Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

68Teorema de Tales

¿Cómo se mide la altura de un pirámide sin subirlo? Tales Mileto comparó su sombra con la sombra de un palo. Su teorema — lineas paralelas corta segmentos en pedazos proporcional — es el corazón matemático de modelos, mapas y ampliaciones escala, y uno de Los teoremas más antiguos con nombre.

68.1 el teorema

Teorema 68.1 (Cuentos)

Dejemos que dos líneas se crucen en un punto $A$ . Tome $M$ en la primera línea y $N$ en el segundo, con $B$ más adelante en el primero y $C$ más adelante el segundo. Si las líneas $(MN)$ y $(BC)$ son paralelo, entonces el Los triángulos $AMN$ y $ABC$ tienen lados proporcional:

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Las dos configuraciones de Thales: triángulos anidados (izquierda) y el “mariposa”, donde M y N se encuentran al otro lado de A (derecha). En ambos, (MN) (BC) y las tres proporciones son iguales. — Las dos configuraciones de Thales: triángulos anidados (izquierda) y el “mariposa”, donde $M$ y $N$ se encuentran al otro lado de $A$ (derecha). En ambos, $(MN) \parallel (BC)$ y las tres proporciones son iguales.

Método 68.2 (Calculando una longitud con Tales)

Identifica el punto $A$ donde se cruzan las dos líneas y las dos lineas paralelas; nombra los dos triángulos;
escribe las tres razones iguales, siempre “triángulo pequeño sobre grande triángulo”;
mantener la igualdad de las dos razones que involucran a los tres conocidos longitudes y la desconocida;
resuelve la proporción resultante mediante multiplicación cruzada.

Ejemplo 68.3

En la configuración izquierda arriba, supongamos $AM = 3$ , $AB = 5$ , $AN = 2.4$ . y $MN = 3.3$ , y calculemos $AC$ y $BC$ . Tales da

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}, \qquad\text{i.e.}\qquad \frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.

De $\frac35 = \frac{2.4}{AC}$ , multiplicación cruzada: $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$ , entonces $AC = 4$ . De $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$ : $3 \times BC = 16.5$ , entonces $BC = 5.5$ .

Ejemplo 68.4 (Cuentos de la vida real)

Un palo vertical de altura $1$ m proyecta una sombra de $1.5$ m, mientras que un árbol proyecta una sombra de $12$ m al mismo tiempo. Los rayos del sol son paralelo, entonces los triángulos del palo y la sombra y del árbol y la sombra están en Tales configuración:

\frac{\text{height of tree}}{1} = \frac{12}{1.5}, \qquad\text{so the tree is } 8 \text{ m tall.}

68.2 lo contrario

Teorema 68.5 (Conversación de cuentos)

Con los puntos colocados como en Teorema 68.1 ( $M$ en $(AB)$ , $N$ en $(AC)$ , en el mismo orden en ambas líneas): si

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},

entonces las líneas $(MN)$ y $(BC)$ son paralelo.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 68.6 (Probar o refutar el paralelismo)

Calcule por separado las dos relaciones $\dfrac{AM}{AB}$ y $\dfrac{AN}{AC}$ (como fracciones, no redondeos);
si son iguales y los puntos están en el mismo orden en las dos líneas, las líneas son paralelo (conversa de Tales);
si difieren, las líneas son no paralelo — porque si Si lo fueran, el teorema de Tales obligaría a que las proporciones fueran iguales.

Ejemplo 68.7

En la línea 1, $AM = 4$ y $AB = 10$ ; en la línea 2, $AN = 6$ y $AC = 15$ . entonces

\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25, \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :

proporciones iguales, mismo orden: $(MN) \parallel (BC)$ .

Con $AC = 14$ en su lugar: $\frac{6}{14} = \frac37 \neq \frac25$ , entonces el Las líneas no son paralelo.

68.3 Ampliación y reducción

Definición 68.8 (escalando una figura)

Ampliar o reducir una cifra en escala factor $k > 0$ significa multiplicar todo por su longitudes por $k$ : un ampliación cuando $k > 1$ , un reducción cuando $k < 1$ . En la configuración de Tales, el triángulo $AMN$ es el reducción de $ABC$ por el factor $k = \frac{AM}{AB}$ .

