Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

17Repartir y dividir

Veinte canicas repartidas a partes iguales entre cuatro niños: ¿cuántas para cada uno? La división responde a todas las preguntas de reparto — y también a las de agrupamiento — y es la gemela de la multiplicación: una deshace a la otra.

17.1 Las dos caras de la división

Definición 17.1 (La división)

La división $20 \div 4$ responde a dos tipos de preguntas:

repartir: $20$ canicas repartidas entre $4$ niños — ¿cuántas canicas para cada uno? ( $5$ para cada uno);
agrupar: $20$ canicas metidas en bolsas de $4$ — ¿cuántas bolsas? ( $5$ bolsas).

Las dos preguntas tienen la misma respuesta, porque las dos deshacen la misma multiplicación: $4 \times 5 = 20$ .

Repartir 20 en 4 grupos iguales. Agrupar de 4 en 4 daría 5 grupos — la misma división. — Repartir $20$ en $4$ grupos iguales. Agrupar de $4$ en $4$ daría $5$ grupos — la misma división.

Método 17.2 (Dividir con las tablas)

Para calcular $42 \div 6$ , pregunta: «¿ $6$ por cuánto da $42$ ?» La tabla del $6$ responde: $6 \times 7 = 42$ , así que $42 \div 6 = 7$ . Toda pregunta de división es una pregunta de multiplicación leída al revés.

17.2 Cuando no es exacta

Definición 17.3 (El resto)

Repartir $23$ canicas entre $4$ niños da $5$ canicas para cada uno — y sobran $3$ canicas, que no llegan para otra ronda. Escribimos

23 = 4 \times 5 + 3 ,

y decimos: el cociente es $5$ y el resto es $3$ . El resto es siempre menor que el número de niños — si no, se podría hacer otra ronda de reparto.

Repartir 23 entre 4: después de 5 rondas sobran 3 canicas — demasiado pocas para una sexta ronda. — Repartir $23$ entre $4$ : después de $5$ rondas sobran $3$ canicas — demasiado pocas para una sexta ronda.

Ejemplo 17.4

Divide $58$ entre $7$ . Recorre la tabla del $7$ : $7 \times 8 = 56$ es el mayor producto que cabe por debajo de $58$ ( $7 \times 9 = 63$ se pasa). Por tanto,

58 = 7 \times 8 + 2 :

cociente $8$ y resto $2$ . Comprobación: $56 + 2 = 58$ , y $2 < 7$ .

Método 17.5 (Interpretar el resto)

Después de dividir, vuelve a la historia:

«¿cuántos para cada uno / cuántos grupos completos?» — el cociente;
«¿cuántos sobran?» — el resto;
«¿cuántas cajas hacen falta para guardarlo todo?» — el cociente más uno si el resto no es cero.

Ejemplo 17.6

$58$ alumnos van en canoa, $7$ por canoa. $58 = 7 \times 8 + 2$ : ocho canoas van llenas y quedan $2$ alumnos — que también necesitan canoa. Así que hay que reservar $9$ canoas.

17.3 Mitades, tercios y cuartos

Definición 17.7 (Mitad, tercio, cuarto)

La mitad de un número es el resultado de dividirlo entre $2$ ; el tercio, entre $3$ ; el cuarto, entre $4$ . Por ejemplo, la mitad de $18$ es $9$ , el tercio de $18$ es $6$ y el cuarto de $36$ es $9$ .

Ejemplo 17.8 (Los dobles y las mitades van juntos)

La mitad de $46$ : como $46 = 40 + 6$ , la mitad de cada parte da $20 + 3 = 23$ . Comprobación con el doble: $23 + 23 = 46$ . Saberse los dobles de memoria ( $25 \to 50$ , $45 \to 90$ , $150 \to 300$ ) hace instantáneas las mitades.

17.4 Ejercicios

Ejercicio 17.1 ★

Calcula usando las tablas al revés: $36 \div 4$ ; $63 \div 9$ ; $40 \div 5$ ; $56 \div 8$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.1.

$36 \div 4 = 9$ (porque $4 \times 9 = 36$ ); $63 \div 9 = 7$ ; $40 \div 5 = 8$ ; $56 \div 8 = 7$ .

