Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

45Prioridades de operaciones

¿Qué es $3 + 4 \times 5$ ? Si calcula de izquierda a derecha obtendrá $35$ ; si multiplicas primero obtienes $23$ . Las matemáticas necesitan una sola respuesta, por lo que existen reglas de tráfico para los cálculos: las prioridades. Este capítulo los establece e introduce una primera identidad algebraica, distributividad.

45.1 Las reglas de prioridad

Teorema 45.1 (Reglas de prioridad)

En un cálculo sin paréntesis:

se realizan multiplicaciones y divisiones antes sumas y restas;
las operaciones del mismo nivel se realizan de izquierda a derecha.

Los corchetes anulan todo: se calcula lo que está dentro de los corchetes Primero, empezando por los más internos.

Ejemplo 45.2

Un paso por línea, subrayando (mentalmente) lo que se calcula:

\begin{align*} 3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23 &&\text{(multiplication first)}\\ 20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14 &&\text{(same level: left to right)}\\ 18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12 &&\text{(same level: left to right)}\\ (3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35 &&\text{(brackets first).} \end{align*}

Tenga en cuenta las trampas: $20 - 8 + 2$ es no $20 - 10$ , y $18 \div 3 \times 2$ es no $18 \div 6$ .

Ejemplo 45.3 (corchetes anidados)

\begin{align*} 50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr) &= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(innermost bracket)}\\ &= 50 - 2 \times 9 && \text{(remaining bracket)}\\ &= 50 - 18 && \text{(multiplication)}\\ &= 32 . \end{align*}

Observación 45.4 (Las barras de fracciones ocultan corchetes)

Una barra fracción agrupa su numerador y su denominador, como si cada uno tenía corchetes invisibles:

\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5, \qquad\text{not}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .

Método 45.5 (Informática segura)

Localice la operación a realizar primero (paréntesis más internos, luego $\times$ y $\div$ , luego $+$ y $-$ );
calcula solo ese y reescribe la expresión completa. con el resultado en su lugar;
repetir hasta que quede un número — una operación por línea, no atajos.

45.2 Distributividad

Teorema 45.6 (distributividad)

Para todos los números $k$ , $a$ , $b$ :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b, \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b .

Prueba mediante una imagen. Cuente el área de un rectángulo de ancho $k$ dividido en dos más pequeños rectángulos de longitud $a$ y $b$ : en su conjunto es $k \times (a+b)$ ; en dos partes es $k \times a + k \times b$ . Mismo rectángulo, mismo área. ∎

Distributividad como áreas: el rectángulo grande k × (a + b) es el suma de los dos más pequeños. — Distributividad como áreas: el rectángulo grande $k \times (a + b)$ es el suma de los dos más pequeños.

Ejemplo 45.7 (Ambas direcciones)

En expansión (de izquierda a derecha) facilita el cálculo mental:

7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721, \qquad 6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .

Factorización (de derecha a izquierda) recoge un factor común:

23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .

Ejemplo 45.8 (Traducir palabras a un calculo)

“El suma de $8$ y el producto de $5$ por $3$ ” es $8 + 5 \times 3 = 23$ . “El producto de $5$ por el suma de $8$ y $3$ ” es $5 \times (8 + 3) = 55$ : las palabras “el producto de … por el suma of…” coloque corchetes alrededor del suma.

45.3 Ceremonias

Ejercicio 45.1 ★

Calcular, una operación por línea:

5 + 3 \times 6, \qquad (5 + 3) \times 6, \qquad 30 - 12 \div 4, \qquad (30 - 12) \div 4 .

Solución

Solución de Ejercicio 45.1.

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$ .

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$ .

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$ .

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$ .

Ejercicio 45.2 ★

Calcular:

24 - 6 + 2, \qquad 24 \div 6 \times 2, \qquad 24 - 6 \times 2, \qquad 24 \div (6 \times 2).

Solución

Solución de Ejercicio 45.2.

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (de izquierda a derecha).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (de izquierda a derecha).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (primera multiplicación).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$ .

Ejercicio 45.3 ★

Calcular paso a paso:

7 + 3 \times (10 - 6), \qquad 40 - (2 + 3) \times 4, \qquad 60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).

Solución

Solución de Ejercicio 45.3.

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$ .

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$ .

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3) = 60 \div 6 = 10$ .

