Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

28Medidas y perímetro

El año pasado medimos con reglas, balanzas y relojes (Capítulo 19); este capítulo añade la tabla de unidades — la máquina que lo convierte todo — y dos maneras de medir una figura plana: la longitud de su borde (el perímetro) y el sitio que hay dentro (el área, contada en casillas por ahora).

28.1 La tabla de unidades

Método 28.1 (Convertir con la tabla)

Para las longitudes, cada columna vale diez veces la siguiente:

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
			$3$	$4$	$0$

escribe el número con una cifra por columna, y la cifra de las unidades de la medida en la columna de su unidad (aquí, $3.4$ m: el $3$ debajo de m);
lee el número en la unidad nueva: $3.4$ m $= 340$ cm (rellena con ceros las columnas vacías);
las masas (kg … g) y las capacidades (L … cL) funcionan igual.

Ejemplo 28.2

$5$ km $= 5\,000$ m; $270$ cm $= 2.7$ m (el $2$ cae debajo de m); $3$ kg $250$ g $= 3\,250$ g; $2.5$ L $= 250$ cL.

28.2 El perímetro

Definición 28.3 (Perímetro)

El perímetro de un polígono es la longitud total de su borde: suma las longitudes de todos sus lados (¡en la misma unidad!). Atajos para los casos clásicos:

\text{rectángulo: } P = 2 \times (L + a), \qquad \text{cuadrado: } P = 4 \times c .

Ejemplo 28.4

Un jardín rectangular de $12$ m por $7$ m:

P = 2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38 \text{ m}

de valla. Un marco de fotos cuadrado de lado $18$ cm: $P = 4 \times 18 = 72$ cm.

28.3 El área: contar casillas

Definición 28.5 (Área contando casillas)

El área de una figura dibujada en una cuadrícula es el número de casillas que cubre. Dos medias casillas cuentan como una. El área responde a «cuánta superficie» y el perímetro, a «cuánto mide el borde» — ¡dos preguntas distintas!

Dos figuras en la cuadrícula: áreas de 8 y 6 casillas. Ahora recorre los bordes y cuenta las unidades: ¡12 en las dos! Mismo perímetro, áreas distintas. — Dos figuras en la cuadrícula: áreas de $8$ y $6$ casillas. Ahora recorre los bordes y cuenta las unidades: ¡ $12$ en las dos! Mismo perímetro, áreas distintas.

Ejemplo 28.6 (Medias casillas)

Un triángulo rectángulo dibujado en la cuadrícula con catetos $4$ y $2$ cubre $3$ casillas enteras y $2$ medias casillas … cuenta con cuidado: su área es la mitad del rectángulo de $4 \times 2$ , es decir, $4$ casillas. Cortar un rectángulo por su diagonal da siempre dos triángulos de igual área.

Ejemplo 28.7 (Misma área, perímetros distintos)

Un cuadrado de $4 \times 4$ y un rectángulo de $8 \times 2$ cubren los dos $16$ casillas — la misma área. Los bordes: $16$ unidades el cuadrado y $20$ el rectángulo. Ninguna de las dos medidas determina la otra: una figura larga y estrecha tiene mucho borde para poca superficie.

28.4 Duraciones

Método 28.8 (Sumar horas cruzando la hora en punto)

Para sumar o restar duraciones, avanza a saltos por las horas completas (recuerda que $1$ h $= 60$ min):

9\text{ h }40 + 35 \text{ min}: \quad 9\text{ h }40 \xrightarrow{+20} 10\text{ h }00 \xrightarrow{+15} 10\text{ h }15 .

Nunca sumes minutos por encima de $60$ sin convertir: $40 + 35 = 75$ min $= 1$ h $15$ min.

Ejemplo 28.9

El tren sale a las $8{:}47$ y llega a las $11{:}05$ . Duración: de $8{:}47$ a $9{:}00$ hay $13$ min; de $9{:}00$ a $11{:}00$ , $2$ h; de $11{:}00$ a $11{:}05$ , $5$ min. Total: $2$ h $18$ min.

28.5 Ejercicios

Ejercicio 28.1 ★

Convierte con la tabla de unidades: $7$ m en cm; $3.2$ km en m; $85$ mm en cm; $4\,500$ m en km.

Solución

Solución de Ejercicio 28.1.

$7$ m $= 700$ cm; $3.2$ km $= 3\,200$ m; $85$ mm $= 8.5$ cm; $4\,500$ m $= 4.5$ km.

