Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

44Proporcionalidad y datos

Si tres cuadernos cuestan $6$ euros, seis cuadernos cuestan $12$ : el doble de cuadernos, el doble de precio. Las magnitudes que se comportan así son proporcionales — una de las ideas más útiles de todas las matemáticas, que se desarrolla más en el Capítulo 49. El capítulo termina con la lectura y el trazado de gráficos de datos sencillos.

44.1 Magnitudes proporcionales

Definición 44.1 (Proporcionalidad)

Dos magnitudes son proporcionales cuando los valores de una se obtienen de los valores de la otra multiplicando siempre por el mismo número, llamado coeficiente de proporcionalidad.

Ejemplo 44.2

Cuadernos a $2$ euros cada uno:

cuadernos	$3$	$5$	$8$	$12$
precio (euros)	$6$	$10$	$16$	$24$

Cada precio es el número de cuadernos $\times 2$ : el coeficiente es $2$ (el precio unitario). Una comprobación rápida de que una tabla es proporcional: todos los «cocientes por columnas» $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ tienen que ser iguales — aquí todos valen $2$ .

Ejemplo 44.3 (Un contraejemplo)

La edad y la estatura no son proporcionales: un niño de $12$ años no mide el doble que uno de $6$ . Compruébalo con números: $1.50$ m a los $12$ años y $1.15$ m a los $6$ dan cocientes $\frac{1.50}{12} = 0.125$ y $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ — no son iguales.

Método 44.4 (Completar una tabla de proporcionalidad)

Tres caminos, a elegir libremente:

coeficiente: halla el multiplicador a partir de una columna completa y aplícalo a las demás;
columnas: una columna se puede multiplicar por un número, o se pueden sumar dos columnas, para producir una columna nueva;
reducción a la unidad: halla primero el valor de un artículo y multiplica después.

Ejemplo 44.5

Cinco tazas iguales cuestan $15$ euros; ¿cuánto cuestan ocho tazas?

Reducción a la unidad: una taza cuesta $15 \div 5 = 3$ euros, así que ocho tazas cuestan $8 \times 3 = 24$ euros.

Columnas: $8 = 5 + 3$ ; tres tazas cuestan $\frac{3}{5}$ de $15$ , o sea, $9$ ; así que ocho tazas cuestan $15 + 9 = 24$ euros. La misma respuesta, como tenía que ser.

44.2 Porcentajes

Definición 44.6 (Porcentaje)

«El $t\,\%$ de una cantidad» significa la fracción $\frac{t}{100}$ de ella: el $25\,\%$ de $60$ es $\frac{25}{100} \times 60 = 15$ . Un porcentaje es una proporcionalidad de coeficiente $\frac{t}{100}$ .

Ejemplo 44.7

Una clase de $30$ alumnos tiene un $40\,\%$ de chicas. Número de chicas, paso a paso: $40\,\%$ significa $\frac{40}{100} = 0.4$ , y $0.4 \times 30 = 12$ chicas. Referencias útiles: $50\,\%$ es la mitad, $25\,\%$ un cuarto y $10\,\%$ una décima parte — así que el $10\,\%$ de $30$ es $3$ y el $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ es $4 \times 3 = 12$ : la misma respuesta, calculada de cabeza.

44.3 Leer y dibujar gráficos

Método 44.8 (Leer una tabla o un gráfico)

Sea cual sea la imagen — tabla, diagrama de barras o gráfico de líneas:

lee primero el título y las unidades de los dos ejes;
para responder a una pregunta, localiza la barra o la columna correcta y lee el valor con cuidado sobre la graduación;
para comparar, compara las barras por su altura — pero comprueba que el eje empieza en $0$ , o la imagen puede engañar.

Ejemplo 44.9

El diagrama de barras siguiente muestra el número de libros prestados en la biblioteca del colegio durante una semana.

Un diagrama de barras: una barra por día, con la altura igual al recuento.

