Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

27Simetría

Mariposas, caras, copos de nieve: a la naturaleza le encantan las figuras cuyas dos mitades coincide cuando está plegado. Este capítulo explora la simetría con pliegues y cuadrículas. papel — construcciones con la escuadra esperan Capítulo 42.

27.1 Plegado y combinación

Definición 27.1 (Eje de simetria)

Una línea es un eje de simetría de un figura al doblar la figura a lo largo de esa línea se forman las dos mitades coincide con exactamente. Una figura puede no tener eje, tener un solo eje o varios.

Doblar por la línea discontinua: las mitades coinciden. el ultimo el triángulo no tiene ningún pliegue que funcione — no eje de simetría.

Ejemplo 27.2 (Prueba con papel de calco)

Traza la figura, voltea el papel de calco a lo largo del candidato. eje, y recuéstelo: si el calco cubre exactamente la figura, el El eje es genuino. Sólo los ojos se dejan engañar a menudo: un rectángulo diagonal aspecto como un eje, pero la prueba de plegado dice que no (intente ¡eso!).

27.2 Completar figuras en una cuadrícula

Método 27.3 (Simétrica de una figura a través de una línea de cuadrícula)

El eje es una línea vertical (u horizontal) de la cuadrícula.

Tome cada vértice de la figura por turno;
cuenta su distancia al eje en cuadrados;
coloque la imagen vértice a la distancia mismo en el otro lado, en la misma fila (o columna);
une la imagen vértices en el mismo orden y verifica: el La imagen es el espejo gemelo de la figura.

Completando a través del eje rojo: cada vértice salta al mismo distancia al otro lado. Vértices tocando el eje se quedaría poner.

Ejemplo 27.4 (Misma forma, mismo tamaño, volteado)

La imagen tiene exactamente las mismas longitudes y los mismos ángulos que la original: la simetría copia la figura — pero la voltea, como un mano izquierda y una mano derecha. Si la letra original es F, su espejo La imagen es una F al revés, no otra F.

27.3 Ejes de las formas habituales.

Ejemplo 27.5 (Contador de ejes)

Al doblar:

un cuadrado: $4$ ejes (dos por el medio de ejes opuestos lados, dos a lo largo de las diagonales);
un rectángulo: $2$ ejes (¡solo el centro de los lados opuestos!);
un triángulo isósceles: $1$ ; un triángulo equilátero: $3$ ;
un círculo: cada línea que pasa por su centro — más ejes que uno puede contar.

Ejemplo 27.6 (Simetría en el alfabeto)

A, M, T, U, V tienen un eje vertical; B, C, D, E tienen una dirección horizontal. uno; H, I, O, X tienen ambos. Las palabras formadas con las letras correctas pueden ser simétrico también: MUM tiene un eje vertical; OXO funciona en ambos sentidos.

27.4 Ceremonias

Ejercicio 27.1 ★

Trazar y doblar: ¿cuáles de estos tienen un eje de simetría — a cuadrado; un rectángulo (no cuadrado); un triángulo escaleno (todos los lados diferente); un circulo?

Solución

Solución de Ejercicio 27.1.

Cuadrado: sí (ejes $4$ ). Rectángulo: sí ( $2$ ). Triángulo escaleno: no el pliegue funciona. Círculo: sí — cualquier línea que pase por el centro.

Ejercicio 27.2 ★

Dibuja los ejes de simetría de: un cuadrado; un rectángulo; un equilátero triángulo. ¿Cuantos para cada uno?

Solución

Solución de Ejercicio 27.2.

Cuadrado: $4$ (dos líneas medias, dos diagonales). Rectángulo: $2$ (el líneas medias solamente). Triángulo equilátero: $3$ (uno por cada vértice).

Ejercicio 27.3 ★

Utilice la prueba de papel de calco de Ejemplo 27.2 para mostrar que la diagonal de un rectángulo $6 \times 4$ es no y eje de simetria.

Solución

Solución de Ejercicio 27.3.

