

Solución

Solución de Ejercicio 28.10.

Perímetro: $4 \times 85 = 340$ m; menos la puerta: $340 - 4 = 336$ m de valla.

Ejercicio 28.11 ★★

Verdadero o falso, con ejemplos de cuadrícula: “si dos figuras tienen el mismo perímetro, tienen el mismo área”; “si dos figuras tienen lo mismo área, tienen el mismo perímetro”. (Ejemplo 28.7 y la figura del capítulo ayudarán).

Solución

Solución de Ejercicio 28.11.

Ambas reclamaciones son FALSO. Mismo perímetro, diferente áreas: el $4 \times 2$ rectángulo y la forma de L de la figura del capítulo (ambos perímetro $12$ ; áreas $8$ y $6$ ). Mismo área, diferente perímetros: el cuadrado $4 \times 4$ y el rectángulo $8 \times 2$ (tanto área $16$ ; perímetros $16$ como $20$ ).