Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

52Simetría central y paralelogramos

Girar una figura por medio una vuelta alrededor de un punto: así es céntrico simetría, la segunda transformación del libro después de las reflexiones de Capítulo 42. Su figura estrella es el paralelogramo — el cuadrilátero es decir simétrico sobre su propio punto de cruce diagonales.

52.1 simetría central

Definición 52.1 (Simétrica respecto a un punto)

El simétrico de un punto $M$ sobre un el punto $O$ es el punto $M'$ tal que $O$ es el punto medio de $[MM']$ . La figura simétrica es en lo que se convierte el original después de un media vuelta ( $180^\circ$ ) alrededor de $O$ .

Simetría sobre O: cada punto y su imagen están alineados con O, a distancias iguales en ambos lados (marcas de verificación). — Simetría sobre $O$ : cada punto y su imagen están alineados con $O$ , a distancias iguales en ambos lados (marcas de verificación).

Método 52.2 (Construyendo la simétrica de un punto)

Para construir el simétrico $M'$ de $M$ sobre $O$ :

dibuje la línea $(MO)$ y extiéndala más allá de $O$ ;
medida $MO$ (regla o compás);
coloque $M'$ en la extensión con $OM' = OM$ .

En papel cuadriculado: cuente los pasos horizontales y verticales desde $M$ hasta $O$ y repita los pasos mismo desde $O$ hasta llegar a $M'$ .

Ejemplo 52.3 (En una cuadrícula)

Si $M$ es $3$ cuadrados a la izquierda y $1$ cuadra arriba de $O$ , es simétrico $M'$ es $3$ cuadrados bien y $1$ cuadrado abajo de $O$ : simetría central invierte ambas direcciones a la vez (un reflejo invierte sólo uno).

Proposición 52.4 (Que conserva media vuelta)

simetría central conserva longitudes, ángulos, perímetros y áreas; el La imagen de una línea es una línea paralelo, la imagen de una segmento es una paralelo segmento de la misma longitud, la imagen de un círculo es un círculo del mismo radio (centrado en el simétrico del centro).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 52.5

Comparar con reflexiones (Proposición 42.4): ambas preservar longitudes y ángulos; pero el reflejo voltea las figuras (una “b” se convierte en una “d”), mientras que la media vuelta los mantiene legibles — al revés (una “b” se convierte en una “q”). Y a diferencia de un reflejo, un media vuelta envía cada línea a una línea paralelo.

Definición 52.6 (Centro de simetria)

Un punto $O$ es un centro de simetría de una figura cuando la media vuelta $O$ envía la figura exactamente sobre sí mismo. Por ejemplo, las letras S, N, Z tienen un centro de simetría; un círculo tiene uno (su centro); un triángulo nunca tiene uno.

52.2 paralelogramos

Definición 52.7 (paralelogramo)

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyo las diagonales se cruzan en su punto medio común. Ese punto de cruce es entonces a centro de simetría de la figura: cada vértice es la imagen de media vuelta del opuesto vértice.

Teorema 52.8 (Propiedades de un paralelogramo)

En un paralelogramo $ABCD$ con centro $O$ :

los lados opuestos son paralelo: $(AB) \parallel (CD)$ y $(BC) \parallel (AD)$ ;
los lados opuestos tienen la misma longitud: $AB = CD$ y $BC = AD$ ;
los ángulos opuestos son iguales: $\widehat A = \widehat C$ y $\widehat B = \widehat D$ .

Demostración. La media vuelta $O$ envía $A$ a $C$ y $B$ a $D$ (definición: $O$ es el punto medio de ambas diagonales). Entonces envía el segmento $[AB]$ al segmento $[CD]$ ; por Proposición 52.4 la imagen es paralelo a $[AB]$ y de la misma longitud: puntos 1 y 2. También envía el ángulo en $A$ al ángulo en $C$ , y se conservan los ángulos: punto 3. ∎

A paralelogramo y su centro O: las diagonales (rojas) cortadas entre sí en sus puntos medios, los lados opuestos son paralelo e iguales (marcas de verificación). — A paralelogramo y su centro $O$ : las diagonales (rojas) cortadas entre sí en sus puntos medios, los lados opuestos son paralelo e iguales (marcas de verificación).