Lecturas: el día de más movimiento es el miércoles ( $17$ libros). El martes y el jueves juntos suman $8 + 6 = 14$ libros — menos que el viernes solo ( $15$ ). Total de la semana: $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ libros.

Las magnitudes proporcionales tienen un gráfico muy reconocible: los puntos se alinean en una recta que pasa por el origen (aquí, cuadernos a 3 euros cada uno; las líneas discontinuas leen el precio de 6 cuadernos: 18 euros). — Las magnitudes proporcionales tienen un gráfico muy reconocible: los puntos se alinean en una recta que pasa por el origen (aquí, cuadernos a $3$ euros cada uno; las líneas discontinuas leen el precio de $6$ cuadernos: $18$ euros).

44.4 Ejercicios

Ejercicio 44.1 ★

¿Es proporcional la tabla? Justifícalo calculando cocientes.

kg de manzanas	$2$	$3$	$5$
precio (euros)	$5$	$7.5$	$12.5$

edad (años)	$2$	$4$	$8$
estatura (cm)	$85$	$103$	$130$

Solución

Solución de Ejercicio 44.1.

Manzanas: cocientes $\frac52 = 2.5$ , $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — todos iguales: proporcional (precio $2.50$ por kg).

Edad/estatura: $\frac{85}{2} = 42.5$ pero $\frac{103}{4} = 25.75$ — no son iguales: no es proporcional.

Ejercicio 44.2 ★

Cuatro cruasanes cuestan $4.80$ euros. Halla el precio de un cruasán y después el de siete cruasanes.

Solución

Solución de Ejercicio 44.2.

Un cruasán: $4.80 \div 4 = 1.20$ euros. Siete: $7 \times 1.20 = 8.40$ euros.

Ejercicio 44.3 ★

Completa la tabla de proporcionalidad (¡el coeficiente primero!):

litros de combustible	$10$	$25$	$?$	$60$
precio (euros)	$18$	$?$	$72$	$?$

Solución

Solución de Ejercicio 44.3.

Coeficiente: $18 \div 10 = 1.8$ euros por litro. Entonces $25$ L cuestan $25 \times 1.8 = 45$ euros; con $72$ euros se compran $72 \div 1.8 = 40$ L; $60$ L cuestan $60 \times 1.8 = 108$ euros.

Ejercicio 44.4 ★

Un coche gasta $6$ L de combustible cada $100$ km. ¿Cuánto combustible para $250$ km? ¿Y para $350$ km? ¿Hasta dónde puede llegar con $27$ L?

Solución

Solución de Ejercicio 44.4.

Para $250$ km: $2.5$ veces el combustible de $100$ km, o sea, $2.5 \times 6 = 15$ L. Para $350$ km: $3.5 \times 6 = 21$ L. Con $27$ L: $27 \div 6 = 4.5$ centenares de km, es decir, $450$ km.

Ejercicio 44.5 ★

Calcula de cabeza usando las referencias del Ejemplo 44.7: el $50\,\%$ de $84$ ; el $25\,\%$ de $200$ ; el $10\,\%$ de $63$ ; el $30\,\%$ de $70$ .

Solución

Solución de Ejercicio 44.5.

El $50\,\%$ de $84$ : la mitad, $42$ . El $25\,\%$ de $200$ : un cuarto, $50$ . El $10\,\%$ de $63$ : una décima parte, $6.3$ . El $30\,\%$ de $70$ : $3 \times 7 = 21$ .

Ejercicio 44.6 ★

En un colegio de $450$ alumnos, el $60\,\%$ come en el comedor. ¿Cuántos alumnos son? ¿Cuántos no comen allí?

Solución

Solución de Ejercicio 44.6.

El $60\,\%$ de $450$ : $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ alumnos comen en el comedor; $450 - 270 = 180$ no comen allí.