Proposición 68.9 (Efecto en ángulos y áreas)

La escala por el factor $k$ preserva los ángulos y la forma de las figuras, multiplica cada longitud por $k$ y multiplica cada área por $k^2$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Duplicar las longitudes (k = 2) multiplica el área por k2 = 4: cuatro copias del rectángulo pequeño en mosaico del grande. — Duplicar las longitudes ( $k = 2$ ) multiplica el área por $k^2 = 4$ : cuatro copias del rectángulo pequeño en mosaico del grande.

Ejemplo 68.10

Una foto de $10 \times 15$ cm está ampliada con factor de escala $k = 3$ : la medidas de impresión $30 \times 45$ cm. Su área va desde $150$ cm $^2$ a $150 \times 9 = 1350$ cm $^2$ — $9$ veces más grande, no $3$ .

68.4 Ceremonias

Ejercicio 68.1 ★

Las líneas $(MN)$ y $(BC)$ son paralelo, con $M$ en $[AB]$ y $N$ en $[AC]$ ; $AM = 2$ , $AB = 6$ , $AN = 3$ , $BC = 9$ . Calcule $AC$ y $MN$ .

Solución

Solución de Ejercicio 68.1.

Tales: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , es decir $\dfrac26 = \dfrac13$ . Entonces $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ da $AC = 9$ , y $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ da $MN = 3$ .

Ejercicio 68.2 ★

Misma configuración: $AM = 5$ , $MB = 3$ (cuidado: $MB$ , no $AB$ !), $AN = 4$ . Calcule $AC$ .

Solución

Solución de Ejercicio 68.2.

Primero busque $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$ . entonces $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ da $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$ , entonces $5 \times AC = 32$ y $AC = 6.4$ .

Ejercicio 68.3 ★

En una configuración de mariposa, $A$ está entre $M$ y $B$ y entre $N$ y $C$ , con $(MN) \parallel (BC)$ ; $AM = 3$ , $AB = 7.5$ , $AN = 2$ , $MN = 2.6$ . Calcule $AC$ y $BC$ .

Solución

Solución de Ejercicio 68.3.

La mariposa funciona exactamente igual que la configuración anidada: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , es decir $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$ . Entonces $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ da $AC = 5$ y $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ dan $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$ .

Ejercicio 68.4 ★

$M$ está en $[AB]$ con $AM = 6$ , $AB = 8$ ; $N$ está en $[AC]$ con $AN = 9$ , $AC = 12$ . ¿Las líneas $(MN)$ y $(BC)$ son paralelo?

Solución

Solución de Ejercicio 68.4.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ y $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$ : proporciones iguales, puntos en el mismo orden, entonces $(MN) \parallel (BC)$ por el inverso de Tales.

Ejercicio 68.5 ★★

Igual que arriba con $AM = 4$ , $AB = 6$ , $AN = 5$ , $AC = 8$ . Son $(MN)$ y $(BC)$ paralelo? Justifique cuidadosamente.

Solución

Solución de Ejercicio 68.5.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ y $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$ . Verificación cruzada: $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ y $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$ : las proporciones difieren. Si las líneas fueran paralelo, el teorema de Tales los obligaría a ser iguales — entonces $(MN)$ y $(BC)$ son no paralelo.

Ejercicio 68.6 ★★

Una persona de $1.8$ m de altura se encuentra a $2$ m de distancia de la base de una farola; su sombra mide $3$ m. Dibuja la configuración de Tales formada por lámpara, la persona y la punta de la sombra, y calcular la altura de la lámpara.

Solución

Solución de Ejercicio 68.6.

Sea $S$ la punta de la sombra, $P$ la parte superior de la cabeza de la persona, $L$ la parte superior de la lámpara. La persona ( $1.8$ m a la distancia $3$ m de $S$ ) y la lámpara (altura $h$ a distancia $3 + 2 = 5$ m de $S$ ) son dos paralelo vertical segmentos cortado por el rayo de luz $(SL)$ : Tales del punto $S$ da

\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5}, \qquad\text{so}\quad h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ m}.

Ejercicio 68.7 ★★

Un mapa tiene escala $1 : 25\,000$ (las longitudes en el mapa son las longitudes reales multiplicado por $k = \frac{1}{25000}$ ).

Dos pueblos están separados por $6.8$ cm en el mapa. ¿Qué es lo real? distancia, en km?
Un bosque tiene un área de $8$ cm $^2$ en el mapa. cual es su verdadera área, en km $^2$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 68.7.