Teorema 52.9 (Reconociendo un paralelogramo)

Un cuadrilátero (sin lados cruzados) es un paralelogramo tan pronto como uno de las siguientes retenciones:

sus diagonales tienen el mismo punto medio (la definición);
sus lados opuestos son paralelo de dos en dos;
dos lados opuestos son paralelo y de la misma longitud.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 52.10

$ABCD$ tiene $(AB) \parallel (CD)$ y $AB = CD = 5$ cm. Criterio 3 aplica: $ABCD$ es un paralelogramo — así que sin más midiendo también conocemos $AD = BC$ , $(AD) \parallel (BC)$ , y que su las diagonales se cortan entre sí por la mitad.

Observación 52.11 (Paralelogramos especiales)

El rectángulo rombo y el cuadrado de Capítulo 41 son exactamente el paralelogramos con una propiedad extra: diagonales iguales (rectángulo), perpendicular diagonales (rombo), ambos (cuadrado). el El argumento de ángulo prometido en Ejemplo 41.6 ahora funciona: en un paralelogramo, los ángulos consecutivos son suplementarios (ángulos alternos/correspondientes con el paralelas, Teorema 51.2), por lo que un ángulo recto obliga a todos cuatro.

52.3 Ceremonias

Ejercicio 52.1 ★

En papel cuadriculado, coloque $O$ , luego $M$ cuatro cuadrados a la derecha de $O$ y uno cuadrar. Construya el simétrico $M'$ de $M$ sobre $O$ , y el simétrico de $M$ a través de línea de cuadrícula vertical a $O$ . Compara las dos imágenes.

Solución

Solución de Ejercicio 52.1.

Imagen de media vuelta: $M'$ son cuatro cuadrados izquierda de $O$ y uno cuadrado abajo (ambas direcciones invertidas). Imagen reflejada a través de la línea vertical: quedan cuatro cuadrados pero aún queda uno up. Las dos imágenes difieren: son imágenes especulares verticales de unos a otros.

Ejercicio 52.2 ★

Dibuja un triángulo $ABC$ y un punto $O$ fuera de él. Construir su imagen $A'B'C'$ por la media vuelta $O$ . ¿Qué puedes decir sobre el longitudes $A'B'$ y $AB$ ? ¿Sobre las líneas $(A'B')$ y $(AB)$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 52.2.

$A'B' = AB$ (las medias vueltas preservan las longitudes) y $(A'B') \parallel (AB)$ (la imagen de una línea es una línea paralelo, Proposición 52.4).

Ejercicio 52.3 ★

¿Qué dígitos, escritos como en la pantalla de una calculadora ( $0$ a $9$ ), tienen un centro de simetría? ¿Qué letras mayúsculas entre H, A, N, S, T, Z, O?

Solución

Solución de Ejercicio 52.3.

Dígitos de la calculadora con centro de simetría: $0$ , $2$ , $5$ , $8$ (y $1$ si se dibuja como una barra simple). Letras: H, N, S, Z, O tienen una; un y No lo hago (en su lugar, tienen un eje).

Ejercicio 52.4 ★

$KLMN$ es un paralelogramo de centro $O$ con $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm y $\widehat K = 115^\circ$ . Dé, con motivos: $MN$ , $NK$ , $\widehat M$ y el punto medio de $[LN]$ .

Solución

Solución de Ejercicio 52.4.

Lados opuestos iguales: $MN = KL = 7$ cm y $NK = LM = 4$ cm. opuesto ángulos iguales: $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$ . las diagonales se cortan entre sí en su punto medio común, y ese punto es $O$ : el El punto medio de $[LN]$ es $O$ .