Ejercicio 44.7 ★

Con el diagrama de barras del Ejemplo 44.9: ¿qué días se prestaron menos de $10$ libros? ¿Cuántos libros más se prestaron el miércoles que el jueves?

Solución

Solución de Ejercicio 44.7.

Menos de $10$ libros: el martes ( $8$ ) y el jueves ( $6$ ). Miércoles menos jueves: $17 - 6 = 11$ libros más.

Ejercicio 44.8 ★

Las temperaturas a mediodía de lunes a viernes fueron $14$ , $16$ , $13$ , $17$ y $20$ grados. Dibuja un diagrama de barras con estos datos (elige una graduación razonable) y di cuál fue el día más caluroso.

Solución

Solución de Ejercicio 44.8.

Diagrama de barras con cinco barras de alturas $14$ , $16$ , $13$ , $17$ y $20$ (va bien una graduación cada $2$ o cada $5$ grados). Día más caluroso: el viernes ( $20$ grados).

Ejercicio 44.9 ★★

Una receta para $6$ personas necesita $450$ g de harina y $3$ huevos. Adáptala para $10$ personas. (Para los huevos, ¡piensa antes de escribir un número decimal de huevos!)

Solución

Solución de Ejercicio 44.9.

Para $10$ personas hay que multiplicar por $\frac{10}{6} = \frac53$ : harina, $450 \times \frac{10}{6} = 750$ g. Huevos: $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — por suerte, un número entero. (Si no lo fuera, habría que redondear hacia arriba para tener suficiente.)

Ejercicio 44.10 ★★

A velocidad constante, una ciclista recorre $24$ km en $1$ hora.

¿cuánto recorre en $2$ h? ¿Y en media hora? ¿Y en $1$ h $30$ min?
¿cuánto tarda en hacer $60$ km?

Solución

Solución de Ejercicio 44.10.

1. En $2$ h: $48$ km. En media hora: $12$ km. En $1$ h $30$ : $24 + 12 = 36$ km.

2. $60 \div 24 = 2.5$ horas, es decir, $2$ h $30$ min.

Ejercicio 44.11 ★★

Una tienda anuncia « $20\,\%$ de descuento en todo». Calcula el descuento y el precio nuevo de: un balón de $15$ euros; una raqueta de $40$ euros. ¿Es el precio nuevo proporcional al precio antiguo? ¿Cuál es el coeficiente?

Solución

Solución de Ejercicio 44.11.

Balón: descuento del $20\,\%$ de $15 = 3$ euros, precio nuevo $12$ euros. Raqueta: descuento de $8$ euros, precio nuevo $32$ euros. El precio nuevo es el $80\,\%$ del antiguo en todos los casos: proporcional, de coeficiente $0.8$ .

Ejercicio 44.12 ★★★

Dos velas de la misma altura se encienden a la vez. La gruesa se consume entera en $6$ horas y la fina en $4$ horas, cada una a ritmo constante. ¿Al cabo de cuánto tiempo mide la vela fina exactamente la mitad que la gruesa? (Expresa las alturas restantes al cabo de $t$ horas como fracciones de la altura inicial.)

Solución

Solución de Ejercicio 44.12.

Al cabo de $t$ horas, la vela gruesa ha consumido $\frac t6$ de su altura: se queda en $1 - \frac t6$ de la altura inicial; la fina, en $1 - \frac t4$ . Queremos

1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{i.e.}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}.

Entonces $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$ , así que $t = 3$ horas. Comprobación: al cabo de $3$ h la vela gruesa mide $1 - \frac36 = \frac12$ y la fina $1 - \frac34 = \frac14$ — en efecto, la mitad que ella.

44.5 Problema: Mapas, planos y cómo mentir con un gráfico

Problema 44.1

Problema de fin de semana — la escala de un mapa es una proporcionalidad: las longitudes siguen al coeficiente, las áreas siguen a su cuadrado y los gráficos mal dibujados engañan a la vista

Todo mapa, plano y maqueta obedece a una regla: las longitudes reales y las longitudes dibujadas son proporcionales (Definición 44.1). El coeficiente tiene un nombre famoso — la escala — y esconde dos trampas que este problema hace saltar a propósito: las áreas no siguen a la escala, y los porcentajes, como los gráficos, dependen por completo de aquello con lo que se miden.

