Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

46Números negativos

Temperaturas inferiores a cero, pisos bajo rasante, dinero adeudado: muchos las cantidades son inferiores a $0$ . Los números negativos extienden la recta numérica hasta el izquierda de cero. Este capítulo enseña cómo compararlos y cómo sumarlos. y restarlos — su multiplicación espera Capítulo 54.

46.1 Números relativos

Definición 46.1 (numeros relativos)

Un número relativo está hecho de un letrero. ( $+$ o $-$ ) y distance to cero: $+3$ y $-3$ están ambos en distancia $3$ de $0$ , en lados opuestos. Los números positivos suelen ser escrito sin su signo: $+3 = 3$ . Los números $+3$ y $-3$ son opuestos el uno del otro.

La recta numérica extendida hacia la izquierda: -3 y +3 son números opuestos, a la misma distancia de 0. — La recta numérica extendida hacia la izquierda: $-3$ y $+3$ son números opuestos, a la misma distancia de $0$ .

Método 46.2 (Comparando números relativos)

En la recta numérica, más pequeño significa más a la izquierda. En la práctica:

un número negativo siempre es menor que uno positivo: $-7 < 2$ ;
entre dos positivos, el orden habitual;
entre dos negativos, el que tiene la distancia más grande a cero es el menor: $-7 < -2$ .

Ejemplo 46.3

Ordenar de menor a mayor: $3$ ; $-5$ ; $0$ ; $-1.5$ ; $2.8$ . Lo negativo primero, lo más negativo:

-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .

46.2 Sumar números relativos

Piense en número relativo como un movimiento a lo largo de la línea: $+5$ significa “caminar $5$ pasos hacia la derecha”, $-3$ significa “caminar $3$ pasos hacia la izquierda”. Añadiendo números significa encadenar los paseos.

Método 46.4 (Agregando dos números relativos)

Mismo signo: sumar las distancias, mantener el signo común: $(-3) + (-4) = -7$ .
signos opuestos: restar la distancia menor del más grande, toma el signo del más grande: $(-7) + (+2) = -5$ y $(+7) + (-2) = +5$ .
Opuestos cancelar: $(+4) + (-4) = 0$ .

Agregando como caminata: comenzando en 0, la caminata -3.5 luego la camina +2 aterriza en (-3.5) + 2 = -1.5. — Agregando como caminata: comenzando en $0$ , la caminata $-3.5$ luego la camina $+2$ aterriza en $(-3.5) + 2 = -1.5$ .

Ejemplo 46.5

Paso a paso, agrupando como convenga:

\begin{align*} (-8) + (+3) &= -5 && \text{(opposite signs: } 8 - 3 = 5, \text{ sign of } 8)\\ (-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(same sign: add distances)}\\ (+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 . \end{align*}

46.3 Restar números relativos

Teorema 46.6 (Regla de resto)

Restar un número relativo es lo mismo que agregando su opuesto:

a - b = a + (-b) .

¿Por qué funciona?. $a - b$ es el número que sumado a $b$ da $a$ . comprueba eso $a + (-b)$ hace el trabajo: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$ . ∎

Ejemplo 46.7

Toda resta se convierte en una suma, entonces Método 46.4 se aplica:

\begin{align*} 5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\ (-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\ (-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 . \end{align*}

La última línea es la famosa: restar un negativo significa añadiendo. ¡Eliminar una deuda te hace más rico!

Ejemplo 46.8 (Diferencias de temperatura)

En un día la temperatura pasó de $-6$ grados a $+9$ grados. el subida es el diferencia

9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ degrees}.

En la recta numérica: desde $-6$ hasta $0$ son $6$ grados, desde $0$ hasta $9$ es $9$ más.

46.4 Coordenadas en todo el plano.

Definición 46.9 (Coordenadas con signos)

Con dos ejes graduados perpendicular que se cruzan en el origen $O$ , cada punto del plano tiene dos coordenadas relativas $(x, y)$ : negativo $x$ significa a la izquierda del eje vertical, negativo $y$ significa debajo el eje horizontal.

Un punto en cada cuarto del avión. Lea siempre el coordenada horizontal primero.

46.5 Ceremonias

Ejercicio 46.1 ★

Dar lo contrario de: $7$ ; $-3.5$ ; $0$ ; $+12$ . Luego completa: “¿dos números son opuestos cuando su suma es ?”.