Ejercicio 52.5 ★

Construya un paralelogramo $ABCD$ a partir de sus diagonales: $AC = 8$ cm y $BD = 5$ cm, cruzándose en sus puntos medios con un ángulo de $60^\circ$ entre ellos. (¡Primero dibuja las diagonales!)

Solución

Solución de Ejercicio 52.5.

Dibujar un segmento $[AC]$ de $8$ cm, marcar su punto medio $O$ , dibujar $O$ una línea que forma $60^\circ$ con $(AC)$ , y coloca $B$ y $D$ en ella. a $2.5$ cm desde $O$ a cada lado. Únase a $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : el diagonales cortadas en sus puntos medios, por lo que $ABCD$ es un paralelogramo por definición.

Ejercicio 52.6 ★

En un paralelogramo, un ángulo mide $115^\circ$ . Usando el comentario en ángulos consecutivos suplementarios, calcula los otros tres ángulos.

Solución

Solución de Ejercicio 52.6.

Los ángulos consecutivos son suplementarios: al lado de $115^\circ$ se encuentra $180 - 115 = 65^\circ$ . Los ángulos opuestos son iguales, por lo que los cuatro ángulos son $115^\circ$ , $65^\circ$ , $115^\circ$ , $65^\circ$ (suma $360^\circ$ ).

Ejercicio 52.7 ★★

Trazar $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ y el punto $O(2.5, 2.5)$ . Calcular el coordenadas de las imágenes $A'$ y $B'$ por la media vuelta $O$ (use el conteo de cuadrícula de Ejemplo 52.3).

Solución

Solución de Ejercicio 52.7.

De $A(1,1)$ a $O(2.5, 2.5)$ : $1.5$ derecha y $1.5$ arriba; continuando lo mismo: $A'(4, 4)$ . De $B(4,2)$ a $O$ : $1.5$ izquierda y $0.5$ arriba; continuando: $B'(1, 3)$ .

Ejercicio 52.8 ★★

$ABCD$ es un cuadrilátero en el que $AB = CD$ . ¿Es eso suficiente para hacer ¿Es un paralelogramo? Si no, esboce un contraejemplo (un isósceles el trapezoide ayuda), y exponga lo que se debe agregar a la hipótesis.

Solución

Solución de Ejercicio 52.8.

No. Un trapezoide isósceles tiene sus dos lados inclinados iguales sin siendo un paralelogramo (los dos lados paralelo tienen diferentes longitudes). Basta con el criterio 3 de Teorema 52.9: dos lados opuestos iguales and paralelo.

Ejercicio 52.9 ★★

Sea $ABC$ un triángulo y $O$ el punto medio de $[BC]$ . Construir el simétrico $A'$ de $A$ sobre $O$ . Demuestre que $ABA'C$ es un paralelogramo. (¿Qué criterio de Teorema 52.9 es gratis aquí?)

Solución

Solución de Ejercicio 52.9.

$O$ es el punto medio de $[BC]$ por elección, y es el punto medio de $[AA']$ por construcción del simétrico. El cuadrilátero $ABA'C$ tiene diagonales $[AA']$ y $[BC]$ compartiendo el punto medio $O$ : criterio 1 (la definición) lo convierte en paralelogramo sin costo adicional.

Ejercicio 52.10 ★★

Verdadero o falso, con una razón: “un cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son iguales de dos en dos es un paralelogramo”; “a paralelogramo con perpendicular diagonales es rombo”; “a paralelogramo con uno ángulo recto es un rectángulo”.

Solución

Solución de Ejercicio 52.10.

“Ángulos opuestos iguales $\Rightarrow$ paralelogramo”: verdadero (este es otro criterio de reconocimiento; con el ángulo suma $360^\circ$ , pares opuestos iguales fuerzan consecutivos suplementarios ángulos, por lo tanto paralelo lados por Teorema 51.2).

“Perpendicular diagonales $\Rightarrow$ rombo”: verdadero para un paralelogramo (las diagonales ya cortadas en sus puntos medios).

