Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

16Multiplicación

Tres bolsas de siete canicas: podrías agregar $7 + 7 + 7$ , pero hay una forma más rápida: multiplicación, la operación de suma repetida. Este capítulo construye las tablas de multiplicar a partir de imágenes, luego enseña el método de la columna.

16.1 que significa multiplicar

Definición 16.1 (multiplicacion)

producto $3 \times 7$ significa "tres por siete":

3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 .

En una imagen, $3 \times 7$ es un rectángulo de puntos: $3$ filas de $7$ puntos.

Los mismos puntos 21, contados por filas o por columnas: el orden de un producto no importa. Saber 3 × 7 da 7 × 3 gratis — ¡la mitad de las tablas para aprender! — Los mismos puntos $21$ , contados por filas o por columnas: el orden de un producto no importa. Saber $3 \times 7$ da $7 \times 3$ gratis — ¡la mitad de las tablas para aprender!

Proposición 16.2 (Reglas que ayudan)

El orden no importa: $a \times b = b \times a$ .
Multiplicar por $1$ no cambia nada; multiplicar por $0$ da $0$ .
Al multiplicar por $10$ se agrega un cero: $34 \times 10 = 340$ ; por $100$ , dos ceros.
Se puede reconstruir una tabla a partir de sus vecinos: $6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 16.3 (La mesa cuadrada)

Todas las mesas caben en un cuadrado. Para leer $6 \times 7$ : fila $6$ , columna $7$ .

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

El cuadrado es simétrico a través de su diagonal — esa es la regla 1 hecha visible.

16.2 Multiplicación de columnas

Método 16.4 (Multiplicar por un número de un dígito)

Para calcular $234 \times 6$ :

multiplica las unidades: $4 \times 6 = 24$ : escribe $4$ , lleva $2$ ;
multiplica las decenas y suma el acarreo: $3 \times 6 + 2 = 20$ : escribe $0$ , lleva $2$ ;
multiplica las centenas y suma el acarreo: $2 \times 6 + 2 = 14$ : escribe $14$ .

\begin{array}{r} 2\,3\,4 \\ \times \quad 6 \\ \hline 1\,4\,0\,4 \end{array}

Estimación para verificar: $234$ está cerca de $200$ , y $200 \times 6 = 1\,200$ : la respuesta $1\,404$ es plausible.

Ejemplo 16.5 (Dividir para multiplicar mentalmente)

El método de la columna divide secretamente el número por lugares. mentalmente, hazlo lo mismo:

23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4 = 80 + 12 = 92 .

Y con un vecino amigable: $99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 = 495$ .

Por qué funciona la división: un rectángulo de unidad 23 × 4 cuadrados es una parte 20 × 4 más una parte 3 × 4 — 80 + 12 = 92 cuadrados. — Por qué funciona la división: un rectángulo de unidad $23 \times 4$ cuadrados es una parte $20 \times 4$ más una parte $3 \times 4$ — $80 + 12 = 92$ cuadrados.

16.3 Multiplicación en problemas

Ejemplo 16.6

Un minibús transporta pasajeros $9$ . ¿Cuántos pasajeros pueden $27$ ? llevan los minibuses?

Es una multiplicación: $27$ grupos de $9$ .
$27 \times 9 = 243$ (columnas, o $27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27$ ).
Frase: los minibuses pueden transportar pasajeros $243$ .

16.4 Ceremonias

Ejercicio 16.1 ★

Escribe como una multiplicación, luego calcula: $8 + 8 + 8 + 8$ ; $5 + 5 + 5$ ; $20 + 20 + 20 + 20 + 20$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.1.

$8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32$ ; $5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15$ ; $20 \times 5 = 100$ .

Ejercicio 16.2 ★

Recitar y completar: $6 \times 7$ ; $8 \times 4$ ; $9 \times 9$ ; $7 \times 8$ ; $6 \times 6$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.2.

$42$ ; $32$ ; $81$ ; $56$ ; $36$ .

Ejercicio 16.3 ★

Dibuja un rectángulo de puntos para $4 \times 6$ , luego uno para $6 \times 4$ . ¿Qué notas sobre los dos cargos?