Parte I — Leer un mapa. Un mapa de senderismo está a escala $1:100\,000$ : cada centímetro del mapa representa $100\,000$ centímetros sobre el terreno.

convierte $100\,000$ cm en kilómetros. ¿Qué representa $1$ cm de este mapa, en km?
dos pueblos distan $7.5$ cm en el mapa; la orilla de un lago es una curva de $12$ cm. Da las distancias reales;
una calzada romana perfectamente recta mide $20$ km. ¿Cuánto mide en el mapa?
otro mapa anuncia « $1$ cm por $5$ km». Escribe su escala en la forma $1: \,?$ . ¿Cuál de los dos mapas muestra más detalle de una misma región?
haz una tabla pequeña (distancia en el mapa $1$ , $2$ , $7.5$ cm frente a distancia real) para el mapa de senderismo y explica por qué una escala es exactamente una proporcionalidad en el sentido de la Definición 44.1. ¿Cuál es el coeficiente que convierte los centímetros del mapa en kilómetros?

Parte II — El plano de la habitación de Zoe. Zoe dibuja el plano de su habitación — un rectángulo de $4$ m por $3$ m — a escala $1:50$ .

¿qué dimensiones tiene la habitación en el plano?
su cama mide $2$ m por $0.9$ m y el hueco de la puerta tiene $80$ cm de ancho. Da las tres medidas en el plano;
ahora, la trampa. Calcula el área real de la habitación en m $^2$ y después el área de su plano en cm $^2$ . Convierte el área real a cm $^2$ (Definición 43.5) y divide entre el área del plano: ¿es el cociente $50$ ?
explica el número que has obtenido: en un plano $1:50$ , cada centímetro cuadrado de papel representa un cuadrado real de $50$ cm por $50$ cm. ¿Cuántos cm $^2$ reales son? Enuncia la regla: cuando las longitudes se dividen entre $50$ , las áreas se dividen entre …
una alfombra redonda cubre $6$ cm $^2$ en el plano. ¿Qué área real cubre, en cm $^2$ y después en m $^2$ ?

Parte III — Cómo mentir con un gráfico (y con un porcentaje).

una tienda vendió por valor de $105$ euros el sábado y $110$ el domingo. El gerente dibuja un diagrama de barras cuyo eje vertical empieza en $100$ : la barra del sábado sube $5$ unidades pequeñas y la del domingo, $10$ . ¿Qué sugiere la imagen sobre el domingo y cuál es la verdad? (Calcula el aumento del domingo como porcentaje del sábado, al entero más cercano.) ¿Qué advertencia del Método 44.8 ignoró el gerente?
vuelve a dibujar (o describe) el gráfico honesto, con el eje empezando en $0$ : ¿cómo se comparan ahora las dos barras?
una colección pasa de $40$ a $60$ sellos: calcula el aumento como porcentaje del valor de partida. Después vuelve a encoger de $60$ a $40$ : calcula la disminución como porcentaje de su valor de partida. ¿Por qué son distintas las dos respuestas para los mismos $20$ sellos?
época de rebajas: un abrigo de $100$ euros lleva un « $20\,\%$ de descuento» y, en caja, un « $10\,\%$ más sobre el precio rebajado». Calcula el precio final paso a paso. ¿Es el descuento total del $30\,\%$ ? Explícale al comprador cuál es de verdad;
el final, de vuelta al mapa de la pregunta 4 ( $1$ cm por $5$ km): un bosque ocupa $3$ cm $^2$ de ese mapa. ¿Cuál es su área real, en km $^2$ ? Termina con la regla de todo este problema: las longitudes siguen a la escala y las áreas siguen a su …

Solución

Solución de Problema 44.1.

