Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

44Proporcionalidad y datos

Si tres cuadernos cuestan $6$ euros, seis cuadernos cuestan $12$ : el doble Cuadernos, el doble de precio. Las cantidades que se comportan así son proporcional — una de las ideas más útiles de todos matemáticas, desarrollado más detalladamente en Capítulo 49. El capitulo termina con lectura y dibujo de tablas de datos simples.

44.1 Cantidades proporcionales

Definición 44.1 (Proporcionalidad)

Dos cantidades son proporcional cuando el Los valores de uno se obtienen a partir de los valores del otro multiplicando. siempre por el número mismo, denominado proporcionalidad coeficiente.

Ejemplo 44.2

Cuadernos a $2$ euros cada uno:

notebooks	$3$	$5$	$8$	$12$
price (euros)	$6$	$10$	$16$	$24$

Cada precio es el número de cuadernos $\times 2$ : el coeficiente es $2$ (el precio unitario). Una comprobación rápida de que una tabla es proporcional: toda la “columna cocientes” $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ debe ser igual — aquí todas son iguales a $2$ .

Ejemplo 44.3 (un no ejemplo)

La edad y la altura no son proporcional: un niño de $12$ años no tiene el doble de alto como un niño de $6$ años. Verifique los números: $1.50$ m en $12$ años y $1.15$ m en $6$ años dan cocientes $\frac{1.50}{12} = 0.125$ y $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ — no iguales.

Método 44.4 (Completando una tabla de proporcionalidad)

Tres formas, a elegir libremente:

coeficiente: encuentra el multiplicador a partir de un completo columna, aplicarla a las demás;
columnas: una columna se puede multiplicar por un número o dos se pueden agregar columnas para producir una nueva columna;
volver a la unidad: busque el valor del artículo uno Primero, luego multiplica.

Ejemplo 44.5

Cinco tazas idénticas cuestan $15$ euros; ¿Cuánto cuestan ocho tazas?

Volver a la unidad: una taza cuesta $15 \div 5 = 3$ euros, por lo que ocho Las tazas cuestan $8 \times 3 = 24$ euros.

columnas: $8 = 5 + 3$ ; tres tazas cuestan $\frac{3}{5}$ de $15$ , es decir $9$ ; entonces ocho tazas cuestan $15 + 9 = 24$ euros. La misma respuesta, ya que debe ser.

44.2 Porcentajes

Definición 44.6 (Porcentaje)

“ $t\,\%$ de una cantidad” significa el fracción $\frac{t}{100}$ de la misma: $25\,\%$ de $60$ es $\frac{25}{100} \times 60 = 15$ . Un porcentaje es un proporcionalidad con coeficiente $\frac{t}{100}$ .

Ejemplo 44.7

Una clase de estudiantes $30$ contiene niñas $40\,\%$ . Número de niñas, paso por paso: $40\,\%$ significa $\frac{40}{100} = 0.4$ , y $0.4 \times 30 = 12$ chicas. Puntos de referencia útiles: $50\,\%$ es un medio, $25\,\%$ un cuarto, $10\,\%$ un décimo — entonces $10\,\%$ de $30$ es $3$ y $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ es $4 \times 3 = 12$ : misma respuesta, calculada mentalmente.

44.3 Lectura y dibujo de gráficos.

Método 44.8 (Lectura de una tabla o gráfico)

Cualquiera que sea la imagen: tabla, gráfico de barras, gráfico de líneas:

lea primero el título y las unidades en ambos ejes;
para responder una pregunta, ubique la barra/columna derecha, luego lea el valor cuidadosamente contra la graduación;
para comparar, comparar barras por altura — pero verificar el eje comienza en $0$ o la imagen puede inducir a error.

Ejemplo 44.9

El siguiente gráfico de barras muestra la cantidad de libros prestados en la escuela. biblioteca durante una semana.

Un gráfico de barras: una barra por día, altura igual al recuento.

Lecturas: el día de mayor actividad es el miércoles (libros $17$ ). martes y Los jueves juntos representan libros $8 + 6 = 14$ — menos que el viernes solo ( $15$ ). Total de la semana: $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ libros.

Las cantidades Proporcional tienen un gráfico muy reconocible: el Los puntos se alinean en una línea recta que pasa por el origen (aquí cuadernos en 3 euros cada uno; los guiones leen el precio de los cuadernos 6: 18 euros). — Las cantidades Proporcional tienen un gráfico muy reconocible: el Los puntos se alinean en una línea recta que pasa por el origen (aquí cuadernos en $3$ euros cada uno; los guiones leen el precio de los cuadernos $6$ : $18$ euros).

44.4 Ceremonias

Ejercicio 44.1 ★

¿La mesa es proporcional? Justifique calculando cocientes.

kg of apples	$2$	$3$	$5$
price (euros)	$5$	$7.5$	$12.5$

age (years)	$2$	$4$	$8$
height (cm)	$85$	$103$	$130$

Solución

Solución de Ejercicio 44.1.