“Un rectángulo ángulo recto $\Rightarrow$ ”: verdadero — Los ángulos consecutivos son suplementarios, por lo que los cuatro se vuelven rectos.

Ejercicio 52.11 ★★★

Sea $ABCD$ cualquier cuadrilátero y $I$ , $J$ , $K$ , $L$ los puntos medios. de sus lados $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . Dibuja varios ejemplos. ¿Qué parece ser siempre $IJKL$ ? (La prueba, con el punto medio teorema, viene en Capítulo 59 — y nuevamente con vectores, en el volumen de High School.)

Solución

Solución de Ejercicio 52.11.

Cualquiera que sea el cuadrilátero — incluso uno muy irregular — el los puntos medios $I$ , $J$ , $K$ , $L$ siempre forman un paralelogramo. el la prueba con el teorema del punto medio está en Capítulo 59 (Ejercicio 59.9).

52.4 Problema: el pastel, la mediana y el segundo imposible centro

Problema 52.1

Problema de fin de semana — medias vueltas en el trabajo: pastel justo cortes, un límite en las medianas y por qué ninguna figura puede tener dos centros de simetria

La media vuelta parece la más simple de las transformaciones, pero corta pasteles en mitades demostrablemente justas, mide las medianas de un triángulo, y esconde una pequeña perla de la matemática pura: un La figura acotada puede tener un centro de simetría, pero un nunca dos. La prueba utiliza un descubrimiento que harás en la Parte I: dos medias vueltas, realizadas una tras otra, suman un deslizamiento.

Parte I — Half-turn gymnastics.

En papel cuadriculado, tome como centro el origen $O(0, 0)$ . Usando el conteo de cuadrícula de Ejemplo 52.3, dar las imágenes de $M(3, 1)$ , $N(-2, 4)$ y $P(0, -5)$ por la media vuelta sobre $O$ . cual es el ¿Regla general para $(x, y)$ ?
Ahora el centro es $C(2, 1)$ . Calcular la imagen de $M(5, 3)$ , y consulta la receta general: cada coordenada de la imagen es el doble del centro menos el puntos.
Los naipes están diseñados para leerse igual al revés — un simetría central, por lo que ningún jugador ve la tarjeta “incorrectamente”. Explique por qué, en una tarjeta con extraño número de pips, un pip debe estar exactamente en el punto de la tarjeta centro.
Dos medias vueltas seguidas: tomar los centros $O_1(2, 0)$ y $O_2(5, 0)$ . Enviar el punto $A(1, 1)$ a través del media vuelta alrededor de $O_1$ , luego envíe la imagen a través del media vuelta alrededor de $O_2$ . Compara el inicio y el final. repetir con $B(0, 3)$ . ¿Qué única y simple transformación hizo ¿A cuánto ascienden las dos medias vueltas?
Mida la diapositiva de la pregunta 4 contra la distancia $O_1 O_2$ e indique el descubrimiento. (Compárese con el dos espejos paralelo de Problema 42.1: igual fenómeno, nuevos actores.)

Parte II — Cakes and medians.

Sea $O$ el centro de un paralelogramo. Explica por qué cualquier línea que pasa por $O$ encuentra el límite en dos puntos que son simétrico sobre $O$ , y por qué la línea corta el paralelogramo en dos piezas que estén exactamente media vuelta copias entre sí — por lo tanto de igual áreas.
El teorema del panadero: un pastel rectangular se comparte perfectamente y de manera justa por cualquier corte recto a través de su centro. Mejor: un pastel rectangular tiene una forma rectangular. agujero (cualquier tamaño, cualquier posición, incluso inclinado). Describe el un corte recto que da dos partes con la misma cantidad pastel — y justificarlo con la pregunta 6.
Tres vértices de un paralelogramo $ABCD$ son $A(0, 0)$ , $B(6, 1)$ y $C(8, 5)$ . Calcular las coordenadas de $D$ . y del centro $O$ .
Ejercicio 52.9 construido, a partir de un triángulo $ABC$ y el punto medio $O$ de $[BC]$ , el paralelogramo $ABA'C$ donde $A'$ es el simétrico de $A$ sobre $O$ . Úselo, junto con la desigualdad del triángulo. (Teorema 51.6) en el triángulo $ABA'$ , para demostrar el límite medio: la mediana $[AO]$ satisface