1. $100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= 1$ km: un centímetro del mapa es un kilómetro sobre el terreno.

2. $7.5$ cm $\rightarrow 7.5$ km entre los pueblos; $12$ cm $\rightarrow 12$ km de orilla del lago.

3. $20$ km $\rightarrow 20$ cm en el mapa.

4. $5$ km $= 500\,000$ cm, así que la escala es $1:500\,000$ . El mapa de senderismo ( $1:100\,000$ ) es el más detallado: usa $5$ cm de papel donde el otro gasta solo $1$ cm.

mapa (cm)	$1$	$2$	$7.5$
real (km)	$1$	$2$	$7.5$

Distancia real $=$ distancia en el mapa $\times 1$ (en estas unidades): siempre el mismo multiplicador, que es exactamente la definición de proporcionalidad (Definición 44.1). El coeficiente es aquí $1$ kilómetro por centímetro.

6. $4$ m $= 400$ cm y $400 \div 50 = 8$ ; $3$ m $= 300$ cm y $300 \div 50 = 6$ : el plano muestra un rectángulo de $8$ cm $\times$ $6$ cm.

7. Cama: $200 \div 50 = 4$ cm por $90 \div 50 = 1.8$ cm. Hueco de la puerta: $80 \div 50 = 1.6$ cm.

8. Área real: $4 \times 3 = 12$ m $^2$ . Área del plano: $8 \times 6 = 48$ cm $^2$ . Convirtiendo: $12$ m $^2 = 12 \times 10\,000 = 120\,000$ cm $^2$ , y

120\,000 \div 48 = 2\,500 .

El cociente no es $50$ , sino $2\,500 = 50 \times 50$ .

9. Un cm $^2$ de papel representa un cuadrado real de $50$ cm por $50$ cm, que contiene $50 \times 50 = 2\,500$ cm $^2$ . Así que, cuando las longitudes se dividen entre $50$ , las áreas se dividen entre $50 \times 50 = 2\,500$ : las áreas siguen el cuadrado de la escala.

10. $6 \times 2\,500 = 15\,000$ cm $^2$ , y $15\,000 \div 10\,000 = 1.5$ m $^2$ .

11. La imagen sugiere que el domingo se vendió el doble (una barra el doble de alta). La verdad: el aumento es de $5$ euros sobre $105$ , y $5 \div 105 \approx 0.048$ : un $5\,\%$ más, no un $100\,\%$ más. El gerente ignoró la advertencia de comprobar que el eje empieza en $0$ (Método 44.8).

12. Con el eje desde $0$ , las barras llegan a $105$ y $110$ unidades pequeñas: dos barras de altura casi igual, la imagen honesta de una diferencia del $5\,\%$ .

13. Subida: el aumento es de $20$ sellos desde un punto de partida de $40$ : $\frac{20}{40} = 50\,\%$ . Bajada: la disminución es de $20$ sellos desde un punto de partida de $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Los mismos $20$ sellos con puntos de partida distintos — un porcentaje es siempre una fracción de algo, y ese «algo» ha cambiado.

14. Después del $20\,\%$ de descuento: $100 - 20 = 80$ euros. El $10\,\%$ adicional se aplica a $80$ : descuento de $8$ euros, precio final $72$ euros. Descuento total: $28$ euros sobre $100$ , o sea, $28\,\%$ — no $30\,\%$ . El segundo descuento actuó sobre el precio ya rebajado, así que sus euros son menos: los porcentajes de cantidades distintas no se suman.

15. En ese mapa, $1$ cm representa $5$ km, así que $1$ cm $^2$ representa $5 \times 5 = 25$ km $^2$ (la regla de la pregunta 9). El bosque: $3 \times 25 = 75$ km $^2$ . Las longitudes siguen a la escala; las áreas siguen a su cuadrado.

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