Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

65Raíces cuadradas

¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado $1$ ? El teorema de Pitágoras responde $\sqrt 2$ , un número cuyo cuadrado es $2$ — y que resulta no ser un fracción. Este capítulo define raíces cuadradas, establece el reglas para calcular con ellos y enseña cómo simplificar expresiones como $\sqrt{75}$ .

65.1 Definición y primeras propiedades.

Definición 65.1 (raíz cuadrada)

Deje $a \geq 0$ . El raíz cuadrada de $a$ , escrito $\sqrt a$ , es el número único no negativo cuyo cuadrado es $a$ :

\sqrt a \geq 0 \qquad\text{and}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a .

Los números negativos no tienen raíz cuadrada, ya que todo cuadrado no es negativo.

Ejemplo 65.2

$\sqrt{49} = 7$ , $\sqrt 0 = 0$ , $\sqrt 1 = 1$ , $\sqrt{2.25} = 1.5$ . Los primeros raíces cuadradas que debemos saber de memoria son los de el cuadrados perfectos: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ .

La diagonal de un cuadrado unitario tiene longitud √12 + 12 = √2 1.414, según el teorema de Pitágoras ( lo recuerda). Este número es irracional: sus decimales nunca repetir. — La diagonal de un cuadrado unitario tiene longitud $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ , según el teorema de Pitágoras (Capítulo 69 lo recuerda). Este número es irracional: sus decimales nunca repetir.

Proposición 65.3 (Raíz cuadrada de un cuadrado)

Para cada número real $x$ (positivo o no):

\sqrt{x^2} = \abs{x} = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0,\\ -x & \text{if } x < 0 . \end{cases}

Demostración. El número $\abs{x}$ no es negativo y su cuadrado es $x^2$ (un número y su opuesto tiene el mismo cuadrado). Siendo el número único no negativo del cuadrado $x^2$ , es $\sqrt{x^2}$ . ∎

Ejemplo 65.4

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$ : el raíz cuadrada “se olvida” la señal, no la restaura. En particular $\sqrt{x^2} = x$ es equivocado para $x$ negativo.

65.2 Productos y cocientes de raíces cuadradas.

Teorema 65.5 (Reglas de multiplicación y división.)

Para todos los $a \geq 0$ y $b \geq 0$ :

\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b, \qquad\text{and for } b > 0:\quad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .

Demostración. El número $\sqrt a \times \sqrt b$ no es negativo (producto de números no negativos), y su cuadrado es

\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2 = \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2 = a b .

Por unicidad del número no negativo cuyo cuadrado es $ab$ , es igual $\sqrt{ab}$ . La regla cociente se demuestra de la misma manera. ∎

Observación 65.6 (¡No existe tal regla para las sumas!)

$\sqrt{a + b}$ es no $\sqrt a + \sqrt b$ en general:

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, \qquad\text{but}\qquad \sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .

Método 65.7 (Simplificando $\sqrt n$ )

Para simplificar el raíz cuadrada de un número entero:

encuentre el cuadrado perfecto más grande dividiendo $n$ (factor $n$ si necesario);
divide con la regla producto y extrae el cuadrado: $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
comprueba que no hay ningún cuadrado perfecto divide lo que queda debajo del raíz.

Ejemplo 65.8

Simplifique $\sqrt{75}$ : desde $75 = 25 \times 3$ ,

\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .

Simplifique $\sqrt{72}$ : desde $72 = 36 \times 2$ , $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ . Y un cociente: $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$ .

Ejemplo 65.9 (Añadiendo raíces cuadradas)

sumas de raíces cuadradas se simplifica solo cuando las raíces son similar. Calcule $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ , simplificando primero cada término:

\begin{align*} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\ \sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3, \end{align*}

entonces el suma es $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ .

Ejemplo 65.10 (Expandiendo con raíces cuadradas)

Las identidades del álgebra se aplican a raíces cuadradas. Expandir $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ con $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .

Y con la tercera identidad, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :

el producto de dos números irracionales puede ser un número entero.

65.3 La ecuación $x^2 = a$

Teorema 65.11 (Resolviendo $x^2 = a$ )

Si $a > 0$ , ecuación $x^2 = a$ tiene exactamente dos soluciones: $\sqrt a$ y $-\sqrt a$ ;
si $a = 0$ , la única solución es $0$ ;
si $a < 0$ , no hay solución.