Solución

Solución de Ejercicio 46.1.

Opuestos: $-7$ ; $+3.5$ ; $0$ (su propio opuesto); $-12$ . dos Los números son opuestos cuando su suma es $0$ .

Ejercicio 46.2 ★

Copiar y completar con $<$ o $>$ :

-4 \;?\; 1, \qquad -4 \;?\; -7, \qquad -2.5 \;?\; -2.4, \qquad 0 \;?\; -0.1 .

Solución

Solución de Ejercicio 46.2.

$-4 < 1$ ; $-4 > -7$ ; $-2.5 < -2.4$ ; $0 > -0.1$ .

Ejercicio 46.3 ★

Ordenar de menor a mayor: $-3$ ; $2.5$ ; $-0.5$ ; $-3.1$ ; $0$ ; $1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 46.3.

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$ .

Ejercicio 46.4 ★

Calcular:

(-5) + (-9), \qquad (-12) + (+7), \qquad (+3.5) + (-1.5), \qquad (-6) + (+6).

Solución

Solución de Ejercicio 46.4.

$(-5) + (-9) = -14$ ; $(-12) + (+7) = -5$ ; $(+3.5) + (-1.5) = +2$ ; $(-6) + (+6) = 0$ .

Ejercicio 46.5 ★

Transformar en adiciones, luego calcular:

4 - 11, \qquad (-5) - (+3), \qquad (-7) - (-10), \qquad 0 - (-8).

Solución

Solución de Ejercicio 46.5.

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$ .

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$ .

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$ .

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$ .

Ejercicio 46.6 ★

Calcule agrupando inteligentemente (opuestos primero):

(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad (-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).

Solución

Solución de Ejercicio 46.6.

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (positivos juntos, negativos juntos).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$ .

Ejercicio 46.7 ★

La temperatura era de $-3$ grados esta mañana; subió $8$ grados durante el día, y luego bajó $12$ grados durante la noche. escribe un solo cálculo que dé la temperatura final y calcule.

Solución

Solución de Ejercicio 46.7.

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$ : hace $-7$ grados por la noche.

Ejercicio 46.8 ★

Trazar en un sistema de coordenadas: $A(2, 3)$ ; $B(-3, 1)$ ; $C(-2, -2)$ ; $D(3, -1)$ ; $E(0, -3)$ . ¿Qué punto se encuentra sobre un eje?

Solución

Solución de Ejercicio 46.8.

Parcela libre; $E(0, -3)$ se encuentra en el eje vertical (su primera coordenada es $0$ ).

Ejercicio 46.9 ★★

Calcule el diferencia entre la temperatura más alta y más baja: Moscú en enero, máximo $-4$ grados, mínimo $-13$ grados; Helsinki, máx. $2$ , min $-9$ .

Solución

Solución de Ejercicio 46.9.

Moscú: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ grados de diferencia. Helsinki: $2 - (-9) = 11$ grados.

Ejercicio 46.10 ★★

Un buzo se encuentra a una altitud $-12$ m (doce metros bajo la superficie). ella sube $7$ m, luego desciende $4$ m. ¿A qué altura se encuentra? ¿Qué tan lejos? ¿Aún debe elevarse para llegar a la superficie?

Solución

Solución de Ejercicio 46.10.

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$ : ella está en $-9$ m. Para llegar a la superficie (altitud $0$ ) debe ascender $0 - (-9) = 9$ m.

Ejercicio 46.11 ★★

Parcela $A(-2, 1)$ , $B(2, 1)$ , $C(2, -2)$ . Encuentra las coordenadas del apunte $D$ para que $ABCD$ sea un rectángulo y calcule su perímetro (cuente los cuadrados de la cuadrícula para las longitudes de los lados).

Solución

Solución de Ejercicio 46.11.

$D(-2, -2)$ : misma primera coordenada que $A$ , misma segunda coordenada que $C$ . Lados: $AB = 4$ (de $-2$ a $2$ ) y $BC = 3$ (de $1$ hasta $-2$ ), por lo que perímetro es $2 \times (4 + 3) = 14$ .

Ejercicio 46.12 ★★★

En el cuadrado mágico de abajo, cada fila, columna y diagonal debe tener el mismo suma. Cópialo y complétalo:

$?$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$?$
$-4$	$?$	$?$

(Empiece por encontrar el mágico suma usando la diagonal que es casi completo.)