Manzanas: cocientes $\frac52 = 2.5$ , $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — todos iguales: proporcional (precio $2.50$ por kg).

Edad/altura: $\frac{85}{2} = 42.5$ pero $\frac{103}{4} = 25.75$ — no igual: no proporcional.

Ejercicio 44.2 ★

Cuatro croissants cuestan $4.80$ euros. Encuentra el precio de un croissant, luego de siete croissants.

Solución

Solución de Ejercicio 44.2.

Un croissant: $4.80 \div 4 = 1.20$ euros. Siete: $7 \times 1.20 = 8.40$ euros.

Ejercicio 44.3 ★

Complete la tabla proporcionalidad (¡primero el coeficiente!):

liters of fuel	$10$	$25$	$?$	$60$
price (euros)	$18$	$?$	$72$	$?$

Solución

Solución de Ejercicio 44.3.

Coeficiente: $18 \div 10 = 1.8$ euros por litro. entonces $25$ L cuesta $25 \times 1.8 = 45$ euros; $72$ euros comprar $72 \div 1.8 = 40$ L; $60$ L cuesta $60 \times 1.8 = 108$ euros.

Ejercicio 44.4 ★

Un automóvil consume $6$ L de combustible por $100$ km. ¿Cuánto combustible para $250$ km? Para $350$ kilómetros? ¿Hasta dónde puede llegar con $27$ L?

Solución

Solución de Ejercicio 44.4.

Para $250$ km: $2.5$ veces el combustible de $100$ km, por lo que $2.5 \times 6 = 15$ L. Para $350$ km: $3.5 \times 6 = 21$ L. Con $27$ L: $27 \div 6 = 4.5$ cientos de km, es decir $450$ km.

Ejercicio 44.5 ★

Calcula mentalmente, usando los puntos de referencia de Ejemplo 44.7: $50\,\%$ de $84$ ; $25\,\%$ de $200$ ; $10\,\%$ de $63$ ; $30\,\%$ de $70$ .

Solución

Solución de Ejercicio 44.5.

$50\,\%$ de $84$ : medio, $42$ . $25\,\%$ de $200$ : a cuarto, $50$ . $10\,\%$ de $63$ : un décimo, $6.3$ . $30\,\%$ de $70$ : $3 \times 7 = 21$ .

Ejercicio 44.6 ★

En una escuela de estudiantes $450$ , $60\,\%$ come en la cafetería. cuantos estudiantes es eso? ¿Cuantos no lo hacen?

Solución

Solución de Ejercicio 44.6.

$60\,\%$ de $450$ : $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ los estudiantes comen en la cafetería; $450 - 270 = 180$ no lo haces.

Ejercicio 44.7 ★

Usando el gráfico de barras de Ejemplo 44.9: en qué días fueron ¿Se han prestado menos de $10$ libros? ¿Cuántos libros más se tomaron prestados? ¿Miércoles que jueves?

Solución

Solución de Ejercicio 44.7.

Menos de $10$ libros: martes ( $8$ ) y jueves ( $6$ ). miércoles menos jueves: $17 - 6 = 11$ más libros.

Ejercicio 44.8 ★

Las temperaturas al mediodía de lunes a viernes fueron $14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ grados. Dibuje un gráfico de barras de estos datos (elija una opción sensata). graduación) y lea el día más cálido.

Solución

Solución de Ejercicio 44.8.

Gráfico de barras con cinco barras de alturas $14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ (La graduación cada grado $2$ o $5$ funciona bien). Día más cálido: viernes ( $20$ grados).

Ejercicio 44.9 ★★

Una receta para personas $6$ necesita $450$ g de harina y $3$ huevos. Adáptalo para personas $10$ . (Para los huevos, piensa antes de escribir un numero decimal de huevos!)

Solución

Solución de Ejercicio 44.9.

Para personas $10$ , multiplicar por $\frac{10}{6} = \frac53$ : harina $450 \times \frac{10}{6} = 750$ g. Huevos: $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — por suerte un número entero. (Si fuera no, uno tendría redondo up para tener suficiente.)

Ejercicio 44.10 ★★

A velocidad constante, un ciclista recorre $24$ km en $1$ hora.

¿Qué distancia recorre en $2$ h? ¿En medio una hora? en $1$ h $30$ min?
¿Cuánto tiempo necesita para $60$ km?

Solución

Solución de Ejercicio 44.10.

1. En $2$ h: $48$ km. En medio una hora: $12$ km. en $1$ h $30$ : $24 + 12 = 36$ km.

2. $60 \div 24 = 2.5$ horas, es decir $2$ h $30$ min.

