Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

65Raíces cuadradas

¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado $1$ ? El teorema de Pitágoras responde $\sqrt 2$ , un número cuyo cuadrado es $2$ — y que resulta no ser una fracción. Este capítulo define las raíces cuadradas, establece las reglas para calcular con ellas y enseña a simplificar expresiones como $\sqrt{75}$ .

65.1 Definición y primeras propiedades

Definición 65.1 (Raíz cuadrada)

Sea $a \geq 0$ . La raíz cuadrada de $a$ , escrita $\sqrt a$ , es el único número no negativo cuyo cuadrado es $a$ :

\sqrt a \geq 0 \qquad\text{y}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a .

Los números negativos no tienen raíz cuadrada, porque todo cuadrado es no negativo.

Ejemplo 65.2

$\sqrt{49} = 7$ , $\sqrt 0 = 0$ , $\sqrt 1 = 1$ , $\sqrt{2.25} = 1.5$ . Las primeras raíces cuadradas que hay que saberse de memoria son las de los cuadrados perfectos: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ .

La diagonal de un cuadrado unidad mide √12 + 12 = √2 1.414, por el teorema de Pitágoras ( lo recuerda). Este número es irracional: sus decimales no se repiten nunca. — La diagonal de un cuadrado unidad mide $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ , por el teorema de Pitágoras (Capítulo 69 lo recuerda). Este número es irracional: sus decimales no se repiten nunca.

Proposición 65.3 (Raíz cuadrada de un cuadrado)

Para todo número real $x$ (positivo o no):

\sqrt{x^2} = \abs{x} = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0,\\ -x & \text{si } x < 0 . \end{cases}

Demostración. El número $\abs{x}$ es no negativo y su cuadrado es $x^2$ (un número y su opuesto tienen el mismo cuadrado). Al ser el único número no negativo de cuadrado $x^2$ , es $\sqrt{x^2}$ . ∎

Ejemplo 65.4

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$ : la raíz cuadrada «olvida» el signo, no lo restituye. En particular, $\sqrt{x^2} = x$ es falso para $x$ negativo.

65.2 Productos y cocientes de raíces cuadradas

Teorema 65.5 (Reglas de multiplicación y división)

Para todos los $a \geq 0$ y $b \geq 0$ :

\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b, \qquad\text{y, para } b > 0:\quad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .

Demostración. El número $\sqrt a \times \sqrt b$ es no negativo (producto de números no negativos), y su cuadrado es

\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2 = \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2 = a b .

Por unicidad del número no negativo cuyo cuadrado es $ab$ , vale $\sqrt{ab}$ . La regla del cociente se demuestra igual. ∎

Observación 65.6 (¡Nada de eso para las sumas!)

$\sqrt{a + b}$ no es $\sqrt a + \sqrt b$ en general:

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, \qquad\text{pero}\qquad \sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .

Método 65.7 (Simplificar $\sqrt n$ )

Para simplificar la raíz cuadrada de un número entero:

busca el mayor cuadrado perfecto que divida a $n$ (descompón $n$ si hace falta);
separa con la regla del producto y saca el cuadrado: $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
comprueba que ningún cuadrado perfecto divide a lo que queda bajo la raíz.

Ejemplo 65.8

Simplifica $\sqrt{75}$ : como $75 = 25 \times 3$ ,

\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .

Simplifica $\sqrt{72}$ : como $72 = 36 \times 2$ , $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ . Y un cociente: $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$ .

Ejemplo 65.9 (Sumar raíces cuadradas)

Las sumas de raíces cuadradas solo se simplifican cuando las raíces son semejantes. Calcula $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ , simplificando primero cada término:

\begin{align*} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\ \sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3, \end{align*}

así que la suma es $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ .

Ejemplo 65.10 (Desarrollar con raíces cuadradas)

Las identidades del álgebra valen para las raíces cuadradas. Desarrolla $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ con $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .

Y con la tercera identidad, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :

el producto de dos números irracionales puede ser un número entero.

65.3 La ecuación $x^2 = a$

Teorema 65.11 (Resolver $x^2 = a$ )

si $a > 0$ , la ecuación $x^2 = a$ tiene exactamente dos soluciones: $\sqrt a$ y $-\sqrt a$ ;
si $a = 0$ , la única solución es $0$ ;
si $a < 0$ , no hay solución.