$AO < \frac{AB + AC}{2} .$

(Tenga en cuenta que $AA' = 2\,AO$ y $BA' = AC$ ).
En un triángulo con $AB = 5$ cm y $AC = 7$ cm, entre qué dos valores deben tener la longitud de la mediana de $A$ mentira? (Utilice ambas direcciones de la desigualdad del triángulo en $ABA'$ .)

Parte III — How many centers can a figure have?

Para cada figura, indique si tiene un centro de simetría y dónde: un segmento; una línea completa; un triangulo equilatero; un cuadrado; un círculo; las letras s y Z.
Acredite su reclamo por el triangulo equilatero: a media vuelta enviando el triángulo hacia sí mismo se emparejaría los tres vértices — pero tres es extraño, entonces algunos vértice sería enviado a sí mismo. ¿Qué obligaría eso a vértice ser, ¿y por qué es imposible?
Generalice la pregunta 12: explique por qué no polígono con un número impar de vértices tiene un centro de simetría.
La perla: supongamos que una figura tuviera dos distinta centros de simetría $O_1$ y $O_2$ . realizar los dos medias vueltas una tras otra y utilizar el descubrimiento de pregunta 5: qué movimiento debe enviar la figura exactamente ¿Sobre sí mismo? Explica por qué una figura que cabe en una hoja. El papel no puede sobrevivir a eso y concluir.
La conclusión de la pregunta 14 deja un vacío legal: ilimitado cifras. Verificar en un friso infinito — digamos, una franja interminable de huellas, izquierda, derecha, left, right … — que tenga (al menos) dos diferentes centros de simetría e identificar los traducción que predijo la pregunta 14.

Solución

Solución de Problema 52.1.

1. $M(3, 1) \to (-3, -1)$ ; $N(-2, 4) \to (2, -4)$ ; $P(0, -5) \to (0, 5)$ . Regla: la media vuelta alrededor del origen envía $(x, y)$ a $(-x, -y)$ — ambas coordenadas cambian de signo.

2. De $M(5, 3)$ : tres cuadrados a la derecha de $C$ se convierten en quedan tres cuadrados, dos arriba se convierten en dos abajo: imagen $(-1, -1)$ . Verificación de receta: el doble del centro menos el punto, $(2 \times 2 - 5,\ 2 \times 1 - 3) = (-1, -1)$ .

3. La media vuelta alrededor del centro de la tarjeta intercambia los pips en parejas. Con un número impar de pips, un pip no tiene pareja: debe ser su propia imagen, y el único punto que es su propia imagen es el centro mismo. De ahí el punto medio del 3, el 5, el 7 … se encuentra en el centro (mira una tarjeta real: así es).

4. Acerca de $O_1(2,0)$ : $A(1,1) \to (3,-1)$ ; acerca de $O_2(5,0)$ : $(3,-1) \to (7,1)$ . Iniciar $A(1,1)$ , finalizar $(7,1)$ : deslizó $6$ hacia la derecha, no volteado. Lo mismo para $B(0,3) \to (4,-3) \to (6,3)$ : deslizó $6$ hacia la derecha. los dos medias vueltas equivalen a traducción.

5. La diapositiva es $6$ y $O_1 O_2 = 3$ : la traducción. cubre dos veces la distancia entre los centros (en el dirección de $O_1$ a $O_2$ ) — al igual que dos espejos paralelo traducido por el doble de su brecha en Problema 42.1.

