Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

21Grandes números

Miles eran el tope de Capítulo 14; ahora el techo sube a millones. El truco que hace legibles los números enormes es cortar sus dígitos en grupos de tres — el clases.

21.1 Clases de tres dígitos

Definición 21.1 (clases)

Empezando por la derecha, los dígitos de un número se agrupan en clases de tres: la clase de unidades, la clase de miles, la clase de millones. Cada clase tiene su unidades propias, decenas y centenas. por ejemplo

6\,309\,452 = 6 \text{ millions} + 309 \text{ thousands} + 452 \text{ units},

léase "seis millones trescientos nueve mil cuatrocientos cincuenta y dos”.

La tabla de clases de 6\,309\,452 (h = centenas, t = decenas, u = unidades de cada clase). Leer un número grande significa leyendo cada clase, seguido de su nombre. — La tabla de clases de $6\,309\,452$ (h $=$ centenas, t $=$ decenas, u $=$ unidades de cada clase). Leer un número grande significa leyendo cada clase, seguido de su nombre.

Ejemplo 21.2 (Escribiendo con las clases)

“Doce millones cuarenta mil quinientos” tiene $12$ en el clase millones, $040$ en la clase miles, $500$ en las unidades clase:

12\,040\,500 .

Los ceros de $040$ son esenciales: cada clase (excepto la más a la izquierda) debe mostrar sus tres dígitos.

Ejemplo 21.3 (¿Cuántas millas?)

El número $6\,309\,452$ contiene $6\,309$ miles (todo lo que queda de la clase de unidades): $6\,309\,452 = 6\,309 \times 1\,000 + 452$ . Preguntar "cuántos miles" no es pedir uno dígito, sino para un prefijo completo del número.

21.2 Comparar y redondear

Método 21.4 (Comparando números grandes)

Exactamente como en Método 14.4, con el clases como atajo: más dígitos ganan; misma longitud, comparar desde la izquierda — clase por clase, luego dígito por dígito.

Ejemplo 21.5

$2\,145\,890$ y $2\,148\,540$ : millones iguales ( $2$ ), miles clase $145 < 148$ , entonces

2\,145\,890 < 2\,148\,540 .

Definición 21.6 (redondeo)

A redondo un número al millar más cercano (o diez, cien, millones …), reemplácelo por el múltiplo más cercano de $1\,000$ . Si el número está exactamente a la mitad, redondea hacia arriba. en práctica: mire el dígito justo debajo del lugar de redondeo — $5$ o más redondeos hacia arriba, $4$ o menos redondeos hacia abajo.

Ejemplo 21.7

$37\,614$ redondeado al millar más cercano: el dígito de las centenas es $6$ , entonces redondo arriba: $38\,000$ . Redondeado a la centena más cercana: $37\,600$ . Redondeado a la decena de millar más cercana: $40\,000$ .

redondeo 37\,614 al millar más cercano: se encuentra más allá del marca la mitad 37\,500, por lo que rondas hasta 38\,000. — redondeo $37\,614$ al millar más cercano: se encuentra más allá del marca la mitad $37\,500$ , por lo que rondas hasta $38\,000$ .

Ejemplo 21.8 (Órdenes de magnitud en el mundo)

redondeo así es como se utilizan realmente los números grandes: un país de $67\,842\,591$ habitantes son “aproximadamente $68$ millones”; una ciudad de $214\,376$ personas son "aproximadamente $200\,000$ ". La cifra exacta cambia. todos los días de todos modos — el redondeado lleva lo útil información.

21.3 Ceremonias

Ejercicio 21.1 ★

Escribe en dígitos, con el clases separado: “tres millones cinco ciento veinte mil”; “siete millones ocho”; “doscientos cuarenta mil sesenta”.

Solución

Solución de Ejercicio 21.1.

$3\,520\,000$ ; $7\,000\,008$ ; $240\,060$ .

Ejercicio 21.2 ★

Escriba en palabras: $5\,204\,300$ ; $10\,050\,000$ ; $999\,999$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.2.

$5\,204\,300$ : cinco millones doscientos cuatro mil trescientos.

$10\,050\,000$ : diez millones cincuenta mil.

$999\,999$ : novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.