Demostración. Reescribe $x^2 = a$ como $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ cuando $a \geq 0$ , y factoriza como diferencia de cuadrados:

\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,

luego $x = \sqrt a$ o $x = -\sqrt a$ (que coinciden cuando $a = 0$ ). Cuando $a < 0$ no hay solución, porque $x^2 \geq 0 > a$ para todo $x$ . ∎

Resolver x2 = 3 sobre la parábola y = x2: la recta horizontal y = 3 la corta en las dos abscisas ±√3. — Resolver $x^2 = 3$ sobre la parábola $y = x^2$ : la recta horizontal $y = 3$ la corta en las dos abscisas $\pm\sqrt3$ .

Ejemplo 65.12

$x^2 = 16$ : soluciones $4$ y $-4$ . $x^2 = 5$ : soluciones $\sqrt5$ y $-\sqrt5$ (valores exactos; $\sqrt5 \approx 2.236$ ). $x^2 = -9$ : no hay solución. $3x^2 = 21$ : divide antes entre 3, $x^2 = 7$ , soluciones $\pm\sqrt7$ .

65.4 Ejercicios

Ejercicio 65.1 ★

Calcula sin calculadora:

\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad \sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad \sqrt{(-4)^2} .

Solución

Solución de Ejercicio 65.1.

$\sqrt{64} = 8$ ; $\sqrt{100} = 10$ ; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (porque $0.3^2 = 0.09$ ); $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$ ; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ ; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$ .

Ejercicio 65.2 ★

Simplifica:

\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .

Solución

Solución de Ejercicio 65.2.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$ ; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$ ; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$ ; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$ .

Ejercicio 65.3 ★

Calcula y simplifica:

\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad \frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad \sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .

Solución

Solución de Ejercicio 65.3.

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$ .

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ .

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ .

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}} = \dfrac25$ .

Ejercicio 65.4 ★

Resuelve: $x^2 = 36$ ; $x^2 = 11$ ; $x^2 + 4 = 0$ ; $2x^2 = 50$ .

Solución

Solución de Ejercicio 65.4.

$x^2 = 36$ : $x = 6$ o $x = -6$ .

$x^2 = 11$ : $x = \sqrt{11}$ o $x = -\sqrt{11}$ .

$x^2 + 4 = 0$ significa $x^2 = -4 < 0$ : no hay solución.

$2x^2 = 50$ : $x^2 = 25$ , luego $x = 5$ o $x = -5$ .

Ejercicio 65.5 ★

Reduce a un solo término: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$ , y después $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 65.5.

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$ .

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2 = (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$ .

Ejercicio 65.6 ★★

Desarrolla y simplifica:

\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad \left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad \left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).

Solución

Solución de Ejercicio 65.6.

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$ .

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9 = 29 - 12\sqrt5$ .

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$ .

Ejercicio 65.7 ★★

Un campo cuadrado tiene área $6400$ m $^2$ . ¿Cuánto mide su lado? ¿Y su diagonal (valor exacto y después redondeado al metro)?

Solución

Solución de Ejercicio 65.7.

Lado: $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonal (Pitágoras): $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

Ejercicio 65.8 ★★

Demuestra que $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (multiplica numerador y denominador por $\sqrt2$ ). Usa el mismo truco para escribir $\dfrac{6}{\sqrt3}$ y $\dfrac{10}{\sqrt5}$ sin raíz cuadrada en el denominador.

Solución

Solución de Ejercicio 65.8.

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ .

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ . $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$ .

Ejercicio 65.9 ★★

¿Verdadero o falso? Justifícalo con una demostración o un contraejemplo.

para todos los $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ ;
para todos los $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ ;
para todo $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ ;
$\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

Solución

Solución de Ejercicio 65.9.

1. Verdadero: es la regla del producto (Teorema 65.5).

2. Falso: $\sqrt{9 + 16} = 5$ , pero $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$ .

3. Falso para $x$ negativo: $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$ . El enunciado correcto es $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ .

4. Verdadero: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$ .

Ejercicio 65.10 ★★★

Sea $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$ . Calcula $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ y deduce una expresión más sencilla de $x$ . La misma pregunta para $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (apunta a un cuadrado de la forma $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$ , y cuidado con el signo).

Solución

Solución de Ejercicio 65.10.

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$ . Así que $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (es un número no negativo, así que la raíz solo quita el cuadrado).

Igualmente $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$ , y $\sqrt5 - 2 > 0$ , luego $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (¡y no $2 - \sqrt5$ , que es negativo!).

65.5 Problema: El número que no es una fracción

Problema 65.1

Problema de fin de semana — la legendaria demostración de que $\sqrt2$ es irracional, sus muchos primos hermanos y la receta asombrosamente buena de Herón para aproximarlo

La diagonal de un cuadrado unidad es una longitud perfectamente real — la dibujaste en el Ejemplo 58.9 — y, sin embargo, como los pitagóricos descubrieron con horror hace veinticinco siglos, ninguna fracción en absoluto la mide. La leyenda cuenta que el descubrimiento se castigó con la muerte por ahogamiento. Este problema te lleva de la mano por la demostración inmortal (cuatro preguntas y es tuya de por vida), multiplica las víctimas y termina con la receta que los ingenieros usaron durante dos mil años para domar el número indomable.