Ejercicio 44.11 ★★

Una tienda ofrece “ $20\,\%$ de descuento en todo”. Calcule el descuento y el nuevo precio de: un balón a $15$ euros; una raqueta a $40$ euros. es el ¿Nuevo precio proporcional al precio anterior? ¿Cuál es el coeficiente?

Solución

Solución de Ejercicio 44.11.

Bola: descuento $20\,\%$ de $15 = 3$ euros, nuevo precio $12$ euros. Raqueta: descuento $8$ euros, precio nuevo $32$ euros. El nuevo precio es $80\,\%$ del antiguo en todos los casos: proporcional, coeficiente $0.8$ .

Ejercicio 44.12 ★★★

Se encienden dos velas de la misma altura al mismo tiempo. el grueso se quema completamente en $6$ horas, el delgado en $4$ horas, cada uno a su propia tasa constante. ¿Después de cuánto tiempo exactamente la vela delgada? medio tan alto como el grueso? (Exprese las alturas restantes después $t$ horas como fracciones de la altura inicial).

Solución

Solución de Ejercicio 44.12.

Después de $t$ horas, la vela gruesa ha consumido $\frac t6$ de su altura: se sitúa en $1 - \frac t6$ de la altura inicial; el delgado en $1 - \frac t4$ . queremos

1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{i.e.}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}.

Luego $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$ , entonces $t = 3$ horas. Verificar: después de $3$ h la vela gruesa se encuentra en $1 - \frac36 = \frac12$ y el delgado en $1 - \frac34 = \frac14$ — de hecho medio de ello.

44.5 Problema: mapas, planos y cómo mentir con una tabla

Problema 44.1

Problema de fin de semana — la escala de un mapa es una : las longitudes siguen el coeficiente, las áreas siguen su proporcionalidad los gráficos cuadrados y mal dibujados engañan a la vista

Cada mapa, plano y modelo obedece a una regla: longitudes reales y las longitudes dibujadas son proporcional (Definición 44.1). El coeficiente tiene un nombre famoso. — el escala — y esconde dos trampas que este problema surge deliberadamente: áreas ¿no sigue las escala, y los porcentajes, como los gráficos, dependen enteramente de lo que se miden contra.

Parte I — Reading a map. Un mapa de senderismo a escala $1:100\,000$ : cada centímetro del mapa representa $100\,000$ centímetros en el suelo.

Convierte $100\,000$ cm a kilómetros. ¿Qué significa $1$ cm? de este mapa representan, en km?
Dos pueblos se encuentran a $7.5$ cm de distancia en el mapa; la orilla de un lago es una curva $12$ cm. Da las distancias reales.
Una calzada romana muy recta recorre el km $20$ . ¿Cuánto dura? en el mapa?
Un segundo mapa anuncia “ $1$ cm para $5$ km”. Escribe su escala en el formato $1: \,?$ . ¿Cuál de los dos mapas muestra? ¿Más detalles para la misma región?
Haga una tabla pequeña (mapa de distancia $1$ , $2$ , $7.5$ cm contra la distancia real) para el mapa de caminatas, y explique por qué una báscula es exactamente una proporcionalidad en el sentido de Definición 44.1. ¿Cuál es el coeficiente que ¿Convierte centímetros en el mapa en kilómetros?

Parte II — Zoe’s bedroom plan. Zoe dibuja un plano de su dormitorio — un rectángulo de $4$ m por $3$ m — a escala $1:50$ .

¿Cuáles son las dimensiones de la habitación en el plano?
Su cama mide $2$ m por $0.9$ m, y la entrada es $80$ cm de ancho. Da las tres medidas en el plano.
Ahora la trampa. Calcule el área real de la habitación en m $^2$ , luego el área de su plan en cm $^2$ . Convertir el real área en cm $^2$ (Definición 43.5) y dividir por el plan área: ¿el cociente es $50$ ?
Explica el número que encontraste: en un plan $1:50$ , cada Un centímetro cuadrado de papel representa un cuadrado real de $50$ cm por $50$ cm. ¿Cuántos cm $^2$ reales son esos? Estado la regla: cuando las longitudes se dividen por $50$ , áreas son dividido por …
A redondo cubre alfombras $6$ cm $^2$ en el plano. que real área cubre, en cm $^2$ y luego en m $^2$ ?

Parte III — How to lie with a chart (and with a percentage).

