Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

42Simetría axial

Dobla una hoja de papel a lo largo de una línea: cada punto aterriza en otro punto, su imagen especular. Este plegado es simetría axial (o reflexión), la primera transformación geométrica del libro — la el segundo, simetría central, viene en Capítulo 52.

42.1 Reflexiones

Definición 42.1 (Punto simetrico)

Sea $d$ una línea. El simétrico de un El punto $M$ a través de $d$ es el punto $M'$ tal que $d$ es el bisectriz perpendicular de $[MM']$ : el segmento $[MM']$ es perpendicular a $d$ , y $d$ lo corta por su punto medio. Un punto on $d$ es su propia simétrica.

Reflejando a través de la línea d: el eje es perpendicular a [MM'] y pasa por su punto medio (marcas iguales). Un punto P en el eje no se mueve. — Reflejando a través de la línea $d$ : el eje es perpendicular a $[MM']$ y pasa por su punto medio (marcas iguales). Un punto $P$ en el eje no se mueve.

Método 42.2 (Construyendo un punto simétrico)

Para construir el simétrico $M'$ de $M$ a través de la línea $d$ :

dibuje perpendicular a $d$ a $M$ (escuadra); llamar $H$ el punto donde cruza $d$ ;
mida $MH$ con el compás o regla;
coloque $M'$ en el mismo perpendicular, del otro lado de $d$ , con $HM' = MH$ .

En papel cuadriculado es más rápido: cuenta los cuadrados desde $M$ hasta el eje, y cuenta el mismo número en el otro lado.

Ejemplo 42.3 (En una cuadrícula)

Si el eje es una línea de cuadrícula vertical y $M$ son $3$ cuadrados a su izquierda, entonces $M'$ es $3$ cuadrados a su derecha, en la misma fila. para una diagonal eje, el conteo funciona a lo largo de diagonales — siempre perpendicular a el eje.

Una figura y su reflejo en el eje vertical: cada uno vértice se refleja cuadrado por cuadrado y se intercambian la izquierda y la derecha.

Proposición 42.4 (Que reflejo conserva)

El simétrico de una figura a través de una línea es una figura del lo mismo forma y mismo tamaño: longitudes, ángulos, perímetros y áreas son todos conservado. El simétrico de un segmento es un segmento, de un círculo a círculo del mismo radio, de una línea una línea.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 42.5

Una cosa se conserva no: la orientación. A reflejada “b” se convierte en una “d” — escritura en espejo. Si trazas tu figura y volteas el papel de calco reproduce la imagen, el reflejo es correcto.

42.2 Ejes de simetría de una figura.

Definición 42.6 (Eje de simetria)

Una línea $d$ es una eje de simetría de un figura cuando la reflexión a través de $d$ envía la figura exactamente a sí mismo — doblar a lo largo de $d$ hace que las dos mitades coincidan.

Ejes de simetría de formas familiares. Cuidado con el rectángulo: sus diagonales son ejes de simetría no (doblar a lo largo de un diagonal — las mitades no coinciden a menos que sea un cuadrado).

Ejemplo 42.7

Contando ejes de simetría:

triangulo isósceles: $1$ (a través del vértice superior y el medio de la base); triangulo equilatero: $3$ ;
Rectángulo : $2$ (las dos “líneas medias”, no la diagonales); rombo: $2$ (¡sus diagonales!); cuadrado: $4$ ;
círculo: cada línea que pasa por el centro — infinitas.

Ejemplo 42.8 (La simetría demuestra igualdades)

¿Por qué son iguales los dos ángulos base de un triangulo isósceles? Doblar el triángulo a lo largo de su eje de simetría: el medio izquierdo aterriza exactamente en el derecha medio, por lo que el ángulo de la base izquierda aterriza en el ángulo de la base derecha — deben tener la misma medida (Proposición 42.4: los reflejos preservan los ángulos).

42.3 bisectriz perpendicular

Definición 42.9 (Bisectriz perpendicular)

El bisectriz perpendicular de un segmento $[AB]$ es la línea perpendicular a $[AB]$ a través de su punto medio — es el eje de simetría el que intercambia $A$ y $B$ .

Proposición 42.10 (Equidistancia)

Un punto $M$ está en el bisectriz perpendicular de $[AB]$ exactamente cuando está a la misma distancia de $A$ y de $B$ : $MA = MB$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 42.11 (Construcción de la brújula)

Para dibujar el bisectriz perpendicular de $[AB]$ sin medir:

abre la brújula a más de medio de $AB$ ;
dibuje dos arcos centrados en $A$ , arriba y abajo de segmento;
con la apertura mismo, dibuje dos arcos centrados en $B$ ;
une los dos cruces: esta línea es la perpendicular bisectriz (cada cruce equidista de $A$ y $B$ ).