Ejercicio 45.4 ★

Calcule el fracciones (¡paréntesis invisibles!):

\frac{18 + 6}{8}, \qquad \frac{30}{7 - 2}, \qquad \frac{5 \times 8}{4 + 6} .

Solución

Solución de Ejercicio 45.4.

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$ ; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$ ; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$ .

Ejercicio 45.5 ★

Utilice la distributividad para calcular mentalmente:

8 \times 102, \qquad 25 \times 99, \qquad 14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad 37 \times 45 - 37 \times 35 .

Solución

Solución de Ejercicio 45.5.

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$ .

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$ .

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$ .

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 = 370$ .

Ejercicio 45.6 ★

Escriba el cálculo en una línea, con paréntesis donde sea necesario, luego calcular: “el diferencia de $50$ y el producto de $6$ por $7$ ”; “el producto del suma de $4$ y el $5$ por el diferencia de $10$ y $8$ ”.

Solución

Solución de Ejercicio 45.6.

“El diferencia de $50$ y el producto de $6$ por $7$ ”: $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (no se necesitan corchetes, la prioridad sí la obra).

“El producto del suma de $4$ y el $5$ por el diferencia de $10$ y $8$ ”: $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$ .

Ejercicio 45.7 ★

Amir compró cuadernos $3$ a $2.50$ cada uno y bolígrafos $2$ a $1.20$ cada uno. Escribe su total en una sola expresión y luego calculalo.

Solución

Solución de Ejercicio 45.7.

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ euros.

Ejercicio 45.8 ★★

Coloque corchetes en $4 + 2 \times 5 - 1$ para obtener el resultado: (a) $13$ ; (b) $29$ ; (c) $24$ . (Uno de los tres no necesita ningún paréntesis — ¿cuál?)

Solución

Solución de Ejercicio 45.8.

(a) sin corchetes: $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$ .

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$ .

Ejercicio 45.9 ★★

¿ $12 + 4 \times k$ y $16 \times k$ son iguales para cada número $k$ ? Pruebe con $k = 1$ y $k = 2$ y concluya. ¿Qué error de prioridad? llevaría de uno a otro?

Solución

Solución de Ejercicio 45.9.

$k = 1$ : $12 + 4 \times 1 = 16$ y $16 \times 1 = 16$ — están de acuerdo (¡Por eso $k = 1$ es una mala prueba!). $k = 2$ : $12 + 4 \times 2 = 20$ pero $16 \times 2 = 32$ : diferente. Entonces los dos las expresiones no son iguales en general. el error $12 + 4 \times k = 16 \times k$ proviene de agregar $12 + 4$ primero, ignorando la prioridad de $\times$ .

Ejercicio 45.10 ★★

Una entrada de cine cuesta $9$ euros, pero un grupo de $n$ personas paga un piso $12$ euros más $6$ euros por persona.

Escriba una expresión para el precio del grupo y calcule para $n = 5$ .
¿A partir de cuántas personas la tarifa de grupo es más barata que $n$ ? entradas individuales? (Pruebe algunos valores de $n$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 45.10.

1. Precio de grupo: $12 + 6 \times n$ . Para $n = 5$ : $12 + 30 = 42$ euros.

2. Precio individual: $9n$ . Comparar: $n = 3$ : $30$ frente a $27$ (individual más barato); $n = 4$ : $36$ frente a $36$ (igual); $n = 5$ : $42$ frente a $45$ (grupo más barato). A partir de $5$ personas gana la tarifa de grupo (Cada persona adicional cuesta $6$ en lugar de $9$ , por lo que la brecha no hace más que crecer).

Ejercicio 45.11 ★★★

Usando cada uno de los dígitos $1$ , $2$ , $3$ , $4$ exactamente una vez, los cuatro operaciones y corchetes a voluntad, escriba expresiones iguales a $24$ , para $10$ y a $1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 45.11.

Posibles respuestas (existen muchas):

24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad 10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad 1 = (4 - 3) \times (2 - 1).