Parte I — La demostración.

primero acorrálalo: comprueba que $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ y después que $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ , elevando al cuadrado las cotas. Una cifra más: ¿entre qué números de tres decimales está $\sqrt2$ ?;
supón ahora — para llegar a una contradicción — que $\sqrt2 = \frac ab$ para cierta fracción irreducible (Método 64.16). Eleva al cuadrado los dos miembros y demuestra que $a^2 = 2 b^2$ . ¿Cuál es la paridad de $a^2$ ?;
los hechos sobre paridad del Problema 58.1 dicen: los números impares tienen cuadrados impares. Deduce que $a$ es par, escribe $a = 2k$ , sustituye — y demuestra que $b$ también tiene que ser par;
¿dónde está la contradicción? Concluye y enuncia el teorema completo: $\sqrt2$ es irracional — no es cociente de números enteros;
la demostración se apoyó una vez, discretamente, en la palabra «irreducible». Señala el paso exacto que se vendría abajo sin ella y explica por qué suponer la fracción irreducible era legítimo de entrada.

Parte II — Las víctimas se multiplican.

un segundo estilo de demostración, vía descomposiciones en factores primos (Teorema 64.6): en $a^2 = 3b^2$ , compara la paridad del exponente de $3$ en cada miembro (Problema 64.1: los cuadrados llevan exponentes pares). Concluye que $\sqrt3$ es irracional;
aplica el mismo argumento de exponentes a $a^2 = n b^2$ para un número entero $n$ cualquiera: ¿para qué $n$ produce una contradicción y para cuáles falla? Enuncia el resultado completo: $\sqrt n$ es irracional exactamente cuando …;
demuestra el lema escudo: un racional no nulo por un irracional es irracional. (Supón $r x = q$ con $r, q$ racionales, $r \neq 0$ , y despeja $x$ .) Deduce que $2\sqrt2$ y $\frac{\sqrt2}{2}$ son irracionales;
demuestra que $1 + \sqrt2$ es irracional. Y después la bonita: suponiendo que $s = \sqrt2 + \sqrt3$ fuera racional, calcula $s^2$ , despeja $\sqrt6$ y encuentra la contradicción;
modera el entusiasmo: da dos números irracionales cuya suma sea racional, y dos cuyo producto sea racional. (La irracionalidad no se conserva por la aritmética — cada caso necesita su propia demostración.)

Parte III — La receta de Herón. Dos mil años antes de las calculadoras, Herón de Alejandría aproximaba $\sqrt2$ así: adivina $x$ ; sustituye la estimación por la media de $x$ y $\frac2x$ ; repite.

parte de la estimación $x = 1$ y calcula las dos estimaciones siguientes como fracciones exactas;
calcula la tercera estimación, otra vez como fracción exacta, y su valor decimal. Compara con la pregunta 1: ¿cuántos decimales de $\sqrt2$ son ya correctos?;
la idea que hay detrás de la receta: un rectángulo de área $2$ con un lado $x$ tiene el otro lado $\frac2x$ . Demuestra que $\sqrt2$ siempre está entre $x$ y $\frac2x$ (considera los dos casos $x^2 > 2$ y $x^2 < 2$ ), así que promediar los dos lados aprieta el rectángulo hacia el cuadrado;
las estimaciones $\frac32$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{577}{408}$ esconden una joya: calcula $3^2 - 2 \times 2^2$ , después $17^2 - 2 \times 12^2$ y después $577^2 - 2 \times 408^2$ . La Parte I demostró que $a^2 - 2b^2 = 0$ es imposible — ¿cuánto se acercan las fracciones de Herón a lo imposible?;
final, en dos frases: la diagonal del cuadrado unidad existe sobre el papel, ninguna fracción la mide y su escritura decimal no se puede repetir nunca (Problema 63.1). ¿Qué clase de «números nuevos» tiene que contener entonces la recta numérica — y en qué punto de esta serie se cuenta su historia completa?

Solución

Solución de Problema 65.1.

1. $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$ ; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$ . Con tres decimales: $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$ , luego $1.414 < \sqrt2 < 1.415$ .

2. Elevar al cuadrado $\sqrt2 = \frac ab$ da $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , de donde $a^2 = 2b^2$ : el número $a^2$ es el doble de un número entero — par.