Ejercicio 21.3 ★

En $8\,472\,156$ : ¿qué dígito son las decenas de miles? los cientos de la clase de los millones? ¿A cuántos miles equivale el número? contiene (ver Ejemplo 21.3)?

Solución

Solución de Ejercicio 21.3.

Decenas de miles: $7$ . Clase de cientos de millones: no hay dígitos de cientos de millones en un número de siete dígitos — los millones La clase de $8\,472\,156$ contiene sólo el dígito $8$ (unidades de millones). Miles contenidos: $8\,472$ (desde $8\,472\,156 = 8\,472 \times 1\,000 + 156$ ).

Ejercicio 21.4 ★

Copiar y completar con $<$ o $>$ :

980\,000 \;?\; 1\,020\,000, \qquad 3\,456\,000 \;?\; 3\,465\,000, \qquad 7\,090\,050 \;?\; 7\,090\,500 .

Solución

Solución de Ejercicio 21.4.

$980\,000 < 1\,020\,000$ ; $3\,456\,000 < 3\,465\,000$ (clase de miles $456 < 465$ ); $7\,090\,050 < 7\,090\,500$ .

Ejercicio 21.5 ★

Ordenar de menor a mayor: $2\,300\,000$ ; $980\,500$ ; $2\,030\,000$ ; $2\,299\,999$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.5.

$980\,500 < 2\,030\,000 < 2\,299\,999 < 2\,300\,000$ .

Ejercicio 21.6 ★

Ronda $63\,782$ : a la decena más cercana; a la centena más cercana; al mil más cercano; a la decena de millar más cercana.

Solución

Solución de Ejercicio 21.6.

A las diez: $63\,780$ . A la centena: $63\,800$ . A los mil: $64\,000$ . A los diez mil: $60\,000$ .

Ejercicio 21.7 ★

Redondear al millón más cercano: $4\,721\,000$ ; $6\,499\,999$ ; $9\,500\,000$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.7.

$5\,000\,000$ ; $6\,000\,000$ (el $499\,999$ no alcanza medio un millón); $10\,000\,000$ (exactamente a la mitad de rondas hacia arriba).

Ejercicio 21.8 ★

Cuente por pasos: tres pasos de $1\,000$ desde $998\,500$ ; dos pasos de $100\,000$ de $950\,000$ . ¿Qué le sucede al clases cuando cruzar un millón?

Solución

Solución de Ejercicio 21.8.

$998\,500 \to 999\,500 \to 1\,000\,500 \to 1\,001\,500$ : el segundo El paso cruza el millón y se ilumina una nueva clase a la izquierda.

$950\,000 \to 1\,050\,000 \to 1\,150\,000$ : mismo cruce en la primer paso.

Ejercicio 21.9 ★

Un estadio tiene capacidad para $81\,338$ espectadores. Un periódico escribe "más de $80\,000$ fans”; una radio dice "sobre $81\,000$ ". son ambos ¿verdad? ¿A qué lugar llegó cada redondo?

Solución

Solución de Ejercicio 21.9.

Ambos tienen razón. “Más de $80\,000$ ” rondas hasta el diez mil ( $81\,338 \to 80\,000$ ); “sobre $81\,000$ ” rondas al Mil más cercano ( $81\,338 \to 81\,000$ ).

Ejercicio 21.10 ★★

Usando cada uno de los dígitos $1$ a $7$ exactamente una vez, escriba el mayor posible número de siete cifras, el más pequeño y el más cercano a $4\,000\,000$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.10.

Mayor: $7\,654\,321$ . Más pequeño: $1\,234\,567$ . Más cercano a $4\,000\,000$ : justo debajo funciona mejor — $3\,765\,421$ es $234\,579$ de distancia, mientras que justo arriba, $4\,123\,567$ , está solo $123\,567$ de distancia: el más cercano es $4\,123\,567$ .

Ejercicio 21.11 ★★

¿Cuál es el número entero mayor que rondas a $50\,000$ cuando redondeo al millar más cercano? ¿Y el más pequeño?

Solución

Solución de Ejercicio 21.11.

redondeo al millar más cercano da $50\,000$ para todos los números desde $49\,500$ (a mitad de camino de rondas hacia arriba) hasta $50\,499$ . Más grande: $50\,499$ ; más pequeño: $49\,500$ .