Solución

Solución de Ejercicio 46.12.

La diagonal completa $0, -2, -4$ da la magia suma $0 + (-2) + (-4) = -6$ . Luego, celda por celda: arriba a la izquierda $= -6 - (-7) - 0 = 1$ ; medio-derecha $= -6 - (-3) - (-2) = -1$ ; abajo a la derecha $= -6 - 0 - (-1) = -5$ ; abajo-medio $= -6 - (-7) - (-2) = 3$ .

$1$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$-1$
$-4$	$3$	$-5$

Cada fila, columna y diagonal suma $-6$ .

46.6 Problema: El año cero que nunca existió

Problema 46.1

Problema de fin de semana — números relativos en el línea de tiempo de la historia: duraciones a través del límite de la era, el el truco de los astrónomos y el principio de cambio neto

La recta numérica de este capítulo tiene un gemelo famoso en el mundo real: el línea de tiempo de la historia, con los años antes de Cristo extendiéndose hacia la izquierda y el años d.C. extendiéndose hacia la derecha. Pero la línea de los historiadores esconde una trampa. que ha estropeado muchos cálculos: there is no year cero — el año 1 a.C. es seguido inmediatamente por el año 1 d.C. Este problema calcula temperaturas, ascensores y cuentas bancarias, luego repara La historia está rota cero como lo hacen los astrónomos: con relativo numeros.

Parte I — Warm-ups, and a first trap.

La cumbre del Mont Blanc está a la altitud $+4\,808$ m; el orilla del Mar Muerto a $-430$ m. Calcular el diferencia de altitud entre ellos.
Una cuenta bancaria tiene $-45$ euros (un descubierto). su el propietario deposita $120$ euros, paga una factura de $60$ euros, luego deposita $15$ euros. Escribe el saldo como un solo cadena de sumas y calcularla. ¿Qué depósito único? habría devuelto el $-45$ original a exactamente $0$ ?
Julio César nació en $100$ a.C. y murió en $44$ a.C. Contando los años antes de Cristo como números negativos ( $100$ BC como $-100$ , $44$ BC como $-44$ ), calcular $(-44) - (-100)$ : cómo ¿Cuántos años vivió César?
El emperador Augusto nació en $63$ a.C. y murió en d.C. $14$ . La misma receta da $14 - (-63) = 77$ años — pero los historiadores insisten en que murió en $76$ . Su objeción: el conteo $77$ recorre un año que nunca existió. ¿Cuál?
Los astrónomos reparan la línea de tiempo reetiquetándola: años d.C. mantener su número ( $+14$ permanece $+14$ ), pero $1$ BC se convierte en $0$ , $2$ BC se convierte en $-1$ y, en general, el año $n$ BC se convierte en $-(n - 1)$ . Convierta $63$ BC y rehaga el Cálculo de la pregunta 4 con los números de los astrónomos. ¿La respuesta satisface ahora a los historiadores?

Parte II — Computing across the eras. De ahora en adelante, utilice el reetiquetado de los astrónomos para cada cálculo, convirtiéndolo nuevamente a BC/AD al final (un año etiquetado $0$ o negativo $-m$ es el año de los historiadores $m + 1$ a.C.).

Convertir a números de astrónomos: $1$ BC; $10$ antes de Cristo; ANUNCIO $476$ ; y $753$ a.C., la legendaria fundación de Roma.
Cuantos años pasaron desde la fundación de Roma ( $753$ aC) hasta la caída del Imperio Occidental (AD $476$ )?
Un cometa regresa cada $76$ años y apareció en $12$ antes de Cristo. Dé los años de los historiadores de sus siguientes tres apariciones, y de la aparición justo antes del $12$ a.C.
¿Cuántos años pasaron de $5$ a.C. a $5$ d.C.? (El la respuesta tentadora es $10$ ; la línea de tiempo dice lo contrario).
Un niño nacido en $3$ aC cumplió diez años en el cual año (a.C. o d.C.)?

Parte III — The net-change principle.