3. Si $a$ fuera impar, $a^2$ sería impar (Problema 58.1); como $a^2$ es par, $a$ es par: $a = 2k$ . Sustituyendo: $4k^2 = 2b^2$ , luego $b^2 = 2k^2$ es par, y por el mismo hecho de paridad $b$ es par.

4. Que $a$ y $b$ sean los dos pares significa que los dos son divisibles entre $2$ — pero $\frac ab$ era irreducible, sin ningún divisor común. Contradicción: la fracción supuesta no puede existir. Teorema: $\sqrt2$ es irracional.

5. La contradicción vive entera en la palabra «irreducible»: sin ella, « $a$ y $b$ los dos pares» no contradice nada. Suponer la fracción irreducible es legítimo porque toda fracción tiene una forma irreducible (Método 64.16: divide entre el MCD) — si $\sqrt2$ fuera una fracción cualquiera, sería una fracción irreducible, y esa es imposible.

6. En las descomposiciones en factores primos, los cuadrados llevan exponentes pares (Problema 64.1). En $a^2 = 3b^2$ , el exponente de $3$ es par en el miembro izquierdo, pero impar en el derecho (par por $b^2$ , más uno). Ningún número tiene dos descomposiciones (Teorema 64.6): contradicción, y $\sqrt3$ es irracional.

7. En $a^2 = n b^2$ , el argumento encuentra un primo con paridad de exponente contradictoria exactamente cuando algún primo aparece en $n$ con exponente impar. Si todos los exponentes de $n$ son pares, $n$ es un cuadrado perfecto ( $n = m^2$ , y $\sqrt n = m$ es entero). Resultado completo: $\sqrt n$ es irracional para todo entero $n$ que no sea un cuadrado perfecto — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10}, \dots$

8. De $r x = q$ con $r \neq 0$ : $x = \frac qr$ , un cociente de racionales, luego racional. Así que, si $x$ es irracional, $r x$ no puede ser racional: $2\sqrt2$ y $\frac{\sqrt2}{2}$ son irracionales (multiplicadores $2$ y $\frac12$ ).

9. Si $1 + \sqrt2 = q$ fuera racional, entonces $\sqrt2 = q - 1$ sería racional: contradicción. Si $s = \sqrt2 + \sqrt3$ fuera racional, también lo sería $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ , lo que daría $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ racional — pero $\sqrt6$ es irracional (pregunta 7). Así que $\sqrt2 + \sqrt3$ es irracional.

10. Sumas: $\sqrt2$ y $-\sqrt2$ (o $\sqrt2$ y $1 - \sqrt2$ ) son cada uno irracionales, con sumas racionales $0$ y $1$ . Productos: $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$ . La irracionalidad puede evaporarse en la aritmética — de ahí las demostraciones caso por caso.

11. Desde $x = 1$ : media de $1$ y $\frac21 = 2$ : $x_1 = \frac32$ . Después, media de $\frac32$ y $\frac{2}{3/2} = \frac43$ : $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$ .

12. $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \frac12 \cdot \frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ Frente a $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$ : cinco decimales correctos tras tres pasos — la receta duplica más o menos los decimales correctos en cada vuelta.

13. Si $x^2 > 2$ (estimación demasiado grande), entonces $x > \sqrt2$ , y $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ : el lado compañero es demasiado pequeño. Si $x^2 < 2$ , las desigualdades se invierten. En cualquier caso, $\sqrt2$ está entre $x$ y $\frac2x$ , así que su media — la estimación siguiente — está más cerca que el peor de los dos lados: el rectángulo de área $2$ se vuelve más cuadrado en cada paso.

14. $9 - 8 = 1$ ; $289 - 288 = 1$ ; $332\,929 - 332\,928 = 1$ . Toda estimación $\frac ab$ de Herón cumple $a^2 - 2b^2 = 1$ : la Parte I demostró que llegar a $0$ es imposible, y estas fracciones fallan lo imposible por exactamente una unidad — lo más cerca que pueden llegar los números enteros.

15. La recta numérica tiene que contener números más allá de las fracciones — longitudes como $\sqrt2$ , cuyas escrituras decimales corren eternamente sin repetirse: los números reales. Su construcción honesta es historia para el volumen de secundaria superior y, con todo rigor, para los universitarios.

Términos definidos en este capítulo

Raíz cuadrada

Ver los 395 términos del glosario

65.1 Definición y primeras propiedades

65.2 Productos y cocientes de raíces cuadradas

65.3 La ecuación x2=ax^2 = ax2=a

65.4 Ejercicios

65.5 Problema: El número que no es una fracción

Términos definidos en este capítulo

65.3 La ecuación $x^2 = a$