Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

52Simetría central y paralelogramos

Gira una figura media vuelta alrededor de un punto: esto es la simetría central, la segunda transformación del libro después de las reflexiones del Capítulo 42. Su figura estrella es el paralelogramo — el cuadrilátero simétrico respecto del punto de corte de sus propias diagonales.

52.1 La simetría central

Definición 52.1 (Simétrico respecto de un punto)

El simétrico de un punto $M$ respecto de un punto $O$ es el punto $M'$ tal que $O$ es el punto medio de $[MM']$ . La figura simétrica es en lo que se convierte la original tras un medio giro ( $180^\circ$ ) alrededor de $O$ .

Simetría respecto de O: cada punto y su imagen están alineados con O, a distancias iguales a los dos lados (trazos iguales). — Simetría respecto de $O$ : cada punto y su imagen están alineados con $O$ , a distancias iguales a los dos lados (trazos iguales).

Método 52.2 (Construir el simétrico de un punto)

Para construir el simétrico $M'$ de $M$ respecto de $O$ :

traza la recta $(MO)$ y prolóngala más allá de $O$ ;
mide $MO$ (con regla o compás);
coloca $M'$ sobre la prolongación con $OM' = OM$ .

En papel cuadriculado: cuenta los pasos horizontales y verticales de $M$ a $O$ y repite los mismos pasos desde $O$ para llegar a $M'$ .

Ejemplo 52.3 (En la cuadrícula)

Si $M$ está $3$ casillas a la izquierda y $1$ casilla por encima de $O$ , su simétrico $M'$ está $3$ casillas a la derecha y $1$ casilla por debajo de $O$ : la simetría central invierte las dos direcciones a la vez (una reflexión invierte solo una).

Proposición 52.4 (Qué conserva un medio giro)

La simetría central conserva longitudes, ángulos, perímetros y áreas; la imagen de una recta es una recta paralela, la imagen de un segmento es un segmento paralelo de la misma longitud y la imagen de una circunferencia es una circunferencia del mismo radio (con centro en el simétrico del centro).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 52.5

Compárala con las reflexiones (Proposición 42.4): las dos conservan longitudes y ángulos; pero la reflexión da la vuelta a las figuras (una «b» se convierte en una «d»), mientras que el medio giro las deja legibles — del revés (una «b» se convierte en una «q»). Y, a diferencia de una reflexión, un medio giro envía toda recta a una recta paralela a ella.

Definición 52.6 (Centro de simetría)

Un punto $O$ es un centro de simetría de una figura cuando el medio giro alrededor de $O$ envía la figura exactamente sobre sí misma. Por ejemplo, las letras S, N y Z tienen centro de simetría; una circunferencia tiene uno (su centro); un triángulo no tiene ninguno.

52.2 Los paralelogramos

Definición 52.7 (Paralelogramo)

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyas diagonales se cortan en su punto medio común. Ese punto de corte es entonces un centro de simetría de la figura: cada vértice es la imagen por el medio giro del vértice opuesto.

Teorema 52.8 (Propiedades de un paralelogramo)

En un paralelogramo $ABCD$ de centro $O$ :

los lados opuestos son paralelos: $(AB) \parallel (CD)$ y $(BC) \parallel (AD)$ ;
los lados opuestos tienen la misma longitud: $AB = CD$ y $BC = AD$ ;
los ángulos opuestos son iguales: $\widehat A = \widehat C$ y $\widehat B = \widehat D$ .

Demostración. El medio giro alrededor de $O$ envía $A$ a $C$ y $B$ a $D$ (por definición: $O$ es el punto medio de las dos diagonales). Así que envía el segmento $[AB]$ al segmento $[CD]$ ; por la Proposición 52.4, la imagen es paralela a $[AB]$ y de la misma longitud: puntos 1 y 2. También envía el ángulo en $A$ al ángulo en $C$ , y los ángulos se conservan: punto 3. ∎

Un paralelogramo y su centro O: las diagonales (en rojo) se cortan en sus puntos medios y los lados opuestos son paralelos e iguales (trazos). — Un paralelogramo y su centro $O$ : las diagonales (en rojo) se cortan en sus puntos medios y los lados opuestos son paralelos e iguales (trazos).