42.4 Ceremonias

Ejercicio 42.1 ★

Copiar en papel cuadriculado: un eje vertical $d$ , un punto $A$ dos cuadrados a su izquierda, un punto $B$ cinco casillas a su izquierda y una casilla más arriba. Construya sus puntos simétrico $A'$ y $B'$ en $d$ .

Solución

Solución de Ejercicio 42.1.

$A'$ está a dos cuadrados del bien de $d$ , en la misma fila que $A$ ; $B'$ está cinco cuadrados a la derecha, un cuadrado más arriba — espejo posiciones.

Ejercicio 42.2 ★

Dibuja una línea $d$ y un punto $M$ en $3$ cm desde $d$ (no en la cuadrícula). papel). Construya el simétrico $M'$ de $M$ a través de $d$ con escuadra y regla, siguiendo Método 42.2. ¿Qué tan lejos están? ¿Son $M$ y $M'$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 42.2.

Perpendicular a $d$ a $M$ , pie $H$ ; luego $M'$ por el otro lado con $HM' = MH = 3$ cm. La distancia $MM'$ es $3 + 3 = 6$ cm.

Ejercicio 42.3 ★

¿Qué letras mayúsculas del alfabeto, escritas en su forma más simple, ¿Tiene un eje de simetría vertical (como A)? ¿Uno horizontal (como B)? ¿Ambos?

Solución

Solución de Ejercicio 42.3.

Eje vertical (como A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Eje horizontal (como B): B, C, D, E, H, I, K, O, X. Ambos: H, I, O, X. (Las respuestas exactas dependen ligeramente de cómo se dibujan las letras).

Ejercicio 42.4 ★

¿Cuántos ejes de simetría tiene: un triangulo equilatero? un rectángulo (eso no es un cuadrado)? ¿Un rombo (no un cuadrado)? un cuadrado? un circulo? Dibuja cada figura con sus ejes.

Solución

Solución de Ejercicio 42.4.

Triángulo equilátero: Ejes $3$ . Rectángulo: $2$ (el perpendicular bisectrices de sus lados). Rombo: $2$ (sus diagonales). Cuadrado: $4$ . Círculo: infinitos (cada línea que pasa por el centro).

Ejercicio 42.5 ★

¿Verdadero o falso? "Las diagonales de un rectángulo son ejes de simetría de el rectángulo.” Explíquelo con un argumento plegable o un dibujo.

Solución

Solución de Ejercicio 42.5.

FALSO. Doblar un rectángulo (no cuadrado) a lo largo de una diagonal no no hacer coincidir las dos mitades: los dos triángulos tienen el mismo forma pero siéntate diferente — pruébalo con una hoja de papel. Sólo por un cuadrado las diagonales funcionan como ejes.

Ejercicio 42.6 ★

Un triángulo $ABC$ se refleja a través de una línea $d$ en $A'B'C'$ . dado $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ y el perímetro de $ABC$ son $12$ cm: dar, sin construcción alguna, $A'B'$ , $\widehat{B'A'C'}$ y el perímetro de $A'B'C'$ .

Solución

Solución de Ejercicio 42.6.

Las reflexiones preservan longitudes, ángulos y perímetros (Proposición 42.4): $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$ , perímetro de $A'B'C' = 12$ cm.

Ejercicio 42.7 ★

Dibujar un segmento $[AB]$ de $7$ cm y construir su perpendicular bisectriz con el compás (Método 42.11). Elige cualquiera punto $M$ y verifique con la regla que $MA = MB$ .

Solución

Solución de Ejercicio 42.7.

Construcción de brújula como en Método 42.11. Para cualquier $M$ en la línea, el gobernante confirma $MA = MB$ (Proposición 42.10).

Ejercicio 42.8 ★★

En los puntos $A$ y $B$ de un jardín (plano) se encuentran dos árboles. ¿Dónde se puede ¿Plantar una fuente de manera que quede a la misma distancia de ambos árboles? Describe todo los posibles puntos.

Solución

Solución de Ejercicio 42.8.

Todos los puntos a igual distancia de $A$ y $B$ forman el bisectriz perpendicular de $[AB]$ (Proposición 42.10). La fuente puede ir a cualquier lugar de esa línea (dentro del jardín).