1. Distancia real: $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ cm $= 1.7$ km.

2. Áreas escala por $k^2$ : área real $= 8 \times 25\,000^2$ cm $^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ cm $^2$ $= 5 \times 10^9$ cm $^2$ . Desde $1$ km $^2 = 10^{10}$ cm $^2$ , es decir $0.5$ km $^2$ .

Ejercicio 68.8 ★★

El triángulo $ABC$ tiene $AB = 12$ , $AC = 15$ , $BC = 18$ . El punto $M$ en $[AB]$ satisface $AM = 8$ , y la línea que pasa por $M$ de paralelo a $(BC)$ corta $[AC]$ en $N$ .

Calcula $AN$ y $MN$ .
¿Qué es el factor de escala de $ABC$ a $AMN$ ? comparar el perímetros de los dos triángulos.

Solución

Solución de Ejercicio 68.8.

1. La relación es $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ . Tales: $AN = \frac23 \times 15 = 10$ y $MN = \frac23 \times 18 = 12$ .

2. El factor de escala es $k = \frac23$ . Perímetros: $ABC$ tiene $12 + 15 + 18 = 45$ y $AMN$ tiene $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times 45$ : el perímetro también aumenta en $k$ , como cualquier longitud.

Ejercicio 68.9 ★★★

Sea $ABCD$ un trapezoide con $(AB) \parallel (CD)$ , $AB = 4$ y $CD = 6$ , cuyas diagonales $[AC]$ y $[BD]$ se encuentran en $O$ . Utilizando Thales en la configuración mariposa alrededor de $O$ , calcule el relación $\dfrac{OA}{OC}$ , y demuestre que $O$ corta ambas diagonales en la misma proporción.

Solución

Solución de Ejercicio 68.9.

Alrededor de $O$ , las líneas $(AC)$ y $(BD)$ se cruzan, y $(AB) \parallel (CD)$ : configuración mariposa con los triángulos $OAB$ y $OCD$ . Tales da

\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .

Entonces $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$ , y la igualdad $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ dice precisamente que $O$ corta los dos diagonales en la misma proporción.

68.5 Problema: La regla sin marcar, la cámara estenopeica y el tres medios de un trapezoide

Problema 68.1

Problema de fin de semana — Tales en el trabajo: dividir cualquier segmento en partes iguales, midiendo el Sol con una caja de zapatos y un trapezoide donde se encuentran los tres medios famosos

El teorema de Tales es la matemática de rayos: rayos de sol, rayos de luz a través de un orificio, rayos de lápiz de un vértice. esto El problema lo utiliza de tres maneras: como herramienta de construcción (dividiendo un segmento de longitud cualquier, incluso $\sqrt2$ , en perfectamente iguales partes), como instrumento de medida (el diámetro del Sol, con una caja de zapatos y una moneda), y como lupa en el trapezoide de Ejercicio 68.9, donde las operaciones aritméticas, geométricas y Los medios armónicos de esta serie aparecen todos en una sola figura.

Parte I — Dividing with an unmarked ruler.

Dibujar un segmento $[AB]$ de $7$ cm. Para cortarlo en tres partes iguales con compás y regla sin marcar: dibuja cualquier rayo desde $A$ (no hasta $B$ ); bajarse de tres compases iguales longitudes en él, dando puntos $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ ; unirse $P_3$ a $B$ ; dibuje el paralelas al $(P_3 B)$ a través $P_1$ y $P_2$ . Realizar la construcción y marcar donde el corte paralelas $[AB]$ .
Justifica con Teorema 68.1 que los dos Los puntos marcados cortan $[AB]$ exactamente en su tercer punto.
Adapte el método para dividir un segmento en $5$ igual partes, luego construir $\frac35$ de un segmento determinado.
Construya el punto $M$ de $[AB]$ con $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (es decir, $M$ en $\frac25$ de el camino desde $A$ ). ¿Cuántos pasos iguales en el rayo, y ¿Qué punto se une a $B$ ?
¿Por qué esta construcción es mejor que medir con un regla graduada? Considere un segmento de longitud $\sqrt2$ (la diagonal de un cuadrado unitario, irracional por Problema 65.1): qué daría la medición, y ¿Qué da Tales?