Doblando a lo largo de la diagonal, las dos mitades triangulares tienen el mismo forma pero no se acuestan uno encima del otro — uno "se vuelve equivocado" way”: el calco aterriza al lado de la figura, no sobre ella. Entonces el la diagonal no es un eje.

Ejercicio 27.4 ★

En papel cuadriculado, dibuja un eje vertical y la letra L (tres cuadrados de alto, dos de ancho) en $2$ cuadrados desde el eje. Construye su espejo imagen.

Solución

Solución de Ejercicio 27.4.

La imagen L tiene $2$ cuadrados en el lado otro del eje, escrito al revés (un espejo L), mismos tamaños.

Ejercicio 27.5 ★

En papel cuadriculado, dibuja un eje horizontal y una pequeña bandera (un triángulo $1 \times 1$ en un mástil cuadrado $3$ ) encima. Completa la figura con simetría debajo del eje.

Solución

Solución de Ejercicio 27.5.

La figura completa muestra la bandera y su reflejo al revés. debajo del eje, mástil debajo del mástil.

Ejercicio 27.6 ★

Una figura toca su eje de simetría en un punto $P$ . donde esta el imagen de $P$ ? Explica con el dibujo plegable.

Solución

Solución de Ejercicio 27.6.

$P$ no se mueve: al plegar a lo largo del eje se abandonan todos los puntos on el eje exactamente donde está — $P$ es su propia imagen.

Ejercicio 27.7 ★

Ordenar las letras mayúsculas A, B, E, F, H, N, O, T: ¿eje vertical? eje horizontal? ¿ambos? ¿ni?

Solución

Solución de Ejercicio 27.7.

Eje vertical: A, H, O, T. Eje horizontal: B, E, H, O. Ambos: H, O. Ninguno: F, N.

Ejercicio 27.8 ★

Un triángulo tiene lados $5$ cm, $5$ cm y $3$ cm. ¿Tiene un eje de simetría? ¿Qué lados intercambia el pliegue?

Solución

Solución de Ejercicio 27.8.

Sí: el triángulo es isósceles y su eje pasa por la punta. entre los dos lados de $5$ cm y el centro de la base de $3$ cm. el doblar intercambia los dos lados iguales.

Ejercicio 27.9 ★★

En papel cuadriculado, dibuja una figura propia que tenga exactamente dos ejes de simetría y dibuja ambos ejes. (Pista: piensa en un rectángulo, o de una cruz.)

Solución

Solución de Ejercicio 27.9.

Cualquier figura con exactamente dos ejes funciona: un rectángulo (no cuadrado), un signo más con brazos de dos longitudes diferentes (largo horizontal, corto vertical), un óvalo. Los dos ejes siempre se cruzan en el centro de la figura.

Ejercicio 27.10 ★★

Se da Medio de un dibujo simétrico: el medio izquierdo de una casa (una pared cuadrada y medio un techo triangular), con un eje vertical a lo largo de su borde derecho. Describe o dibuja la casa completa. ¿Cómo ¿Las longitudes del medio derecho completo se comparan con las del medio izquierdo?

Solución

Solución de Ejercicio 27.10.

La casa completa es la izquierda medio más su espejo gemelo: una pared dos veces más ancho que la media pared, bajo un techo triangular completo. cada la longitud de la derecha es igual a su pareja de la izquierda — simetría copia las longitudes exactamente.

Ejercicio 27.11 ★★

Aya afirma: "cada triángulo con dos lados iguales tiene un eje de simetría, y cada triángulo con un eje de simetría tiene dos lados iguales". lados.” Pruebe su doble afirmación en los dibujos: un triángulo isósceles, uno equilátero, uno escaleno. ¿El plegado la sostiene?

Solución

Solución de Ejercicio 27.11.

Los dibujos apoyan ambas direcciones: el triángulo isósceles se pliega a lo largo de la línea que pasa por su punta (dos lados iguales del eje $\to$ ); el el equilátero se pliega en tres sentidos; el escaleno no tiene eje (no lados iguales $\to$ sin eje). La doble afirmación de Aya es correcta: lo hará. probarse en Capítulo 42.