Ejercicio 17.2 ★

Para cada división, escribe la igualdad $a = b \times q + r$ y di el cociente y el resto: $17 \div 5$ ; $30 \div 4$ ; $50 \div 6$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.2.

$17 = 5 \times 3 + 2$ : cociente $3$ , resto $2$ .

$30 = 4 \times 7 + 2$ : cociente $7$ , resto $2$ .

$50 = 6 \times 8 + 2$ : cociente $8$ , resto $2$ .

Ejercicio 17.3 ★

Se reparten $28$ canicas entre $6$ niños. ¿Cuántas canicas para cada uno y cuántas sobran? Dibuja el reparto si te ayuda.

Solución

Solución de Ejercicio 17.3.

$28 = 6 \times 4 + 4$ : cada niño recibe $4$ canicas y sobran $4$ canicas.

Ejercicio 17.4 ★

Calcula: la mitad de $68$ ; el tercio de $27$ ; el cuarto de $48$ ; la mitad de $150$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.4.

La mitad de $68$ : $34$ . El tercio de $27$ : $9$ . El cuarto de $48$ : $12$ . La mitad de $150$ : $75$ .

Ejercicio 17.5 ★

¿Verdadero o falso? Compruébalo con una multiplicación. « $45 \div 5 = 9$ »; « $52 \div 6 = 8$ y resto $4$ »; « $70 \div 8 = 9$ y resto $2$ ».

Solución

Solución de Ejercicio 17.5.

« $45 \div 5 = 9$ »: verdadero, $5 \times 9 = 45$ .

« $52 \div 6 = 8$ y resto $4$ »: verdadero, $6 \times 8 + 4 = 52$ y $4 < 6$ .

« $70 \div 8 = 9$ y resto $2$ »: falso — $8 \times 9 + 2 = 74$ , no $70$ . Lo correcto: $70 = 8 \times 8 + 6$ .

Ejercicio 17.6 ★

Se pegan $32$ fotos en un álbum, $4$ por página. ¿Cuántas páginas se usan? ¿Qué cara de la división es esta (repartir o agrupar)?

Solución

Solución de Ejercicio 17.6.

$32 \div 4 = 8$ páginas. Es un agrupamiento: las fotos se colocan en grupos de $4$ y contamos los grupos.

Ejercicio 17.7 ★

Una cuerda de $75$ cm se corta en trozos de $9$ cm. ¿Cuántos trozos completos salen y cuánto mide el pedazo que sobra?

Solución

Solución de Ejercicio 17.7.

$75 = 9 \times 8 + 3$ : ocho trozos completos y un pedazo sobrante de $3$ cm.

Ejercicio 17.8 ★

$50$ niños van de excursión en coches de $4$ plazas. ¿Cuántos coches hacen falta? (Cuidado: ¡todos tienen que ir!)

Solución

Solución de Ejercicio 17.8.

$50 = 4 \times 12 + 2$ : doce coches llevan a $48$ niños y quedan $2$ niños sin sitio. Hacen falta $13$ coches.

Ejercicio 17.9 ★

Halla los números que faltan: $? \div 7 = 6$ ; $54 \div ? = 6$ ; la mitad de $?$ es $35$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.9.

$? = 7 \times 6 = 42$ . $54 \div 9 = 6$ , así que el divisor que falta es $9$ . El número cuya mitad es $35$ es $70$ .

Ejercicio 17.10 ★★

Amina reparte sus $47$ pegatinas entre sus $5$ amigos, lo más equitativamente posible, y se queda con lo que sobra. ¿Cuántas pegatinas recibe cada amigo y cuántas se queda Amina?

Solución

Solución de Ejercicio 17.10.

$47 = 5 \times 9 + 2$ : cada amigo recibe $9$ pegatinas y Amina se queda con el resto, $2$ pegatinas.

Ejercicio 17.11 ★★

Cuando se divide un número entre $6$ , ¿cuáles son todos los restos posibles? ¿Cuál es el mayor número cuya división entre $6$ tiene cociente $7$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 17.11.

Al dividir entre $6$ , el resto es siempre menor que $6$ : puede ser $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ o $5$ . El mayor número con cociente $7$ usa el mayor resto: $6 \times 7 + 5 = 47$ .