Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

22Multiplicar números más grandes

Grado 3 multiplicado por un dígito (Capítulo 16); este capitulo multiplica por números de dos dígitos — y explica el misterioso “línea desplazada” del método de la columna, que no es más que una dividir en decenas y unidades.

22.1 Multiplicar por decenas

Proposición 22.1 (Veces 10, 20, 300 …)

Al multiplicar por $10$ se agrega un cero, por $100$ dos ceros. multiplicar por $20$ , multiplicar por $2$ , luego por $10$ :

36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 .

Asimismo $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

22.2 El método de la columna con dos dígitos.

Ejemplo 22.2 (¿Por qué la línea desplazada?)

Para calcular $23 \times 12$ , divida $12$ en $10 + 2$ :

23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 .

El método de la columna escribe exactamente estos dos productos, uno debajo del otro — el segundo se desplazó hacia la izquierda porque es un número de decenas:

\begin{array}{r} 2\,3 \\ \times\ 1\,2 \\ \hline 4\,6 \\ 2\,3\,\cdot \\ \hline 2\,7\,6 \end{array}

(el punto marca el lugar de las unidades de la línea desplazada, a menudo hacia la izquierda en blanco).

La imagen rectangular de 23 × 12: cuatro productos fáciles, 200 + 40 + 30 + 6 = 276. El método de la columna los agrupa en dos líneas: 46 (la fila “× 2”) y 230 (la fila “× 10” fila). — La imagen rectangular de $23 \times 12$ : cuatro productos fáciles, $200 + 40 + 30 + 6 = 276$ . El método de la columna los agrupa en dos líneas: $46$ (la fila “ $\times 2$ ”) y $230$ (la fila “ $\times 10$ ” fila).

Método 22.3 (Multiplicación de columna por un número de dos dígitos)

Para calcular $457 \times 36$ :

primera línea: $457 \times 6 = 2\,742$ ;
segunda línea: $457 \times 3$ decenas $= 1\,371$ decenas — escriba $1\,371$ desplazado un lugar a la izquierda;
agregue las dos líneas: $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ;
estimación a comprobar: $457 \times 36 \approx 500 \times 36 = 18\,000$ ? Mejor: $450 \times 36$ se trata de $16\,000$ — plausible.

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ \times\ \ \,3\,6 \\ \hline 2\,7\,4\,2 \\ 1\,3\,7\,1\,\cdot \\ \hline 1\,6\,4\,5\,2 \end{array}

Ejemplo 22.4 (trucos mentales)

Dividir el camino amistoso: $18 \times 11 = 18 \times 10 + 18 = 198$ .
Utilice casi cien: $25 \times 99 = 25 \times 100 - 25 = 2\,475$ .
Duplicar y reducir a la mitad: $16 \times 35 = 8 \times 70 = 560$ (reducir a la mitad un factor y duplicar el otro mantiene el producto).

22.3 Multiplicación en problemas

Ejemplo 22.5

Una escuela pide $28$ cajas de $145$ hojas de papel.

Operación: $145 \times 28$ .
Estimación: $150 \times 30 = 4\,500$ , demasiado en ambos cuenta.
Columnas: $145 \times 8 = 1\,160$ ; $145 \times 2$ decenas $= 2\,900$ ; total $4\,060$ .
Sentencia: el colegio recibe hojas $4\,060$ .

22.4 Ceremonias

Ejercicio 22.1 ★

Calcular mentalmente: $47 \times 10$ ; $23 \times 100$ ; $36 \times 20$ ; $15 \times 300$ ; $42 \times 50$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

$470$ ; $2\,300$ ; $720$ ; $4\,500$ ; $2\,100$ .

Ejercicio 22.2 ★

Calcule $34 \times 21$ dividiendo como en Ejemplo 22.2 ( $34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$ ), luego verifique las columnas.

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

$34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$ ; las columnas dé las mismas líneas: $34$ y $680$ .

Ejercicio 22.3 ★

Calcular en columnas: $63 \times 24$ ; $85 \times 47$ ; $126 \times 53$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

$63 \times 24 = 1\,512$ ; $85 \times 47 = 3\,995$ ; $126 \times 53 = 6\,678$ .

Ejercicio 22.4 ★

Calcule en columnas, con una estimación primero: $208 \times 34$ ; $517 \times 62$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

$208 \times 34$ : estimación $200 \times 34 = 6\,800$ ; exactamente $7\,072$ .

$517 \times 62$ : estimación $500 \times 60 = 30\,000$ ; exactamente $32\,054$ .

Ejercicio 22.5 ★

Calcula con un truco de Ejemplo 22.4: $45 \times 11$ ; $32 \times 99$ ; $24 \times 45$ (doble y reducir a la mitad — dos veces si lo desea).

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

$45 \times 11 = 450 + 45 = 495$ .

$32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$ .

$24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (o una vez más: $6 \times 180 = 1\,080$ ).

Ejercicio 22.6 ★

Un cine tiene $26$ filas de $18$ asientos. ¿Cuantos asientos en total?

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

$26 \times 18 = 468$ asientos.

Ejercicio 22.7 ★

Un camión transporta paletas $32$ de cajas $48$ . ¿Cuántas cajas? dar Primero una estimación y luego la respuesta exacta.

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

Estimación: $30 \times 50 = 1\,500$ . Exactamente: $32 \times 48 = 1\,536$ cajas.

Ejercicio 22.8 ★

Encuentra el error: Ana calcula $57 \times 23$ como $57 \times 3 = 171$ y $57 \times 2 = 114$ , luego agrega $171 + 114 = 285$ . La respuesta correcta es $1\,311$ . ¿Qué hizo ella? olvidar?

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

Se le olvidó que el $2$ de $23$ cuenta decenas: la segunda línea debe ser $57 \times 20 = 1\,140$ , no $114$ . Total correcto: $171 + 1\,140 = 1\,311$ .

Ejercicio 22.9 ★★

Un jardinero planta $14$ hileras de tulipanes $35$ y $12$ hileras de $28$ narcisos. ¿Cuántas flores en total? (Dos productos, luego un suma).

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

Tulipanes: $14 \times 35 = 490$ . Narcisos: $12 \times 28 = 336$ . Total: $490 + 336 = 826$ flores.

Ejercicio 22.10 ★★

Cada día una panadería utiliza $67$ kg de harina. aproximadamente cuanta harina es que en un mes de $30$ días — estimación con números redondeados, entonces calcular exactamente.

Solución

Solución de Ejercicio 22.10.

Estimado: $70 \times 30 = 2\,100$ kg. Exactamente: $67 \times 30 = 2\,010$ kilos.

Ejercicio 22.11 ★★

Explica, con un dibujo rectangular como el de este capítulo, por qué $15 \times 12$ se puede calcular como $15 \times 10 + 15 \times 2$ . Luego invente otra división de $15 \times 12$ que también funcione.

Solución

Solución de Ejercicio 22.11.

Un rectángulo $15 \times 12$ de cuadrados unitarios se puede cortar mediante una línea vertical. línea en una parte $15 \times 10$ y una parte $15 \times 2$ : contando cada parte da $150 + 30 = 180$ . Otro corte funciona igual de bien, por ejemplo $15 = 10 + 5$ : $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$ . Cualquier forma de cortar el rectángulo deja el número total de cuadrados sin cambios.