Solución

Solución de Ejercicio 16.3.

Ambos rectángulos contienen los mismos puntos $24$ — uno es el otro volteado de lado: $4 \times 6 = 6 \times 4$ .

Ejercicio 16.4 ★

Calcule usando las reglas de Proposición 16.2: $56 \times 10$ ; $8 \times 100$ ; $73 \times 0$ ; $45 \times 1$ ; $30 \times 10$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.4.

$560$ ; $800$ ; $0$ ; $45$ ; $300$ .

Ejercicio 16.5 ★

Calcular en columnas: $132 \times 3$ ; $217 \times 4$ ; $408 \times 7$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.5.

$132 \times 3 = 396$ ; $217 \times 4 = 868$ ; $408 \times 7 = 2\,856$ .

Ejercicio 16.6 ★

Calcule mentalmente dividiendo (como en Ejemplo 16.5): $31 \times 5$ ; $42 \times 3$ ; $25 \times 6$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.6.

$31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155$ ; $42 \times 3 = 120 + 6 = 126$ ; $25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150$ .

Ejercicio 16.7 ★

Calcular con un vecino amigable: $99 \times 7$ ; $101 \times 6$ ; $98 \times 5$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.7.

$99 \times 7 = 700 - 7 = 693$ ; $101 \times 6 = 600 + 6 = 606$ ; $98 \times 5 = 500 - 10 = 490$ .

Ejercicio 16.8 ★

Primero estime, luego calcule: $389 \times 5$ (estima con $400$ ); $612 \times 8$ (estimación con $600$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 16.8.

$389 \times 5$ : estimación $400 \times 5 = 2\,000$ ; exactamente $1\,945$ .

$612 \times 8$ : estimación $600 \times 8 = 4\,800$ ; exactamente $4\,896$ .

Ejercicio 16.9 ★

Una caja de huevos contiene huevos $6$ . ¿Cuántos huevos hay en las cajas $38$ ? escribir la operación, calcular, responder con una frase.

Solución

Solución de Ejercicio 16.9.

$38 \times 6 = 228$ . Hay huevos $228$ en las cajas.

Ejercicio 16.10 ★★

Un salón de clases tiene $8$ filas de escritorios $4$ ; cada escritorio tiene capacidad para estudiantes $2$ . ¿Cuántos estudiantes tiene capacidad para el salón? (Dos multiplicaciones).

Solución

Solución de Ejercicio 16.10.

Escritorios: $8 \times 4 = 32$ . Estudiantes: $32 \times 2 = 64$ . la habitación puede asiento $64$ estudiantes.

Ejercicio 16.11 ★★

Encuentre todas las formas de organizar las sillas $24$ en filas iguales (filas de $1$ , de $2$ , …). ¿Qué arreglos son posibles? (Usa la tabla cuadrado: busque $24$ dentro de él).

Solución

Solución de Ejercicio 16.11.

$24$ aparece en el cuadro de la tabla como $1 \times 24$ , $2 \times 12$ , $3 \times 8$ , $4 \times 6$ — y los mismos pares invertidos. Posible arreglos: $1$ fila de $24$ , $2$ filas de $12$ , $3$ filas de $8$ , $4$ filas de $6$ , $6$ filas de $4$ , $8$ filas de $3$ , $12$ filas de $2$ , $24$ filas de $1$ .

Ejercicio 16.12 ★★

Zoe calcula $47 \times 6$ así: $40 \times 6 = 240$ , $7 \times 6 = 42$ y luego $240 + 42 = 282$ . Lea calcula $47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282$ . explicar cada método. ¿Cuál prefieres para $38 \times 4$ ? Calcular ambos maneras.

Solución

Solución de Ejercicio 16.12.

Zoe divide $47$ en $40 + 7$ (el método de columna en su cabeza); lea reemplaza $47$ por el simpático $50$ y corrige quitando el $3 \times 6$ contó demasiado. Para $38 \times 4$ : el camino de Zoe, $120 + 32 = 152$ ; El camino de Léa, $40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 = 152$ . Ambos funcionan — Léa es más rápido aquí porque $38$ está cerca de $40$ .

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81