Teorema 52.9 (Reconocer un paralelogramo)

Un cuadrilátero (sin lados que se crucen) es un paralelogramo en cuanto se cumple una de estas condiciones:

sus diagonales tienen el mismo punto medio (la definición);
sus lados opuestos son paralelos dos a dos;
dos lados opuestos son paralelos y de la misma longitud.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 52.10

$ABCD$ cumple $(AB) \parallel (CD)$ y $AB = CD = 5$ cm. Se aplica el criterio 3: $ABCD$ es un paralelogramo — así que, sin ninguna medición más, sabemos también que $AD = BC$ , que $(AD) \parallel (BC)$ y que sus diagonales se cortan en su punto medio.

Observación 52.11 (Paralelogramos especiales)

El rectángulo, el rombo y el cuadrado del Capítulo 41 son exactamente los paralelogramos con una propiedad de más: diagonales iguales (rectángulo), diagonales perpendiculares (rombo) o las dos cosas (cuadrado). El argumento de los ángulos prometido en el Ejemplo 41.6 ya funciona: en un paralelogramo, los ángulos consecutivos son suplementarios (ángulos alternos o correspondientes con las paralelas, Teorema 51.2), así que un ángulo recto obliga a los cuatro.

52.3 Ejercicios

Ejercicio 52.1 ★

En papel cuadriculado, sitúa $O$ y después $M$ cuatro casillas a la derecha de $O$ y una casilla más arriba. Construye el simétrico $M'$ de $M$ respecto de $O$ y el simétrico de $M$ respecto de la línea vertical de la cuadrícula que pasa por $O$ . Compara las dos imágenes.

Solución

Solución de Ejercicio 52.1.

Imagen por el medio giro: $M'$ está cuatro casillas a la izquierda de $O$ y una casilla más abajo (las dos direcciones invertidas). Imagen por reflexión respecto de la línea vertical: cuatro casillas a la izquierda, pero todavía una casilla más arriba. Las dos imágenes son distintas: son imágenes especulares verticales una de la otra.

Ejercicio 52.2 ★

Dibuja un triángulo $ABC$ y un punto $O$ fuera de él. Construye su imagen $A'B'C'$ por el medio giro alrededor de $O$ . ¿Qué puedes decir de las longitudes $A'B'$ y $AB$ ? ¿Y de las rectas $(A'B')$ y $(AB)$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 52.2.

$A'B' = AB$ (los medios giros conservan longitudes) y $(A'B') \parallel (AB)$ (la imagen de una recta es una recta paralela, Proposición 52.4).

Ejercicio 52.3 ★

¿Qué cifras, escritas como en la pantalla de una calculadora (del $0$ al $9$ ), tienen centro de simetría? ¿Y qué letras mayúsculas de entre H, A, N, S, T, Z y O?

Solución

Solución de Ejercicio 52.3.

Cifras de calculadora con centro de simetría: $0$ , $2$ , $5$ y $8$ (y el $1$ si se dibuja como una barra simple). Letras: H, N, S, Z y O tienen uno; A y T no (tienen eje en su lugar).

Ejercicio 52.4 ★

$KLMN$ es un paralelogramo de centro $O$ con $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm y $\widehat K = 115^\circ$ . Da, con razones: $MN$ , $NK$ , $\widehat M$ y el punto medio de $[LN]$ .

Solución

Solución de Ejercicio 52.4.

Lados opuestos iguales: $MN = KL = 7$ cm y $NK = LM = 4$ cm. Ángulos opuestos iguales: $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$ . Las diagonales se cortan en su punto medio común, y ese punto es $O$ : el punto medio de $[LN]$ es $O$ .

