37Los números enteros

Problema 37.1

Problema de fin de semana — sumar $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ en diez segundos y los números triangulares

Una historia famosa: para tener entretenida a su clase, un maestro pidió a sus alumnos que sumaran todos los números del $1$ al $100$. Un niño escribió $5\,050$ en su pizarra casi al instante — Carl Friedrich Gauss, de nueve años, que llegaría a ser uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos. Su secreto no era otro que calcular con astucia (Ejemplo 37.6): agrupar los términos de modo que cada grupo salga fácil. Este problema redescubre su truco, lo hace funcionar en cualquier situación y muestra lo a menudo que estas sumas aparecen en la vida diaria.

Parte I — Las parejas de Gauss.

1. calcula $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ agrupando los términos con astucia;
2. para $1 + 2 + 3 + \dots + 10$: empareja el primer término con el último ($1 + 10$), el segundo con el penúltimo ($2 + 9$), y así sucesivamente. ¿Cuánto vale cada pareja? ¿Cuántas parejas hay? Termina el cálculo;
3. el mismo método para $1 + 2 + \dots + 20$: ¿cuánto vale cada pareja, cuántas parejas hay y cuál es el total?
4. ahora la suma del maestro, $1 + 2 + \dots + 100$: explica por qué las parejas $1 + 100$, $2 + 99$, $3 + 98, \dots$ valen todas lo mismo y por qué hay exactamente $50$, siendo la última $50 + 51$;
5. escribe la respuesta de Gauss como una sola multiplicación y calcúlala.

Parte II — Un truco que nunca falla.

6. prueba el emparejamiento con $1 + 2 + \dots + 9$: esta vez un número se queda sin pareja. ¿Cuál? Empareja a su alrededor y calcula la suma;

7. aquí tienes una versión del truco que funciona tanto si el número de términos es par como si es impar: escribe la suma dos veces, una hacia delante y otra hacia atrás, una línea debajo de la otra,

   $$\begin{array}{ccccccc} 1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\ 9 & + & 8 & + & \dots & + & 1 \end{array}$$

   y suma columna a columna. ¿Cuánto vale cada columna? ¿Cuántas columnas hay? Explica por qué la suma de las dos líneas es $9 \times 10 = 90$ y deduce que $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — la misma respuesta que en la pregunta 6;

8. usa el truco de las dos líneas para calcular $1 + 2 + \dots + 50$ y después $1 + 2 + \dots + 200$;
9. calcula la suma de los cien primeros números pares, $2 + 4 + 6 + \dots + 200$. (Compara cada término con un término de la suma de Gauss: no hace falta un emparejamiento nuevo.)
10. calcula $101 + 102 + \dots + 200$ usando dos sumas que ya conoces y una resta.

Parte III — Números triangulares por todas partes. Los totales $1$, $3$, $6$, $10$, $15, \dots$ de las sumas $1 + 2 + \dots + n$ se llaman números triangulares, porque cuentan objetos apilados en triángulo.

11. ocho amigos se reúnen y cada uno da la mano exactamente una vez a cada uno de los demás. Explica por qué el número de apretones de manos es $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ y calcúlalo;
12. una tendera construye una pirámide triangular de latas: $12$ latas en la fila de abajo, $11$ en la siguiente y así hasta una sola lata arriba. ¿Cuántas latas necesita? (Usa el truco de la pregunta 7.)
13. dibuja la suma $1 + 2 + 3 + 4$ como una escalera de cuadrados: un cuadrado en la primera columna, dos en la segunda, tres en la tercera y cuatro en la cuarta. Muestra en tu dibujo que dos escaleras así, una de ellas puesta boca abajo, encajan exactamente en un rectángulo de $4$ filas de $5$ cuadrados — y explica por qué esto es el truco de las dos líneas de la pregunta 7, dibujado en vez de escrito;
14. un reloj da $1$ campanada a la una, $2$ campanadas a las dos, …, $12$ campanadas a las doce. ¿Cuántas campanadas son en esas doce horas? ¿Y en un día entero?
15. una última para Gauss: $5\,050$ segundos, ¿son más o menos que una hora y media? Conviértelos en horas, minutos y segundos usando dos veces la división euclídea (Teorema 37.7).