45.4 Problema: multiplicar como un escriba egipcio

Problema 45.1

Problema de fin de semana — trucos de cálculo mental de distributividad, y la multiplicación duplicar-reducir a la mitad utilizada para cuatro mil años

Mucho antes de que existieran las calculadoras y antes de que aparecieran las tablas de multiplicar. perforado en la escuela — escribas egipcios y campesinos rusos multiplicó dos números cualesquiera usando solo duplicar, reducir a la mitad y añadiendo. Su método parece mágico; es de hecho distributividad (Teorema 45.6) trabajando a máxima potencia. Este problema agudiza tu cálculo mental, entonces te enseña el método antiguo, luego abre el capó para ver exactamente por qué funciona.

Parte I — The art of not computing.

Calcula mentalmente, expandiendo como en Ejemplo 45.7: $7 \times 102$ y $9 \times 98$ .
Calcula mentalmente, factorizando: $17 \times 13 + 17 \times 7$ y $45 \times 101 - 45$ .
El truco “por $5$ ”: para multiplicar por $5$ , multiplica por $10$ y reducir a la mitad. Calcule $5 \times 87$ de esta manera y Explique por qué el truco es legítimo.
Dos trucos más para justificar y utilizar: multiplicar por $25$ por multiplicando por $100$ y dividiendo por $4$ (calcular $25 \times 32$ ); multiplicar por $99$ multiplicando por $100$ y restando una vez (calcular $99 \times 47$ ).
Un disparo de advertencia: la distributividad extiende un factor sobre un suma, nunca sobre un producto. Comparar $8 \times (5 + 3)$ con $8 \times 5 + 8 \times 3$ , y entonces $8 \times (5 \times 3)$ con $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ : qué par coincide, cual no?

Parte II — The doubling–halving method. Aquí está la receta de $13 \times 24$ . Escribe dos columnas. Izquierda columna: comience en $13$ y reducir en la mitad, eliminando cualquier resto, hasta $1$ : $13,\ 6,\ 3,\ 1$ . Columna derecha: comience en $24$ y doble tantas veces: $24,\ 48,\ 96,\ 192$ . tachar cada fila cuyo número izquierda sea incluso y agregue los supervivientes números correctos.

Realizar la receta de $13 \times 24$ : ¿qué fila es tachado, lo que queda suma, y es igual $13 \times 24$ ?
Multiplica $21 \times 17$ por el método (reducir a la mitad $21$ , duplicar $17$ ), y comprueba la respuesta mediante multiplicación ordinaria.
Multiplica $16 \times 25$ por el método. cuantas filas sobrevivir, y qué tiene de especial una columna izquierda que comienza en $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16, \dots$ ?
Ahora por qué funciona, paso a paso. Justifica cada uno igualdad con distributividad:

$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24 = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$

Moraleja: dividir a la mitad la izquierda y duplicar la derecha mantiene la producto — pero cuando el número de la izquierda es extraño, uno copia del número correcto se separa y debe ser depositada. ¿Qué número corresponde a la primera fila de la tabla?
Continúe la contabilidad en la tabla: $6 \times 48 = 3 \times 96$ , entonces $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ , entonces $1 \times 192 = 192$ . Recoger todo lo que estaba bancarizado en el camino, y explique por qué los números depositados son exactamente los números de la columna derecha de las filas con un extraño izquierda — las filas que mantiene la receta.

Parte III — Under the hood: sumas of doublings.

En la pregunta 6, las filas supervivientes valían $1$ , $4$ y $8$ duplicaciones de $24$ : el método escribió silenciosamente $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ . comprueba eso $1 + 4 + 8 = 13$ , y encuentre qué duplicaciones ( $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ) el método mantenido para $21$ en la pregunta 7.
Escriba $25$ y $42$ como sumas de los números de la duplicación. list $1, 2, 4, 8, 16, 32$ , usando cada uno como máximo una vez.
Explique por qué cada se puede escribir un número entero. de esta manera: tome el número de duplicación más grande que encaje, restar, repetir — ¿por qué esto debe detenerse? Escribe $100$ como tal suma.
Los escribas de Egipto hicieron exactamente esto, cuatro mil Hace años: para multiplicar $19 \times 35$ , hicieron un tabla de duplicación de $35$ ( $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ ), seleccionó las filas sumando $19$ , y resumido. Haz el cálculo manera.
Finale: computadoras modernas, que cuentan con $0$ y $1$ s, multiplica esencialmente como los escribas — por duplicaciones y adiciones. ¿Cuáles tres adiciones ¿Marca de computadora para $13 \times 24$ ? (¿Por qué cada número se divide en duplicaciones y qué tienen que hacer $0$ y $1$ Con ello, está el problema del fin de semana del capítulo de Powers: Problema 56.1.)