Ejercicio 42.9 ★★

En papel cuadriculado, dibuje el eje $d$ (una diagonal de la cuadrícula en $45^\circ$ ) y una pequeña figura en forma de L en un lateral. construir su Figura simétrico en $d$ . (Refleja cada vértice: para un $45^\circ$ eje, un punto $2$ cuadrados a la derecha del eje aterriza $2$ cuadrados arriba eso.)

Solución

Solución de Ejercicio 42.9.

Cada vértice se refleja perpendicular al eje: para el Eje $45^\circ$ , un punto $k$ cuadra a la derecha del eje. $k$ cuadrados encima (y viceversa) — horizontal y vertical Se intercambian desplazamientos. Refleja el vértices uno por uno, luego únelos en orden.

Ejercicio 42.10 ★★

Dibuje un círculo con centro $O$ , una línea $d$ a $O$ y un punto $M$ en el círculo. ¿Dónde está el simétrico de $M$ a través de $d$ ? Explique por qué el La reflexión envía el círculo sobre sí mismo.

Solución

Solución de Ejercicio 42.10.

El simétrico de $M$ es la segunda intersección del círculo con el perpendicular a $d$ a $M$ — se encuentra en el círculo. Razón: el reflejo conserva distancias y fija $O$ (que está en $d$ ), por lo que la imagen de cualquier punto a distancia $r$ de $O$ está nuevamente a distancia $r$ de $O$ : el círculo se mapea sobre sí mismo.

Ejercicio 42.11 ★★

Usando la propiedad de equidistancia (Proposición 42.10), Explique por qué los dos puntos de cruce de los arcos en Método 42.11 realmente se encuentra en el perpendicular bisectriz de $[AB]$ .

Solución

Solución de Ejercicio 42.11.

Cada punto de cruce $P$ fue trazado con la misma apertura de compás $\rho$ de $A$ y de $B$ : entonces $PA = \rho = PB$ . Por Proposición 42.10, un punto equidistante de $A$ y $B$ se encuentra en el bisectriz perpendicular de $[AB]$ ; dos de esos puntos determinan la línea.

Ejercicio 42.12 ★★★

Una bola de billar en el punto $A$ debe rebotar en una pared recta $d$ y llegar al punto $B$ (ambos del mismo lado de la pared). Reflejar $B$ a través de $d$ hasta $B'$ y dibuje el segmento $[AB']$ . Explique por qué el El mejor punto de rebote es donde $[AB']$ cruza la pared. (Idea: el camino $A \to P \to B$ tiene la misma longitud que $A \to P \to B'$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 42.12.

Para cualquier punto de rebote $P$ en la pared, $PB = PB'$ (reflexión a través $d$ preserva las distancias), por lo que la longitud del camino $AP + PB = AP + PB'$ . La línea discontinua $A \to P \to B'$ es la más corta. cuando es recto, es decir, cuando $P$ está en segmento $[AB']$ . Entonces el El mejor punto de rebote es la intersección de $[AB']$ con la pared.

42.5 Problema: La fuente, el plato roto y el caminar espejo

Problema 42.1

Problema de fin de semana — las tres perpendiculares Las bisectrices de un triángulo se encuentran en un punto: el círculo que pasa por tres. puntos, y lo que dos espejos hacen juntos

En Ejercicio 42.8 una fuente tenía que estar al mismo nivel distancia de los árboles dos, y la respuesta fue una línea completa de manchas. Este problema planta un árbol tercero — y todo La línea colapsa en un único punto perfectamente determinado. eso El punto esconde un tesoro de geometría: te permite dibujar el que círculo que pasa por tres puntos dados, reconstruir un plato completo de un fragmento roto y pertenece a cada triángulo. el ultimo parte realiza un experimento con dos espejos cuyo resultado anuncia la geometría del próximo año.

Parte I — Two trees, then a map of territories.