Ejercicio 28.2 ★

Convierte: $2$ kg en g; $1\,800$ g en kg y g; $3.5$ L en cL; $25$ cL en L.

Solución

Solución de Ejercicio 28.2.

$2$ kg $= 2\,000$ g; $1\,800$ g $= 1$ kg $800$ g; $3.5$ L $= 350$ cL; $25$ cL $= 0.25$ L.

Ejercicio 28.3 ★

Calcula el perímetro: un rectángulo de $9$ cm $\times$ $5$ cm; un cuadrado de lado $7.5$ cm; un triángulo de lados $6$ cm, $8$ cm y $10$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 28.3.

Rectángulo: $2 \times (9 + 5) = 28$ cm. Cuadrado: $4 \times 7.5 = 30$ cm. Triángulo: $6 + 8 + 10 = 24$ cm.

Ejercicio 28.4 ★

Un rectángulo tiene perímetro $26$ cm y largo $8$ cm. Halla su ancho (halla primero largo $+$ ancho).

Solución

Solución de Ejercicio 28.4.

Largo $+$ ancho $= 26 \div 2 = 13$ cm, así que el ancho es $13 - 8 = 5$ cm.

Ejercicio 28.5 ★

En papel cuadriculado, dibuja una figura en forma de L que cubra exactamente $10$ casillas y cuenta las unidades de su perímetro.

Solución

Solución de Ejercicio 28.5.

Valen muchas formas de L; para una L de $10$ casillas hecha de un rectángulo de $4 \times 2$ más un pie de $2 \times 1$ , al recorrer el borde salen $16$ unidades. (Cualquier figura correcta y bien contada vale; el perímetro depende de la L elegida.)

Ejercicio 28.6 ★

Dibuja dos rectángulos distintos de área $12$ casillas. Calcula el perímetro de cada uno. ¿Cuál es más «redondo» y cuál más «estrecho»?

Solución

Solución de Ejercicio 28.6.

$3 \times 4$ : perímetro $14$ . $2 \times 6$ : perímetro $16$ . ( $1 \times 12$ : perímetro $26$ .) Cuanto más se parece a un cuadrado, menor es el perímetro para la misma área.

Ejercicio 28.7 ★

Se dibuja en la cuadrícula un triángulo rectángulo de catetos $6$ y $3$ . ¿Cuál es su área en casillas? (Usa el Ejemplo 28.6.)

Solución

Solución de Ejercicio 28.7.

La mitad del rectángulo de $6 \times 3$ : $18 \div 2 = 9$ casillas.

Ejercicio 28.8 ★

Calcula las duraciones: de $10{:}20$ a $12{:}45$ ; de $7{:}35$ a $9{:}10$ . Una película dura $1$ h $50$ y empieza a las $20{:}30$ : ¿a qué hora termina?

Solución

Solución de Ejercicio 28.8.

$10{:}20 \to 12{:}45$ : $2$ h $25$ min. $7{:}35 \to 9{:}10$ : $1$ h $35$ min. Película: $20{:}30 + 1$ h $50 = 22{:}20$ .

Ejercicio 28.9 ★

Kim da $3$ vueltas a un campo rectangular de $60$ m por $45$ m. ¿Cuántos metros corre?

Solución

Solución de Ejercicio 28.9.

Una vuelta: $2 \times (60 + 45) = 210$ m. Tres vueltas: $3 \times 210 = 630$ m.

Ejercicio 28.10 ★★

Un granjero quiere vallar un campo cuadrado de lado $85$ m dejando una cancela de $4$ m sin vallar. ¿Cuántos metros de valla tiene que comprar?

Solución

Solución de Ejercicio 28.10.

Perímetro: $4 \times 85 = 340$ m; menos la cancela: $340 - 4 = 336$ m de valla.

Ejercicio 28.11 ★★

¿Verdadero o falso? Justifícalo con ejemplos en la cuadrícula: «si dos figuras tienen el mismo perímetro, tienen la misma área»; «si dos figuras tienen la misma área, tienen el mismo perímetro». (Ejemplo 28.7 y la figura del capítulo te ayudarán.)

Solución

Solución de Ejercicio 28.11.

Las dos afirmaciones son falsas. Mismo perímetro y áreas distintas: el rectángulo de $4 \times 2$ y la figura en L de la figura del capítulo (las dos con perímetro $12$ y áreas $8$ y $6$ ). Misma área y perímetros distintos: el cuadrado de $4 \times 4$ y el rectángulo de $8 \times 2$ (los dos con área $16$ y perímetros $16$ y $20$ ).

Términos definidos en este capítulo

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