Demostración. Reescribe $x^2 = a$ como $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ cuando $a \geq 0$ , y factorizar como diferencia de cuadrados:

\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,

entonces $x = \sqrt a$ o $x = -\sqrt a$ (estos coinciden cuando $a = 0$ ). cuando $a < 0$ no hay solución, ya que $x^2 \geq 0 > a$ por cada $x$ . ∎

Resolviendo x2 = 3 en la parábola y = x2: la recta horizontal y = 3 lo corta por las dos abscisas ±√3. — Resolviendo $x^2 = 3$ en la parábola $y = x^2$ : la recta horizontal $y = 3$ lo corta por las dos abscisas $\pm\sqrt3$ .

Ejemplo 65.12

$x^2 = 16$ : soluciones $4$ y $-4$ . $x^2 = 5$ : soluciones $\sqrt5$ y $-\sqrt5$ (valores exactos; $\sqrt5 \approx 2.236$ ). $x^2 = -9$ : sin solución. $3x^2 = 21$ : dividir primero entre 3, $x^2 = 7$ , soluciones $\pm\sqrt7$ .

65.4 Ceremonias

Ejercicio 65.1 ★

Calcular sin calculadora:

\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad \sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad \sqrt{(-4)^2} .

Solución

Solución de Ejercicio 65.1.

$\sqrt{64} = 8$ ; $\sqrt{100} = 10$ ; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (desde $0.3^2 = 0.09$ ); $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$ ; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ ; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$ .

Ejercicio 65.2 ★

Simplificar:

\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .

Solución

Solución de Ejercicio 65.2.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$ ; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$ ; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$ ; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$ .

Ejercicio 65.3 ★

Calcula y simplifica:

\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad \frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad \sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .

Solución

Solución de Ejercicio 65.3.

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$ .

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ .

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ .

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}} = \dfrac25$ .

Ejercicio 65.4 ★

Resolver: $x^2 = 36$ ; $x^2 = 11$ ; $x^2 + 4 = 0$ ; $2x^2 = 50$ .

Solución

Solución de Ejercicio 65.4.

$x^2 = 36$ : $x = 6$ or $x = -6$ .

$x^2 = 11$ : $x = \sqrt{11}$ or $x = -\sqrt{11}$ .

$x^2 + 4 = 0$ significa $x^2 = -4 < 0$ : sin solución.

$2x^2 = 50$ : $x^2 = 25$ , so $x = 5$ or $x = -5$ .

Ejercicio 65.5 ★

Reducir a un solo término: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$ , luego $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 65.5.

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$ .

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2 = (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$ .

Ejercicio 65.6 ★★

Ampliar y simplificar:

\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad \left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad \left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).

Solución

Solución de Ejercicio 65.6.

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$ .

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9 = 29 - 12\sqrt5$ .

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$ .

Ejercicio 65.7 ★★

Un campo cuadrado tiene área $6400$ m $^2$ . ¿Cuál es la longitud de su lado? de ¿Su diagonal (valor exacto, luego redondeado al metro más cercano)?

Solución

Solución de Ejercicio 65.7.

Lado: $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonal (Pitágoras): $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

Ejercicio 65.8 ★★

Demuestre que $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (multiplique numerador y denominador por $\sqrt2$ ). Usa el mismo truco para escribir $\dfrac{6}{\sqrt3}$ y $\dfrac{10}{\sqrt5}$ sin raíz cuadrada en el denominador.

Solución

Solución de Ejercicio 65.8.

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ .

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ . $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$ .

Ejercicio 65.9 ★★

¿Verdadero o falso? Justifique con una prueba o un contraejemplo.

Para todos $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ .
Para todos $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ .
Para todos $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ .
$\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

Solución

Solución de Ejercicio 65.9.

1. Verdadero: esta es la regla producto (Teorema 65.5).

2. Falso: $\sqrt{9 + 16} = 5$ pero $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$ .

3. Falso para $x$ negativo: $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$ . el La declaración correcta es $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ .

4. Verdadero: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$ .

Ejercicio 65.10 ★★★

Deje $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$ . calcular $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ y deduzca una expresión más simple de $x$ . Misma pregunta para $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (apunte a un cuadrado de la forma $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$ , y cuidado con la señal).

Solución

Solución de Ejercicio 65.10.

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$ . entonces $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (un número no negativo, por lo que la raíz simplemente elimina el cuadrado).

Del mismo modo $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$ , y $\sqrt5 - 2 > 0$ , entonces $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (no $2 - \sqrt5$ , que es negativo!).

65.5 Problema: El número que no es una fracción.

Problema 65.1

Problema del fin de semana — la prueba legendaria de que $\sqrt2$ es irracional, tiene muchos primos y el de Heron, asombrosamente buena receta para aproximarlo

La diagonal de un cuadrado unitario es una longitud perfectamente real. lo dibujó en Ejemplo 58.9 — y sin embargo, como el Los pitagóricos descubrieron con horror unos veinticinco Hace siglos, no fracción whatsoever lo mide. Leyenda Afirma que el descubrimiento fue castigado con ahogamiento. Este problema camina a través de la prueba inmortal (cuatro preguntas y es tuya) de por vida), multiplica las víctimas, y termina con la receta Los ingenieros utilizaron durante dos mil años para domar lo indomable. número.