Dibujar dos puntos $A$ y $B$ con $AB = 6$ cm y construir el bisectriz perpendicular de $[AB]$ con el brújula (Método 42.11). Elige un punto $M$ en él y verifique con la regla que $MA = MB$ .
Proposición 42.10 dice dos cosas en una vez: cada punto on la bisectriz es equidistante de $A$ y $B$ , y cada punto equidistante is on la bisectriz. ¿Cuál de los dos responde a la fuente? pregunta de Ejercicio 42.8? ¿Qué hace el proposición dice sobre un punto que es no en el bisectriz?
Tome un punto $M$ en el mismo lado de la bisectriz que $A$ . El segmento $[MB]$ cruza la bisectriz en un punto $P$ . Compare la ruta $M \to P \to B$ con la ruta $M \to P \to A$ y explica por qué $M$ está más cerca de $A$ . que a $B$ : la bisectriz divide la hoja en una “lado $A$ ” y un “lado $B$ ”.
Dos escuelas $A$ y $B$ sirven a una ciudad. Cada niño camina a la escuela más cercana. Dibuja un pequeño mapa con $A$ y $B$ , y sombree la región exacta de la ciudad atendida por la escuela $A$ . ¿Qué línea forma la frontera?
Se abre una tercera escuela $C$ (colóquela de modo que las tres escuelas hacer un triángulo). Construye el bisectriz perpendicular de $[AB]$ y el bisectriz perpendicular de $[BC]$ , y llame a $O$ su punto de cruce. ¿Cuáles dos igualdades de distancias satisface $O$ , y ¿por qué?

Parte II — Three trees, one point, one circle.

Deduzca de la pregunta 5 que $OA = OC$ — y por lo tanto que $O$ también se encuentra en el bisectriz perpendicular de $[AC]$ , que nunca dibujaste. Concluir: the three bisectrices perpendiculares of the sides of a triangle all pass through one point.
Explica por qué el círculo de centro $O$ y radio $OA$ pasa por $B$ y también por $C$ : es el circule por los tres puntos — el círculo circunscrito del triángulo $ABC$ .
Construye un triángulo con lados $6$ cm, $5$ cm y $4$ cm (Método 41.2), entonces su círculo circunscrito. ¿Por qué es suficiente dibujar solo? dos bisectrices perpendiculares para encontrar el centro?
El plato roto: un arqueólogo desentierra un fragmento cuyo La única parte intacta es un trozo del borde circular del plato. Describe una receta que recupere el centro y la radio de la placa original — y pruébalo: dibuja un arco de círculo con tu compás, “olvídate” del centro, Marque tres puntos en el arco y reconstrúyalo.
¿Podrían alguna vez tres puntos tener un círculo no? ellos? Supongamos que $A$ , $B$ , $C$ están alineados. ¿Qué puede ser? dicho del bisectrices perpendiculares de $[AB]$ y de $[BC]$ (Proposición 40.3)? Concluir.

Parte III — Axes everywhere, and the walking mirror.

Ejemplo 42.7 contó los ejes $3$ para el triangulo equilatero y $4$ para el cuadrado. Conjetura el recuento de un pentágono normal y un hexágono normal, y describir por dónde pasan los ejes en cada caso (impar numero de lados contra incluso: las dos situaciones difieren).
Dobla una hoja de papel una vez y corta una forma a través de ambas. capas; desplegar. ¿Por qué el agujero siempre tiene un eje de simetría, lo que cortes y qué línea es el eje?
Doblar la hoja dos veces — el segundo pliegue perpendicular al primero — cortar y desplegar. ¿Cuántos ejes de ¿Tiene al menos simetría el agujero y cuántas Copias de tu corte ¿ves? (Los copos de nieve de papel son esta idea se desarrolló aún más.)
El espejo andante: en papel cuadriculado, dibuja un eje vertical $d_1$ , una pequeña bandera $F$ a su izquierda y una segunda eje vertical $d_2$ , $4$ cuadrados a la derecha de $d_1$ . Refleja $F$ en $d_1$ (imagen $F'$ ), luego refleja $F'$ a través de $d_2$ (imagen $F''$ ). Comparar $F$ y $F''$ : ¿Misma orientación o reflejada? ¿Por cuántos cuadrados ¿La figura se mueve? Comparar con la distancia entre el ejes.
Mismo experimento con $d_2$ perpendicular para $d_1$ : refleja la bandera a través del eje vertical, luego la imagen a través de la horizontal. Describe cómo $F''$ se encuentra en relación con $F$ y con el punto de cruce de la dos ejes. (Acabas de descubrir el año que viene transformación: Capítulo 52.)

Solución

Solución de Problema 42.1.

1. Construcción como en Método 42.11; para cualquier $M$ en la línea, la regla confirma $MA = MB$ (Proposición 42.10).

2. La cuestión de la fuente necesita una segunda dirección: todo los puntos equidistantes están en la bisectriz, por lo que el Los posibles puntos son exactamente esa línea y nada más. y un Por lo tanto, el punto que no está en la bisectriz es no equidistante: está estrictamente más cerca de uno de los dos árboles.