Solución

Solución de Problema 45.1.

1. $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 = 714$ ; $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$ .

2. $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) = 17 \times 20 = 340$ ; $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101 - 1) = 45 \times 100 = 4\,500$ .

3. $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$ . Legitimación: $5 = 10 \div 2$ , por lo que multiplicar por $5$ es multiplicar por $10$ luego dividir por $2$ (el orden de $\times$ y $\div$ en el mismo nivel, de izquierda a derecha, hace el resto).

4. $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$ , porque $25 = 100 \div 4$ . y $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$ : distributividad sobre el diferencia (Teorema 45.6).

5. $8 \times (5 + 3) = 64$ y $8 \times 5 + 8 \times 3 = 40 + 24 = 64$ : coinciden — eso es distributividad. pero $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$ , mientras $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$ : no partido. El factor se extiende sobre el terms of a suma, no sobre los factores de un producto.

$13$	$24$	kept ( $13$ extraño)
$6$	$48$	crossed out ( $6$ incluso)
$3$	$96$	kept
$1$	$192$	kept

Suma de los números correctos supervivientes: $24 + 96 + 192 = 312$ , y de hecho $13 \times 24 = 312$ .

7. Reducir a la mitad $21$ : $21, 10, 5, 2, 1$ ; duplicando $17$ : $17, 34, 68, 136, 272$ . Incluso izquierdas $10$ y $2$ están tachadas; supervivientes $17 + 68 + 272 = 357$ . Comprobar: $21 \times 17 = 357$ .

8. Reducir a la mitad $16$ : $16, 8, 4, 2, 1$ ; duplicando $25$ : $25, 50, 100, 200, 400$ . Todos los números restantes excepto el $1$ final es incluso: sobrevive una sola fila y la respuesta es $400$ . una izquierda columna hecha de duplicaciones puras mantiene sólo su última fila — la El método se reduce a duplicar solo.

9. $13 = 12 + 1$ , entonces por distributividad $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$ ; y $12 \times 24 = 6 \times 48$ desde que se redujo a la mitad un factor mientras duplicar el otro deja un producto sin cambios ( $12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$ ). El extraño El número de la izquierda $13$ dividió una copia del número de la derecha: el bancos de primera fila $24$ .

10. $6 \times 48 = 3 \times 96$ (mitad-doble, no bancario: $6$ es incluso). $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 = 1 \times 192 + 96$ : los bancos extraño $3$ $96$ . Finalmente $1 \times 192 = 192$ : los bancos extraño $1$ $192$ y la tabla termina. Total bancarizado: $24 + 96 + 192 = 312$ . Una fila inclina su número derecho exactamente cuando su número izquierdo es extraño — entonces el La receta "mantener las filas impares a la izquierda y agregar" es precisamente la contabilidad de distributividad.

11. $1 + 4 + 8 = 13$ . Para $21$ , las filas supervivientes fueron los de $17$ , $68 = 4 \times 17$ y $272 = 16 \times 17$ : el duplicaciones $1 + 4 + 16 = 21$ .

12. $25 = 16 + 8 + 1$ y $42 = 32 + 8 + 2$ .

13. Tome el mayor número de duplicación que no exceda el apuntar y restar; lo que queda es cada vez más pequeño que el número de duplicación que acabamos de usar (de lo contrario, uno mayor hubiera encajado). Repitiendo, el resto se encoge estrictamente y debe llegar a $0$ : el proceso se detiene y las duplicaciones utilizadas son todos diferentes. Para $100$ : $64$ se adapta ( $36$ izquierda), $32$ se adapta ( $4$ izquierda), $4$ encaja ( $0$ izquierda): $100 = 64 + 32 + 4$ .

14. Tabla de duplicación de $35$ : $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ . desde $19 = 16 + 2 + 1$ , elige esas filas: $560 + 70 + 35 = 665$ . Verificar: $19 \times 35 = 665$ .

15. Los mismos tres que el escriba y el campesino: $24 + 96 + 192$ — las duplicaciones de $24$ seleccionadas por $13 = 1 + 4 + 8$ . Escribir números como sumas de duplicaciones es escribiéndolos exactamente con $0$ s y $1$ s; se cuenta la historia completa en Problema 56.1.