6. La media vuelta alrededor de $O$ envía el paralelogramo a en sí (eso es lo que significa “centro de simetría”, Teorema 52.8). Una línea que pasa por $O$ también es enviado sobre sí mismo, por lo que los dos puntos donde cruza el intercambio de límites entre sí: son simétrico sobre $O$ . el dos piezas del paralelogramo a cada lado del intercambio de líneas también, por lo que son copias exactas (Proposición 52.4) — igual áreas.

7. Corta a lo largo de la línea que pasa por dos centros: el centro del rectángulo del pastel y el centro del agujero. Por la pregunta 6 aplicada al rectángulo del pastel, el corte divide a la mitad el pastel; aplicado al rectángulo del agujero (la línea pasa por su centro también), divide el agujero a la mitad. Cada parte se lleva medio el pastel. menos medio el agujero: perfectamente justo.

8. $D = (0 + 8 - 6,\ 0 + 5 - 1) = (2, 4)$ (el Las diagonales comparten su punto medio, por lo que $D$ es la imagen de media vuelta de $B$ sobre el centro). Centro: punto medio de $[AC]$ , $O(4,\ 2.5)$ .

9. En el paralelogramo $ABA'C$ , los lados opuestos son igual: $BA' = AC$ . La desigualdad del triángulo en $ABA'$ da $AA' < AB + BA' = AB + AC$ . Dado que $O$ es el punto medio de $[AA']$ , $AA' = 2\,AO$ , entonces $2\,AO < AB + AC$ , es decir $AO < \frac{AB + AC}{2}$ .

10. Límite superior: $AO < \frac{5 + 7}{2} = 6$ cm. inferior encuadernado: en $ABA'$ , $AA' > BA' - AB = 7 - 5 = 2$ , entonces $AO > 1$ cm. La mediana de $A$ se encuentra estrictamente entre $1$ y $6$ cm.

11. Segmento: sí, es el punto medio. Línea: sí — todos de sus puntos es un centro. Triángulo equilátero: ninguno. Cuadrado: sí, el cruce de las diagonales. Círculo: sí, su centro. S y Z: sí, su punto medio (dale la vuelta a la página: leen lo mismo).

12. La media vuelta emparejaría los tres vértices entre ellos mismos; siendo tres extraño, uno vértice $A$ sería el suyo imagen, lo que obliga a $A$ a ser el centro de la media vuelta. los dos otros vértices $B$ y $C$ serían entonces simétrico sobre $A$ — entonces $A$ sería el punto medio de $[BC]$ , poniendo los tres vértices en una línea. Un triángulo no tiene tres alineados vértices: contradicción. No existe ningún centro.

13. El mismo argumento de paridad: preservación de media vuelta el polígono empareja su vértices; un número impar de vértices fuerza un vértice fijo, que debe ser el centro y el punto medio del segmento uniéndose a otros dos vértices — tres alineados vértices, imposible en un polígono … entonces no polígono con un número impar de vértices tiene un centro de simetría.

14. Realizando media vuelta aproximadamente $O_1$ , luego aproximadamente $O_2$ , envía la figura sobre sí misma ambas veces — por lo que su la combinación también lo hace. Según la pregunta 5, esa combinación es una traducción por el doble de la distancia $O_1 O_2$ , que no es cero ya que los centros difieren. Una figura que cabe en una hoja no puede igual se desliza en una cantidad fija distinta de cero (deslízalo lo suficiente veces y sale enteramente de la hoja). Entonces una figura acotada tiene como máximo un centro de simetría.

15. En la franja sin fin, media vuelta alrededor del punto a medio camino entre una huella izquierda y la siguiente derecha envía el patrón sobre sí mismo; el punto un paso más allá también lo hace: dos centros distintos. Componiendo las dos medias vueltas da la traducción por el doble de medio paso — exactamente el diapositiva de un solo paso que mapea visiblemente el friso infinito en como predice la pregunta 14. Los patrones ilimitados viven reglas diferentes: así son las matemáticas del papel pintado.