Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

31Fracciones como números

Un fracción no es sólo la imagen de un pastel: es un auténtico número, con un lugar en la recta numérica — a veces el mismo mismo lugar que un número decimal. Este capítulo conecta los dos mundos. (Las reglas completas de la aritmética fracción vienen en Capítulo 39 y posteriores).

31.1 Fracciones en la recta, otra vez

Ejemplo 31.1 (Colocación y lectura)

En una línea cortada en quintas, $\frac{7}{5}$ es $7$ pasos de $0$ : pasado $1$ (que es $\frac55$ ), en $1 + \frac25$ . Cada fracción vive en algún lugar de la línea; numerador más grande (mismo denominador) significa más a la derecha.

Proposición 31.2 (Mismo punto, muchos nombres.)

Cortar cada pieza en dos (o tres …) no mueve el punto:

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10}, \qquad \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{20}{30}.

Multiplicando (o dividiendo) el numerador y el denominador por el El mismo número da otro nombre del mismo fracción.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Tres barras, tres nombres, una cantidad: 1/2 = 2/4 = 5/10. — Tres barras, tres nombres, una cantidad: $\frac12 = \frac24 = \frac{5}{10}$ .

31.2 fracciones y decimales

Proposición 31.3 (Fracciones con nombres decimales)

fracciones de décimas, centésimas, milésimas son decimal números:

\frac{3}{10} = 0.3, \qquad \frac{27}{100} = 0.27 .

Algunos otros fracciones también tienen nombres decimales, que se encuentran cambiando a décimas o centésimas:

\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0.25, \qquad \frac{3}{4} = 0.75, \qquad \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0.2 .

Pero no todo: $\frac13 = 0.333\dots$ nunca termina — el fracción es su único nombre exacto.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Una línea, dos idiomas: cada punto puede llevar un nombre fracción y un nombre decimal.

Ejemplo 31.4 (Elegir el nombre más práctico)

Para pagar tres cuarteles de $12$ : el nombre fracción es más práctico, $\frac34$ de $12$ es $9$ . Para comparar $\frac34$ y $0.8$ : el El nombre decimal es más práctico, $0.75 < 0.8$ . Ser bilingüe vale la pena.

31.3 Comparar fracciones

Método 31.5 (Tres herramientas de comparación)

Same denominador: más piezas ganan, $\frac57 > \frac37$ ;
same numerador: las piezas más grandes ganan, por lo que menor denominador gana: $\frac35 > \frac38$ (las quintas son más grandes de octavos);
puntos de referencia: compare cada uno con $\frac12$ o $1$ : $\frac38 < \frac12 < \frac59$ , entonces $\frac38 < \frac59$ .

Ejemplo 31.6

¿Quién comió más pizza: Ali con $\frac58$ o Bea con $\frac54$ ? bea fracción es más grande que $1$ (cinco cuarteles es más que un entero pizza), Ali’s es más pequeño que $1$ : Bea comió más — más de un pizza entera, de hecho.

31.4 Ceremonias

Ejercicio 31.1 ★

Dibuja una recta numérica cortada en quintas desde $0$ a $2$ y coloca: $\frac25$ ; $\frac55$ ; $\frac85$ ; $\frac{10}{5}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 31.1.

$\frac25$ : dos pasos de $0$ ; $\frac55$ : en $1$ ; $\frac85$ : tres pasa de $1$ ; $\frac{10}{5}$ : en $2$ .

Ejercicio 31.2 ★

Completa los nombres iguales: $\frac12 = \frac{?}{8}$ ; $\frac34 = \frac{?}{8}$ ; $\frac{2}{5} = \frac{4}{?}$ ; $\frac{6}{9} = \frac{2}{?}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 31.2.

$\frac12 = \frac48$ ; $\frac34 = \frac68$ ; $\frac25 = \frac{4}{10}$ ; $\frac69 = \frac23$ .

Ejercicio 31.3 ★

¿Qué fracciones nombra números enteros? Da el número entero cuando sea así: $\frac82$ ; $\frac{9}{4}$ ; $\frac{15}{3}$ ; $\frac{20}{5}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 31.3.