Ejercicio 52.5 ★

Construye un paralelogramo $ABCD$ a partir de sus diagonales: $AC = 8$ cm y $BD = 5$ cm, que se cortan en sus puntos medios formando un ángulo de $60^\circ$ entre ellas. (¡Traza primero las diagonales!)

Solución

Solución de Ejercicio 52.5.

Traza un segmento $[AC]$ de $8$ cm, marca su punto medio $O$ , traza por $O$ una recta que forme $60^\circ$ con $(AC)$ y sitúa $B$ y $D$ sobre ella a $2.5$ cm de $O$ , uno a cada lado. Une $A$ , $B$ , $C$ y $D$ : las diagonales se cortan en sus puntos medios, así que $ABCD$ es un paralelogramo por definición.

Ejercicio 52.6 ★

En un paralelogramo, un ángulo mide $115^\circ$ . Usando la observación sobre los ángulos consecutivos suplementarios, da los otros tres ángulos.

Solución

Solución de Ejercicio 52.6.

Los ángulos consecutivos son suplementarios: junto a $115^\circ$ está $180 - 115 = 65^\circ$ . Los ángulos opuestos son iguales, así que los cuatro ángulos son $115^\circ$ , $65^\circ$ , $115^\circ$ y $65^\circ$ (suma $360^\circ$ ).

Ejercicio 52.7 ★★

Sitúa $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ y el punto $O(2.5, 2.5)$ . Calcula las coordenadas de las imágenes $A'$ y $B'$ por el medio giro alrededor de $O$ (usa el recuento en la cuadrícula del Ejemplo 52.3).

Solución

Solución de Ejercicio 52.7.

De $A(1,1)$ a $O(2.5, 2.5)$ : $1.5$ a la derecha y $1.5$ arriba; siguiendo igual: $A'(4, 4)$ . De $B(4,2)$ a $O$ : $1.5$ a la izquierda y $0.5$ arriba; siguiendo: $B'(1, 3)$ .

Ejercicio 52.8 ★★

$ABCD$ es un cuadrilátero en el que $AB = CD$ . ¿Basta eso para que sea un paralelogramo? Si no, dibuja un contraejemplo (un trapecio isósceles ayuda) y di qué hay que añadir a la hipótesis.

Solución

Solución de Ejercicio 52.8.

No. Un trapecio isósceles tiene sus dos lados inclinados iguales sin ser un paralelogramo (los dos lados paralelos tienen longitudes distintas). Lo que basta es el criterio 3 del Teorema 52.9: dos lados opuestos iguales y paralelos.

Ejercicio 52.9 ★★

Sea $ABC$ un triángulo y $O$ el punto medio de $[BC]$ . Construye el simétrico $A'$ de $A$ respecto de $O$ . Demuestra que $ABA'C$ es un paralelogramo. (¿Qué criterio del Teorema 52.9 sale gratis aquí?)

Solución

Solución de Ejercicio 52.9.

$O$ es el punto medio de $[BC]$ por elección y es el punto medio de $[AA']$ por construcción del simétrico. El cuadrilátero $ABA'C$ tiene diagonales $[AA']$ y $[BC]$ que comparten el punto medio $O$ : el criterio 1 (la definición) lo convierte en paralelogramo sin coste alguno.

Ejercicio 52.10 ★★

¿Verdadero o falso? Justifícalo: «un cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son iguales dos a dos es un paralelogramo»; «un paralelogramo con diagonales perpendiculares es un rombo»; «un paralelogramo con un ángulo recto es un rectángulo».

Solución

Solución de Ejercicio 52.10.

«Ángulos opuestos iguales $\Rightarrow$ paralelogramo»: verdadero (es otro criterio de reconocimiento; con la suma de ángulos $360^\circ$ , unas parejas opuestas iguales obligan a que los ángulos consecutivos sean suplementarios y, por tanto, a lados paralelos por el Teorema 51.2).