Parte I — The proof.

Primero cazarlo: comprueba que $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ , entonces ese $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ , elevando al cuadrado los límites. Un dígito más: entre los cuales ¿Miente $\sqrt2$ los números tres decimales?
Ahora supongamos — en aras de la contradicción — que $\sqrt2 = \frac ab$ para algunos fracción en lo más bajo términos (Método 64.16). Cuadrar ambos lados y mostrar que $a^2 = 2 b^2$ . ¿Cuál es la paridad de $a^2$ ?
Los hechos de paridad de Problema 58.1 dicen: impar numeros tiene cuadrados extraño. Deduzca que $a$ es incluso, escriba $a = 2k$ , sustituir — y mostrar que $b$ debe ser incluso también.
¿Dónde está la contradicción? Concluya y exponga la teorema completo: $\sqrt2$ is irrational — it is no cociente of whole numbers.
La prueba se apoyó una vez, discretamente, en las palabras “en términos más bajos". Señale el paso exacto que colapsar sin ellos, y explicar por qué asumir el nivel más bajo términos eran legítimos en primer lugar.

Parte II — The victims multiply.

Un segundo estilo de prueba, mediante factorizaciones primas. (Teorema 64.6): en $a^2 = 3b^2$ , compare la paridad del exponente of $3$ en cada uno lado (Problema 64.1: los cuadrados llevan incluso exponentes). Concluya que $\sqrt3$ es irracional.
Ejecute el mismo argumento exponente en $a^2 = n b^2$ para un número entero general $n$ : para el cual $n$ produce una contradicción, y ¿en qué falla? Indique el resultado completo: $\sqrt n$ es irracional exactamente cuando …
Demuestre el lema del escudo: un racional distinto de cero multiplicado por un irracional es irracional. (Supongamos $r x = q$ con $r, q$ racional, $r \neq 0$ , y resuelva para $x$ ). Deduzca que $2\sqrt2$ y $\frac{\sqrt2}{2}$ son irracionales.
Demuestre que $1 + \sqrt2$ es irracional. entonces la linda uno: suponiendo que $s = \sqrt2 + \sqrt3$ fueran racionales, calcule $s^2$ , aísle $\sqrt6$ y encuentre el contradicción.
Templar el entusiasmo: dar dos números irracionales cuyo suma es racional, y dos cuyo producto es racional. (La irracionalidad no se preserva mediante la aritmética. — cada caso necesita su propia prueba.)

Parte III — Heron’s recipe. Dos mil años antes de los calculadores, Garza de Alejandría aproximado $\sqrt2$ así: guess $x$ ; replace the guess by the average of $x$ and $\frac2x$ ; repeat.

Comience desde la suposición $x = 1$ y calcule los dos siguientes conjeturas como fracciones exacto.
Calcule la tercera estimación, nuevamente como un fracción exacto, y su valor decimal. Comparar con la pregunta 1: ¿cuántos ¿Los decimales de $\sqrt2$ ya son correctos?
La idea detrás de la receta: un rectángulo de área $2$ con un lado $x$ tiene el otro lado $\frac2x$ . mostrar eso $\sqrt2$ siempre miente entre $x$ y $\frac2x$ (considere los dos casos $x^2 > 2$ y $x^2 < 2$ ), entonces promediar los dos lados aprieta el rectángulo hacia la plaza.
Las conjeturas $\frac32$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{577}{408}$ esconde una gema: calcula $3^2 - 2 \times 2^2$ , luego $17^2 - 2 \times 12^2$ , luego $577^2 - 2 \times 408^2$ . Parte que probé $a^2 - 2b^2 = 0$ imposible — ¿qué tan cerca están los de Heron? fracciones ¿llegar a lo imposible?
Final, en dos frases: la diagonal de la unidad El cuadrado existe en papel, ningún fracción lo mide, y su la escritura decimal nunca puede repetirse (Problema 63.1). ¿Qué clase de "nuevos números" Por lo tanto, la recta numérica debe contener — y en qué lugar ¿En esta serie se cuenta su historia completa?

Solución

Solución de Problema 65.1.

1. $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$ ; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$ . Tres decimales: $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$ , entonces $1.414 < \sqrt2 < 1.415$ .

2. Cuadratura $\sqrt2 = \frac ab$ da $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , por lo tanto $a^2 = 2b^2$ : el número $a^2$ es dos veces un número entero — incluso.