$\frac82 = 4$ ; $\frac94$ no es completo ( $9$ no es un múltiplo de $4$ ); $\frac{15}{3} = 5$ ; $\frac{20}{5} = 4$ .

Ejercicio 31.4 ★

Escribe como decimales: $\frac{7}{10}$ ; $\frac{41}{100}$ ; $\frac12$ ; $\frac34$ ; $\frac15$ .

Solución

Solución de Ejercicio 31.4.

$0.7$ ; $0.41$ ; $0.5$ ; $0.75$ ; $0.2$ .

Ejercicio 31.5 ★

Escribe como fracciones (décimas o centésimas): $0.9$ ; $0.13$ ; $2.5$ ; $0.75$ (luego proporcione su nombre cuarto).

Solución

Solución de Ejercicio 31.5.

$0.9 = \frac{9}{10}$ ; $0.13 = \frac{13}{100}$ ; $2.5 = \frac{25}{10}$ ; $0.75 = \frac{75}{100} = \frac34$ .

Ejercicio 31.6 ★

Comparar, nombrando la herramienta utilizada (Método 31.5):

\frac47 \;?\; \frac67, \qquad \frac35 \;?\; \frac37, \qquad \frac25 \;?\; \frac{7}{12}, \qquad \frac98 \;?\; \frac{11}{12} .

Solución

Solución de Ejercicio 31.6.

$\frac47 < \frac67$ (mismo denominador). $\frac35 > \frac37$ (igual numerador: los quintos son más grandes). $\frac25 < \frac12 < \frac{7}{12}$ , entonces $\frac25 < \frac{7}{12}$ (punto de referencia $\frac12$ ). $\frac98 > 1 > \frac{11}{12}$ (punto de referencia $1$ ).

Ejercicio 31.7 ★

Orden con los nombres decimales: $\frac12$ ; $0.4$ ; $\frac34$ ; $0.6$ ; $\frac15$ .

Solución

Solución de Ejercicio 31.7.

Decimales: $0.5$ ; $0.4$ ; $0.75$ ; $0.6$ ; $0.2$ . Orden:

\frac15 < 0.4 < \frac12 < 0.6 < \frac34 .

Ejercicio 31.8 ★

Un cuarto de los alumnos de una clase de $28$ toca un instrumento, y medio practicar un deporte. ¿Cuántos estudiantes tiene cada uno? ¿Qué grupo es más grande?

Solución

Solución de Ejercicio 31.8.

Instrumento: $\frac14$ de $28 = 7$ . Deporte: $\frac12$ de $28 = 14$ . El grupo deportivo es más grande.

Ejercicio 31.9 ★

Relacione cada fracción con una hora: $\frac14$ h, $\frac12$ h, $\frac34$ h, $\frac{1}{60}$ h — a $30$ min, $45$ min, $1$ min, $15$ mín.

Solución

Solución de Ejercicio 31.9.

$\frac14$ h $= 15$ min; $\frac12$ h $= 30$ min; $\frac34$ h $= 45$ mín; $\frac{1}{60}$ h $= 1$ mín.

Ejercicio 31.10 ★★

Tom bebió $\frac35$ de su botella de $50$ cL; Ana bebió $\frac12$ de su botella $60$ cL. ¿Quién bebió más? (Calcule ambas cantidades en cL — comparar el fracciones desnudo no es suficiente aquí, y diga por qué).

Solución

Solución de Ejercicio 31.10.

Tom: $\frac35$ de $50 = 30$ cL. Ana: $\frac12$ de $60 = 30$ cL. ellos bebí la misma cantidad! El desnudo fracciones ( $\frac35 > \frac12$ ) comparar acciones de botellas diferente — solo las reales Se pueden comparar cantidades.

Ejercicio 31.11 ★★

Dé un fracción estrictamente entre $\frac12$ y $1$ ; entonces uno estrictamente entre $\frac12$ y $\frac34$ . (Los nombres decimales pueden ayuda.)

Solución

Solución de Ejercicio 31.11.

Entre $\frac12$ y $1$ : por ejemplo $\frac34$ (es decir, $0.75$ ). Entre $\frac12 = 0.5$ y $\frac34 = 0.75$ : por ejemplo $0.6 = \frac35$ .