«Diagonales perpendiculares $\Rightarrow$ rombo»: verdadero en un paralelogramo (las diagonales ya se cortan en sus puntos medios).

«Un ángulo recto $\Rightarrow$ rectángulo»: verdadero — los ángulos consecutivos son suplementarios, así que los cuatro salen rectos.

Ejercicio 52.11 ★★★

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cualquiera y sean $I$ , $J$ , $K$ y $L$ los puntos medios de sus lados $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ y $[DA]$ . Dibuja varios ejemplos. ¿Qué parece ser siempre $IJKL$ ? (La demostración, con el teorema del punto medio, llega en el Capítulo 59 — y otra vez con vectores, en el volumen de secundaria superior.)

Solución

Solución de Ejercicio 52.11.

Sea cual sea el cuadrilátero — incluso uno muy irregular —, los puntos medios $I$ , $J$ , $K$ y $L$ forman siempre un paralelogramo. La demostración con el teorema del punto medio está en el Capítulo 59 (Ejercicio 59.9).

52.4 Problema: La tarta, la mediana y el imposible segundo centro

Problema 52.1

Problema de fin de semana — el medio giro en acción: cortes justos de tarta, una cota para las medianas y por qué ninguna figura puede tener dos centros de simetría

El medio giro parece la más sencilla de las transformaciones — y, sin embargo, corta tartas en mitades demostrablemente justas, mide las medianas de un triángulo y esconde una perlita de matemática pura: una figura acotada puede tener un centro de simetría, pero nunca dos. La demostración usa un descubrimiento que harás en la Parte I: dos medios giros, hechos uno detrás de otro, equivalen a un desplazamiento.

Parte I — Gimnasia de medios giros.

en papel cuadriculado, toma el origen $O(0, 0)$ como centro. Con el recuento en la cuadrícula del Ejemplo 52.3, da las imágenes de $M(3, 1)$ , $N(-2, 4)$ y $P(0, -5)$ por el medio giro alrededor de $O$ . ¿Cuál es la regla general para $(x, y)$ ?
ahora el centro es $C(2, 1)$ . Calcula la imagen de $M(5, 3)$ y comprueba la receta general: cada coordenada de la imagen es el doble de la del centro menos la del punto;
las cartas de la baraja se diseñan para leerse igual del revés — una simetría central, para que ningún jugador vea la carta «al revés». Explica por qué, en una carta con un número impar de figuras, una de ellas tiene que estar exactamente en el centro de la carta;
dos medios giros seguidos: toma los centros $O_1(2, 0)$ y $O_2(5, 0)$ . Manda el punto $A(1, 1)$ por el medio giro alrededor de $O_1$ y manda después la imagen por el medio giro alrededor de $O_2$ . Compara la salida y la llegada. Repítelo con $B(0, 3)$ . ¿A qué transformación única y sencilla equivalen los dos medios giros?
mide el desplazamiento de la pregunta 4 frente a la distancia $O_1 O_2$ y enuncia el descubrimiento. (Compáralo con los dos espejos paralelos del Problema 42.1: el mismo fenómeno con actores nuevos.)

Parte II — Tartas y medianas.

sea $O$ el centro de un paralelogramo. Explica por qué toda recta que pase por $O$ corta al borde en dos puntos simétricos respecto de $O$ , y por qué la recta corta el paralelogramo en dos trozos que son copias exactas por medio giro uno del otro — y, por tanto, de áreas iguales;
el teorema del pastelero: una tarta rectangular se reparte con perfecta justicia con cualquier corte recto que pase por su centro. Aún mejor: una tarta rectangular tiene un agujero rectangular (de cualquier tamaño, en cualquier posición e incluso inclinado). Describe el único corte recto que da dos partes con la misma cantidad de tarta — y justifícalo con la pregunta 6;
tres vértices de un paralelogramo $ABCD$ son $A(0, 0)$ , $B(6, 1)$ y $C(8, 5)$ . Calcula las coordenadas de $D$ y las del centro $O$ ;
el Ejercicio 52.9 construyó, a partir de un triángulo $ABC$ y del punto medio $O$ de $[BC]$ , el paralelogramo $ABA'C$ , donde $A'$ es el simétrico de $A$ respecto de $O$ . Úsalo, junto con la desigualdad triangular (Teorema 51.6) en el triángulo $ABA'$ , para demostrar la cota de la mediana: la mediana $[AO]$ cumple