3. Si $a$ fuera extraño, $a^2$ sería extraño (Problema 58.1); ya que $a^2$ es incluso, $a$ es incluso: $a = 2k$ . Sustituyendo: $4k^2 = 2b^2$ , entonces $b^2 = 2k^2$ es incluso, y por el mismo hecho de paridad $b$ es incluso.

4. Tanto $a$ como $b$ incluso significa tanto divisible como $2$ — pero $\frac ab$ estaba en los términos más bajos, sin compartir nada común divisor. Contradicción: el supuesto fracción no puede existir. Theorem: $\sqrt2$ is irrational.

5. La contradicción vive enteramente en “más bajo términos”: sin él, “ $a$ y $b$ , ambos incluso” contradicen nada. Asumir las condiciones más bajas es legítimo porque cada fracción tiene un formulario con los términos más bajos (Método 64.16: dividir el MCD) — si $\sqrt2$ si hubiera algún fracción, serían los términos más bajos uno, y ese es imposible.

6. En factorizaciones primas, los cuadrados llevan incluso exponentes (Problema 64.1). En $a^2 = 3b^2$ , el exponente de $3$ es incluso a la izquierda, pero extraño a la derecha (incluso de $b^2$ , más uno). Ningún número tiene dos factorizaciones. (Teorema 64.6): contradicción, y $\sqrt3$ es irracional.

7. En $a^2 = n b^2$ , el argumento encuentra un primo con paridad exponente contradictoria exactamente cuando aparece algún primo en $n$ con un extraño exponente. Si cada exponente de $n$ es incluso, $n$ es un cuadrado perfecto ( $n = m^2$ , y $\sqrt n = m$ está completo). Resultado completo: $\sqrt n$ es irracional para todo $n$ que no sea un cuadrado perfecto — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10}, \dots$

8. De $r x = q$ con $r \neq 0$ : $x = \frac qr$ , un cociente de racionales, por tanto racional. Entonces si $x$ es irracional, $r x$ no puede ser racional: $2\sqrt2$ y $\frac{\sqrt2}{2}$ son irracionales (multiplicadores $2$ y $\frac12$ ).

9. Si $1 + \sqrt2 = q$ fuera racional, entonces $\sqrt2 = q - 1$ sería racional: contradicción. si $s = \sqrt2 + \sqrt3$ eran racionales, entonces $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ también lo sería, dando $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ racional — pero $\sqrt6$ es irracional (pregunta 7). Entonces $\sqrt2 + \sqrt3$ es irracional.

10. sumas: $\sqrt2$ y $-\sqrt2$ (o $\sqrt2$ y $1 - \sqrt2$ ) son irracionales, siendo racionales sumas $0$ y $1$ . Productos: $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$ . La irracionalidad puede evaporarse en aritmética — de ahí las pruebas caso por caso.

11. De $x = 1$ : promedio de $1$ y $\frac21 = 2$ : $x_1 = \frac32$ . Luego promedio de $\frac32$ y $\frac{2}{3/2} = \frac43$ : $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$ .

12. $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \frac12 \cdot \frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ Contra $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$ : cinco decimales correctos después tres pasos — la receta duplica aproximadamente los decimales correctos cada redondo.

13. Si $x^2 > 2$ (adivina demasiado grande), entonces $x > \sqrt2$ , y $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ : el lado complementario es demasiado pequeño. Si $x^2 < 2$ , las desigualdades se invierten. De cualquier manera $\sqrt2$ se encuentra entre $x$ y $\frac2x$ , por lo que su promedio — la siguiente suposición — está más cerca que el peor de los dos lados: el rectángulo de área $2$ se vuelve más cuadrado a cada paso.

14. $9 - 8 = 1$ ; $289 - 288 = 1$ ; $332\,929 - 332\,928 = 1$ . Cada garza adivina $\frac ab$ satisface $a^2 - 2b^2 = 1$ : La parte I demostró que golpear $0$ es imposible, y estos fracciones pierden lo imposible exactamente una unidad: los números enteros más cercanos que jamás se puedan obtener.

15. La recta numérica debe contener números más allá del fracciones — longitudes como $\sqrt2$ , cuyas escrituras decimales se ejecutan para siempre sin repetir: el números reales. Su La construcción honesta es una historia para el volumen de High School y, en pleno rigor, los universitarios.

65.1 Definición y primeras propiedades.

65.2 Productos y cocientes de raíces cuadradas.

65.3 La ecuación x2=ax^2 = ax2=a

65.4 Ceremonias

65.5 Problema: El número que no es una fracción.

65.3 La ecuación $x^2 = a$