Parte II — The pinhole camera. Introduzca un alfiler a través de un rostro de un caja cerrado: en el lado opuesto rostro, aparece una imagen del mundo al revés. un punto de un objeto, el orificio y el punto de la imagen están alineados — luz viaja recto — entonces el objeto (altura $H$ , a distancia $D$ delante del agujero) y su imagen (altura $h$ , en la parte posterior pared en profundidad $d$ detrás del agujero) sentarse en la mariposa configuración de Tales.

Deducir la fórmula estenopeica $h = H \times \frac dD$ de Tales en la mariposa alrededor del agujero.
Un árbol de $12$ m se alza $30$ m desde una caja de zapatos de profundidad $20$ cm. ¿Qué altura tiene su imagen y hacia dónde se eleva?
Apunte el caja al Sol: a $d = 1$ m detrás del agujero estenopeico, la imagen del Sol es un disco de diámetro de aproximadamente $9$ mm. Dada la distancia del Sol $D = 1.5 \times 10^{11}$ m, calcule su diámetro en notación científica (Problema 63.1’s notación en el trabajo). Comparar con el valor real, $1.39 \times 10^9$ m.
La Luna: diámetro $3.5 \times 10^6$ m, distancia $3.8 \times 10^8$ m. Calcular la razón $\frac{\text{diameter}}{\text{distance}}$ para la Luna y para el sol. ¿Qué afortunada coincidencia tienen los dos? Los números revelan — ¿y qué evento espectacular lo revela? hacer posible?
En una o dos frases: ¿por qué aparece la imagen estenopeica? boca abajo, y ¿por qué al agrandar el orificio se hace que el ¿Imagen más brillante pero más borrosa?

Parte III — The trapezoid of the three means. $ABCD$ es el trapezoide de Ejercicio 68.9: $(AB) \parallel (CD)$ , $AB = 4$ , $CD = 6$ , diagonales que se cruzan en $O$ con $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} = \frac23$ .

Práctica de mariposa: dos líneas se cruzan en $O$ con $(MN) \parallel (PQ)$ en posición mariposa; $OM = 3$ , $OP = 7.5$ , $MN = 4$ y $OQ = 6$ . Calcular $PQ$ y $ON$ .
Explique cómo Tales, aplicado con la proporción $\frac12$ , contiene el teorema del punto medio de Teorema 59.1 como su caso especial.
Dibuja el paralelo a las bases hasta $O$ ; se encuentra $[AD]$ en $E$ . Trabajando en el triángulo $ACD$ (nota $\frac{AO}{AC} = \frac25$ ), calcule $EO$ .
Por el cálculo del espejo en el triángulo $BDC$ , el la pieza $OF$ (con $F$ en $[BC]$ ) tiene la misma longitud. Concluir que

$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$

el paralelo a través del cruce diagonal mide el media armónica de las bases — el ida y vuelta media de Problema 61.1, reapareciendo en estado puro geometría.
El gran final: calcular las tres medias clásicas de las bases $4$ y $6$ — aritmética $\frac{4+6}{2}$ , geométrico $\sqrt{4 \times 6}$ , armónico $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — y pídelos. Cada uno vive en el trapezoide: la media aritmética es la línea media que une los puntos medios de las piernas (Problema 53.1), el media armónica es tu segmento $EF$ , y el media geométrica es el paralelo que corta el trapezoide en dos similar trapecios (verifique su valor con una calculadora; el la prueba es un desafío adicional encantador). ¿Dónde tiene el La desigualdad entre los tres ha sido demostrada en este libro. (Problema 60.1, Problema 61.1)?

Solución

Solución de Problema 68.1.

1. La construcción produce dos puntos en $[AB]$ ; llámelos $M_1$ (de $P_1$ ) y $M_2$ (de $P_2$ ).

2. En el triángulo $A P_3 B$ , las paralelas a $(P_3 B)$ a $P_1$ y $P_2$ cortan los lados proporcionalmente (Teorema 68.1):

\frac{A M_1}{AB} = \frac{A P_1}{A P_3} = \frac13, \qquad \frac{A M_2}{AB} = \frac{A P_2}{A P_3} = \frac23 .

La brújula igualó a $A P_1$ , $P_1 P_2$ , $P_2 P_3$ , por lo que el las proporciones son exactamente tercios, sea cual sea el ángulo del rayo y la apertura del compás elegida.