$AO < \frac{AB + AC}{2} .$

(Observa que $AA' = 2\,AO$ y $BA' = AC$ .)
en un triángulo con $AB = 5$ cm y $AC = 7$ cm, ¿entre qué dos valores tiene que estar la longitud de la mediana desde $A$ ? (Usa los dos sentidos de la desigualdad triangular en $ABA'$ .)

Parte III — ¿Cuántos centros puede tener una figura?

para cada figura, di si tiene centro de simetría y dónde: un segmento; una recta entera; un triángulo equilátero; un cuadrado; una circunferencia; las letras S y Z;
demuestra tu respuesta para el triángulo equilátero: un medio giro que enviara el triángulo sobre sí mismo emparejaría los tres vértices — pero tres es impar, así que algún vértice iría a parar a sí mismo. ¿A qué obligaría eso a ese vértice y por qué es imposible?
generaliza la pregunta 12: explica por qué ningún polígono con un número impar de vértices tiene centro de simetría;
la perla: supón que una figura tuviera dos centros de simetría distintos $O_1$ y $O_2$ . Haz los dos medios giros uno detrás de otro y usa el descubrimiento de la pregunta 5: ¿qué movimiento tendría que enviar la figura exactamente sobre sí misma? Explica por qué una figura que cabe en una hoja de papel no puede sobrevivir a eso y concluye;
la conclusión de la pregunta 14 deja un resquicio: las figuras no acotadas. Verifica en un friso infinito — por ejemplo, una fila interminable de huellas, izquierda, derecha, izquierda, derecha … — que tiene (al menos) dos centros de simetría distintos e identifica la traslación que predecía la pregunta 14.

Solución

Solución de Problema 52.1.

1. $M(3, 1) \to (-3, -1)$ ; $N(-2, 4) \to (2, -4)$ ; $P(0, -5) \to (0, 5)$ . Regla: el medio giro alrededor del origen envía $(x, y)$ a $(-x, -y)$ — las dos coordenadas cambian de signo.

2. Desde $M(5, 3)$ : tres casillas a la derecha de $C$ pasan a ser tres a la izquierda, y dos arriba pasan a ser dos abajo: imagen $(-1, -1)$ . Comprobación de la receta: el doble del centro menos el punto, $(2 \times 2 - 5,\ 2 \times 1 - 3) = (-1, -1)$ .

3. El medio giro alrededor del centro de la carta intercambia las figuras por parejas. Con un número impar de figuras, una se queda sin pareja: tiene que ser su propia imagen, y el único punto que es su propia imagen es el centro. De ahí que la figura del medio del 3, del 5, del 7 … esté justo en el centro (mira una carta de verdad: lo está).

4. Alrededor de $O_1(2,0)$ : $A(1,1) \to (3,-1)$ ; alrededor de $O_2(5,0)$ : $(3,-1) \to (7,1)$ . Salida $A(1,1)$ , llegada $(7,1)$ : desplazado $6$ a la derecha, sin voltear. Lo mismo para $B(0,3) \to (4,-3) \to (6,3)$ : desplazado $6$ a la derecha. Los dos medios giros equivalen a una traslación.

5. El desplazamiento es $6$ y $O_1 O_2 = 3$ : la traslación cubre el doble de la distancia entre los centros (en la dirección de $O_1$ a $O_2$ ) — igual que dos espejos paralelos trasladaban el doble de su separación en el Problema 42.1.