3. Los dos caminos comparten el tramo $[MP]$ y $PB = PA$ . ya que $P$ está en la bisectriz. Entonces la ruta $M \to P \to B$ tiene la misma longitud que la ruta $M \to P \to A$ , es decir, $MP + PA$ . Ahora $MB$ es la ruta directa a $B$ — aquí está is el ruta a través de $P$ , entonces $MB = MP + PA$ ; y la ruta recta hacia $A$ es más corto que el desvío por $P$ : $MA < MP + PA = MB$ . Cada punto en el lado de la bisectriz de $A$ está más cerca de $A$ .

4. El borde es el bisectriz perpendicular de $[AB]$ : la escuela $A$ atiende exactamente al medio del pueblo de su lado de esa línea (pregunta 3), la escuela $B$ , la otra medio, y los niños Los que viven en la línea pueden elegir cualquiera de los dos.

5. $O$ se encuentra en la bisectriz de $[AB]$ , por lo que $OA = OB$ ; y en la bisectriz de $[BC]$ , entonces $OB = OC$ (Proposición 42.10).

6. De $OA = OB$ y $OB = OC$ : $OA = OC$ . por el segunda dirección de Proposición 42.10, un punto equidistante de $A$ y $C$ se encuentra en bisectriz perpendicular de $[AC]$ : la tercera bisectriz pasa por $O$ sin ser preguntó. Los tres bisectrices perpendiculares de cualquier triángulo son concurrente.

7. El círculo de centro $O$ y radio $OA$ consta de todos los puntos a la distancia $OA$ de $O$ (Definición 40.5); desde $OB = OA$ y $OC = OA$ , el Los puntos $B$ y $C$ están en él. Un centro, un radio, tres puntos servidos: es el círculo que pasa por $A$ , $B$ y $C$ .

8. Dos bisectrices son suficientes porque la tercera es automática (pregunta 6): su punto de cruce ya satisface los tres igualdades de distancia. El círculo se dibuja con centro $O$ y la brújula se abrió desde $O$ a cualquiera de los tres vértices.

9. Receta: marcar tres puntos $A$ , $B$ , $C$ en el arco sobreviviente; dibuja el bisectrices perpendiculares de los acordes $[AB]$ y $[BC]$ ; su punto de cruce es el centro de la placa, y su distancia a $A$ es la radio. Funciona porque El borde del plato es un círculo que pasa por los tres puntos marcados — y la pregunta 8 encuentra el círculo el a través de ellos. la prueba El arco se reconstruye exactamente.

10. Si $A$ , $B$ , $C$ están alineados, la bisectriz de $[AB]$ y la bisectriz de $[BC]$ son perpendicular al misma línea $(AB) = (BC)$ — por lo que son paralelo entre sí (Proposición 40.3) y, al ser distintos, nunca cruzarse. Ningún punto es equidistante de los tres y ningún círculo pasa por ellos. a través de tres puntos alineados.

11. Regular pentágono: $5$ ejes, cada uno a través de uno vértice y el punto medio del lado opuesto (conteo extraño: cada eje es de este tipo). Regular hexágono: $6$ ejes — tres a través opuesto vértices y tres a través de los puntos medios de lados opuestos (Recuento incluso: dos tipos, medio y medio). El patrón: un regular polígono con lados $n$ tiene ejes $n$ .

12. El corte atraviesa ambas capas a la vez, por lo que el dos capas pierden piezas exactamente iguales; el desarrollo es el reflexión a través de la línea de pliegue, que envía el borde de cada capa sobre el del otro. El agujero es su propia imagen especular: el pliegue. La línea es eje de simetría — lo que sea que se cortó.

13. El agujero desplegado tiene al menos $2$ ejes de la simetría, las dos líneas de pliegue y el corte aparecen en copias $4$ (cada despliegue duplica la imagen: $1 \to 2 \to 4$ ). Plegable más veces en el estilo copo de nieve se multiplican las copias y el ejes más lejos.

14. $F''$ tiene la orientación mismo como $F$ (dos Los volteos del espejo cancelan el reflejo), del mismo tamaño y del mismo altura — es simplemente $F$ deslizado hacia la derecha. la diapositiva mide $8$ cuadrados: exactamente dos veces la distancia entre los dos ejes. Dos espejos paralelo juntos no reflejan en todos: ellos traducir.

15. $F''$ vuelve a tener el mismo tamaño, pero ahora aparece Al revés, doblado por medio un giro sobre el cruce punto de los dos ejes: cada punto de $F''$ es diametralmente frente al punto correspondiente de $F$ por dicho centro. Dos espejos perpendicular se componen del media vuelta — la simetría central de Capítulo 52.