3. Para quintas: baje cinco longitudes iguales, únase a la quinto punto a $B$ , y trazar cuatro paralelos. Para $\frac35$ de un segmento: misma figura, y tomamos el punto cortado por la paralela hasta $P_3$ : se encuentra en $\frac{3}{5}$ de $[AB]$ de $A$ .

4. $\frac{AM}{MB} = \frac23$ significa $AM = \frac25 AB$ : cinco pasos iguales en el rayo, une $P_5$ a $B$ , y el paralelo hasta $P_2$ marca $M$ .

5. Mide $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ cm solo usos un número finito de decimales: cualquier "tercio" medido es un aproximación. La construcción de Tales nunca lee un número: entrega el punto exacto en $\frac{\sqrt2}{3}$ — partes iguales de un segmento ningún gobernante puede siquiera expresar (Problema 65.1).

6. La parte superior del objeto, el agujero y la parte inferior de la imagen. están alineados, y lo mismo para la parte inferior del objeto y el Parte superior de la imagen: dos líneas que se cruzan en el agujero, con el objeto y la pared de la imagen paralela. Tales en la mariposa:

\frac{h}{H} = \frac{d}{D}, \qquad\text{so}\qquad h = H \times \frac dD .

7. $h = 12 \times \frac{0.20}{30} = 0.08$ m $= 8$ cm — al revés (los rayos se cruzan en el agujero).

8. $H = h \times \frac Dd = 9 \times 10^{-3} \times \frac{1.5 \times 10^{11}}{1} = 1.35 \times 10^{9}$ m. Verdadero valor $1.39 \times 10^9$ m: una caja de zapatos mide el Sol en dentro de un pequeño porcentaje.

9. Luna: $\frac{3.5 \times 10^6}{3.8 \times 10^8} \approx 0.0092$ . Sol: $\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}} \approx 0.0093$ . Las dos proporciones — los tamaños aparentes en el cielo — son casi idénticos: la Luna puede tapar el Sol exactamente, borde a borde. Esa casualidad cósmica es el total eclipse solar.

10. Cada rayo debe pasar por un orificio, por lo que los rayos desde la parte superior del objeto continúa abajo y los rayos desde la parte inferior continúa up: la imagen está invertida. Ampliando el agujero deja pasar un montón de copias ligeramente desplazadas de la imagen, que se superponen: más brillantes, pero manchadas.

11. $\frac{PQ}{MN} = \frac{OP}{OM} = \frac{7.5}{3} = 2.5$ , entonces $PQ = 10$ ; y $\frac{ON}{OQ} = \frac{OM}{OP} = \frac{1}{2.5}$ , entonces $ON = \frac{6}{2.5} = 2.4$ .

12. Si el paralelo pasa por el punto medio de uno lado, la relación de Thales es $\frac12$ , por lo que corta el segundo lado en el punto medio es, y el segmento paralelo mide la mitad la base: precisamente Teorema 59.1. Tales es el teorema del punto medio liberado de la relación $\frac12$ .

13. En el triángulo $ACD$ , la recta $(EO)$ es paralela a la base $(CD)$ , con $\frac{AO}{AC} = \frac{OA}{OA + OC} = \frac{4}{4 + 6} = \frac25$ . Tales: $\frac{EO}{DC} = \frac{AO}{AC} = \frac25$ , entonces $EO = \frac25 \times 6 = 2.4$ .

14. En el triángulo $BDC$ , igualmente $\frac{BO}{BD} = \frac25$ y $OF = \frac25 \times 6 = 2.4$ . Por lo tanto

EF = EO + OF = 4.8 = \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} :

la media armónica de las bases — la media de los viajes de ida y vuelta (Problema 61.1), dibujado en forma de trapezoide.

15. Aritmética: $5$ ; geométrico: $\sqrt{24} \approx 4.90$ ; armónico: $4.8$ . Orden: $4.8 < 4.90\ldots < 5$ , es decir armónico $<$ geométrico $<$ aritmética — con igualdad solo para bases iguales. en el figura: la línea media mide $5$ , el paralelo a través del cruce diagonal $4.8$ , y el corte de similitud $\sqrt{24}$ , todos apilados entre las bases en ese orden. el Las desigualdades se demostraron en Problema 60.1 (geométrico $\leq$ aritmética, por círculo y por identidad) y Problema 61.1 (aritmética armónica $\leq$ ); armónico $\leq$ sigue la geometría combinándolos ( $H \times A = G^2$ , demostrado allí también).