6. El medio giro alrededor de $O$ envía el paralelogramo sobre sí mismo (eso es lo que significa «centro de simetría» para él, Teorema 52.8). Una recta que pase por $O$ también se envía sobre sí misma, así que los dos puntos donde corta al borde se intercambian: son simétricos respecto de $O$ . Los dos trozos del paralelogramo a cada lado de la recta también se intercambian, así que son copias exactas (Proposición 52.4) — de áreas iguales.

7. Corta por la recta que pasa por los dos centros: el centro del rectángulo de la tarta y el centro del agujero. Por la pregunta 6 aplicada al rectángulo de la tarta, el corte parte la tarta por la mitad; aplicada al rectángulo del agujero (la recta pasa también por su centro), parte el agujero por la mitad. Cada parte recibe la mitad de la tarta menos la mitad del agujero: perfectamente justo.

8. $D = (0 + 8 - 6,\ 0 + 5 - 1) = (2, 4)$ (las diagonales comparten su punto medio, así que $D$ es la imagen por el medio giro de $B$ respecto del centro). Centro: el punto medio de $[AC]$ , $O(4,\ 2.5)$ .

9. En el paralelogramo $ABA'C$ , los lados opuestos son iguales: $BA' = AC$ . La desigualdad triangular en $ABA'$ da $AA' < AB + BA' = AB + AC$ . Como $O$ es el punto medio de $[AA']$ , $AA' = 2\,AO$ , así que $2\,AO < AB + AC$ , es decir, $AO < \frac{AB + AC}{2}$ .

10. Cota superior: $AO < \frac{5 + 7}{2} = 6$ cm. Cota inferior: en $ABA'$ , $AA' > BA' - AB = 7 - 5 = 2$ , así que $AO > 1$ cm. La mediana desde $A$ está estrictamente entre $1$ y $6$ cm.

11. Segmento: sí, su punto medio. Recta: sí — cada uno de sus puntos es un centro. Triángulo equilátero: ninguno. Cuadrado: sí, el corte de las diagonales. Circunferencia: sí, su centro. S y Z: sí, su punto central (pon la página del revés: se leen igual).

12. El medio giro emparejaría los tres vértices entre sí; como tres es impar, un vértice $A$ sería su propia imagen, lo que obligaría a $A$ a ser el centro del medio giro. Los otros dos vértices $B$ y $C$ serían entonces simétricos respecto de $A$ — así que $A$ sería el punto medio de $[BC]$ y los tres vértices estarían alineados. Un triángulo no tiene tres vértices alineados: contradicción. No existe ese centro.

13. El mismo argumento de paridad: un medio giro que conserve el polígono empareja sus vértices; un número impar de vértices obliga a que haya un vértice fijo, que tendría que ser el centro y el punto medio del segmento que une otros dos vértices — tres vértices alineados, imposible en un polígono … así que ningún polígono con un número impar de vértices tiene centro de simetría.

14. Hacer el medio giro alrededor de $O_1$ y después alrededor de $O_2$ envía la figura sobre sí misma las dos veces — así que su composición también. Por la pregunta 5, esa composición es una traslación del doble de la distancia $O_1 O_2$ , que no es cero porque los centros son distintos. Una figura que cabe en una hoja no puede ser igual a sí misma desplazada una cantidad fija no nula (deslízala las veces suficientes y se sale de la hoja). Así que una figura acotada tiene como mucho un centro de simetría.

15. En la banda interminable, un medio giro alrededor del punto situado a mitad de camino entre una huella izquierda y la derecha siguiente envía el patrón sobre sí mismo; el punto un paso completo más allá también: dos centros distintos. Componer los dos medios giros da la traslación del doble del medio paso — exactamente el desplazamiento de un paso que, visiblemente, envía el friso infinito sobre sí mismo, como predice la pregunta 14. Los patrones no acotados viven según otras reglas: esa es la matemática del papel pintado.

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