El distancia entre dos números en la línea es el más grande menos el más pequeño — siempre positivo. Calcule la distancia entre $-7$ y $-2$ , luego entre $-3.5$ y $4.5$ .
Un ascensor parte del piso $0$ y realiza los movimientos $+3$ , $-5$ , $+2$ , $-1$ , $+4$ . Calcular el piso final por agrupando inteligentemente (Método 46.4, opuestos primero cuando sea posible). ¿Realizaría el se mueve en un orden diferente ¿cambia el destino? ¿Por qué?
Día a día, la temperatura cambia en $+2$ , $-4$ , $+1$ , $0$ , $-3$ , $+5$ , $-2$ grados durante una semana. Calcular el neto change. Si la semana comenzó en $-2$ grados, donde termino? Indique el principio: valor final $=$ valor inicial $+$ (suma de todos los cambios).
La caminata de una excursionista la devuelve exactamente al punto de partida. altitud. ¿Qué debe hacer el suma de todos sus cambios de altitud? ser, y ¿por qué? De sus seis cambios registrados, cinco son $+4$ , $-7$ , $+2$ , $+3$ , $-5$ (en cientos de metros): Encuentra el sexto.
El final, de vuelta en Roma. Un historiador calcula: "la La República corrió desde $509$ a.C. hasta $27$ a.C., luego el Imperio al AD $476$ ; en total, desde $509$ a.C. hasta $476$ d.C., es decir $509 + 476 = 985$ años de estado romano.” Rehacer el cálculo con números de astrónomos. cual es el total correcto — y qué año, una vez más, causó la error?

Solución

Solución de Problema 46.1.

1. $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ m (Teorema 46.6: restar un negativo significa añadiendo).

2. Saldo:

(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30 \text{ euros}.

Para devolver el $-45$ inicial a $0$ , deposite su opuesto: $45$ euros.

3. $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$ : César vivió $56$ años. (Aquí no hay trampa: ambos años están en el mismo lado de el límite de la era.)

4. El año $0$ : contando desde $-63$ hasta $+14$ pasa hasta $0$ , pero el calendario de los historiadores salta directamente desde $1$ BC a AD $1$ — el año $0$ nunca existió, por lo que los ingenuos El recuento es un año demasiado largo.

5. $63$ BC se convierte en $-(63 - 1) = -62$ . entonces $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ años: exactamente el de los historiadores figura. En la línea reetiquetada por los astrónomos no hay espacios, por lo que la resta ordinaria da duraciones verdaderas.

6. $1$ BC $\to 0$ ; $10$ BC $\to -9$ ; AD $476 \to +476$ ; $753$ BC $\to -752$ .

7. $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ años.

8. $12$ BC es $-11$ . Próximas apariciones: $-11 + 76 = 65$ , luego $141$ , luego $217$ : los años AD $65$ , AD $141$ y AD $217$ . Antes: $-11 - 76 = -87$ , que es el Año de los historiadores $87 + 1 = 88$ a.C.

9. $5$ BC es $-4$ , por lo que $5 - (-4) = 9$ años — no $10$ . El año faltante cero aparece cada vez que se cruza una duración el límite de la era.

10. $3$ BC es $-2$ ; diez años después es $-2 + 10 = +8$ : el niño cumplió diez años en AD $8$ .

11. Entre $-7$ y $-2$ : $(-2) - (-7) = 5$ . entre $-3.5$ y $4.5$ : $4.5 - (-3.5) = 8$ .

12. Agrupación opuestos y amigos:

3 + (-5) + 2 + (-1) + 4 = \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4 = 0 + (-1) + 4 = +3 :

El ascensor finaliza en la planta $3$ . El orden no importa: un suma de números relativos se puede reorganizar libremente (cada movimiento se recorre a lo largo de la misma línea, y la caminata total es la misma).

13. Neto cambio: $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ grado. A partir de $-2$ : temperatura final $-2 + (-1) = -3$ grados. En general, el valor final es el valor inicial más el suma de todos los cambios — no es necesario seguir los altibajos uno por uno.

14. Volver al inicio significa neto cambiar $0$ : las subidas y bajadas Las bajadas deben cancelarse exactamente. Los cinco cambios conocidos suman $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$ , por lo que el sexto cambio es el enfrente: $+3$ (trescientos metros de altura).

15. Astrónomos: $509$ aC $\to -508$ , y $476 - (-508) = 984$ años. El $509 + 476 = 985$ del historiador. cuenta un año de más — una vez más el año fantasma cero, incluido silenciosamente en la adición pero ausente de la historia. (A modo de comprobación, las dos épocas: República $-508$ a $-26$ , $482$ años; Imperio $-26$ a $+476$ , $502$ años; $482 + 502 = 984$ .)