Una tienda vendió $105$ euros el sábado y $110$ el Domingo. El gerente dibuja un gráfico de barras cuya vertical El eje comienza en $100$ : la barra del sábado sube $5$ pequeña. unidades, el bar dominical $10$ . ¿Qué significa la imagen? sugieren sobre el domingo, y ¿cuál es la verdad? (Calcular El aumento del domingo como porcentaje del sábado, al porcentaje más cercano.) ¿Qué advertencia de Método 44.8 ¿ignoró el gerente?
Vuelva a dibujar (o describa) el gráfico honesto, con el eje comenzando en $0$ : ¿cómo se comparan las dos barras ahora?
Una colección crece de sellos $40$ a $60$ : calcule el aumentar como porcentaje del valor inicial. entonces retrocede de $60$ a $40$ : calcule la disminución como un porcentaje del valor inicial es. ¿Por qué son los ¿Dos respuestas diferentes, para los mismos sellos $20$ ?
Temporada de rebajas: un abrigo a $100$ euros obtiene “ $20\,\%$ off”, y en la caja un “ $10\,\%$ adicional de descuento en precio reducido”. Calcule el precio final paso a paso. ¿El descuento total es $30\,\%$ ? Explíquele al comprador lo que realmente es.
Finale, de nuevo en el mapa de la pregunta 4 ( $1$ cm para $5$ km): un bosque ocupa $3$ cm $^2$ de ese mapa. que ¿Es real área, en km $^2$ ? Concluimos con la regla de Todo este problema: las longitudes siguen la escala, áreas. sigue su …

Solución

Solución de Problema 44.1.

1. $100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= 1$ km: un centímetro en el mapa hay un kilómetro sobre el terreno.

2. $7.5$ cm $\rightarrow 7.5$ km entre los pueblos; $12$ cm $\rightarrow 12$ km de orilla del lago.

3. $20$ km $\rightarrow 20$ cm en el mapa.

4. $5$ km $= 500\,000$ cm, por lo que la escala es $1:500\,000$ . El mapa de senderismo ( $1:100\,000$ ) es el más detallado: usa $5$ cm de papel donde el otro gasta solo $1$ cm.

map (cm)	$1$	$2$	$7.5$
real (km)	$1$	$2$	$7.5$

Distancia real $=$ distancia en mapa $\times 1$ (en estas unidades): siempre el multiplicador mismo, que es exactamente el definicion de proporcionalidad (Definición 44.1). El coeficiente aquí es $1$ kilómetro por centímetro.

6. $4$ m $= 400$ cm y $400 \div 50 = 8$ ; $3$ m $= 300$ cm y $300 \div 50 = 6$ : el plano muestra una $8$ cm $\times$ $6$ cm rectángulo.

7. Cama: $200 \div 50 = 4$ cm por $90 \div 50 = 1.8$ cm. Entrada: $80 \div 50 = 1.6$ cm.

8. Real área: $4 \times 3 = 12$ m $^2$ . Plan área: $8 \times 6 = 48$ cm $^2$ . Conversión: $12$ m $^2 = 12 \times 10\,000 = 120\,000$ cm $^2$ , y

120\,000 \div 48 = 2\,500 .

El cociente no es $50$ sino $2\,500 = 50 \times 50$ .

9. Un cm $^2$ de papel representa un cuadrado real de $50$ cm por $50$ cm, que contiene $50 \times 50 = 2\,500$ cm $^2$ . Entonces, cuando las longitudes se dividen por $50$ , áreas se dividen entre $50 \times 50 = 2\,500$ : áreas sigue el cuadrado de la báscula.

10. $6 \times 2\,500 = 15\,000$ cm $^2$ , y $15\,000 \div 10\,000 = 1.5$ m $^2$ .

11. La imagen sugiere que el domingo se vendió dos veces como mucho (una barra dos veces más alta). Verdad: el aumento es de $5$ euros de $105$ y $5 \div 105 \approx 0.048$ : aproximadamente $5\,\%$ más, no $100\,\%$ más. El gerente ignoró la advertencia para verificar que el eje comienza en $0$ (Método 44.8).

12. Con el eje de $0$ , las barras suben a $105$ y $110$ unidades pequeñas: dos barras de casi la misma altura, la Imagen honesta de un $5\,\%$ diferencia.

13. Arriba: el aumento es de sellos $20$ desde el inicio de $40$ : $\frac{20}{40} = 50\,\%$ . Abajo: la disminución es $20$ sellos desde un inicio de $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Mismos sellos $20$ , diferentes valores iniciales — a El porcentaje es siempre fracción de algo, y el “algo” cambió.

14. Después de $20\,\%$ descuento: $100 - 20 = 80$ euros. el $10\,\%$ extra se aplica a $80$ : descuento $8$ euros, precio final $72$ euros. Descuento total: $28$ euros de $100$ , por lo que $28\,\%$ — no $30\,\%$ . El segundo descuento actuó sobre el precio ya reducido, por lo que sus euros son menores: porcentajes de diferentes cantidades no suman.

15. En ese mapa, $1$ cm significa $5$ km, por lo que $1$ cm $^2$ significa $5 \times 5 = 25$ km $^2$ (regla de la pregunta 9). El bosque: $3 \times 25 = 75$ km $^2$ . Las longitudes siguen el escala; áreas sigue su cuadrado.