Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

17Compartir y dividir

Veinte canicas repartidas equitativamente entre cuatro niños: ¿cuántas cada uno? La división responde a todas las preguntas sobre compartir — y la agrupación preguntas también — y es el gemelo de la multiplicación: uno deshace el otro.

17.1 Dos caras de la división

Definición 17.1 (División)

La división $20 \div 4$ responde a dos tipos de preguntas:

intercambio: $20$ canicas compartidas entre $4$ niños — ¿Cuántas canicas cada? ( $5$ cada uno);
agrupamiento: Canicas $20$ puestas en bolsas de $4$ — cuantas bolsas? ( $5$ bolsas).

Ambas preguntas tienen la misma respuesta, porque ambas deshacen lo mismo multiplicación: $4 \times 5 = 20$ .

Compartiendo 20 en 4 grupos iguales. Agrupar por 4 en su lugar daría grupos 5 — la misma división. — Compartiendo $20$ en $4$ grupos iguales. Agrupar por $4$ en su lugar daría grupos $5$ — la misma división.

Método 17.2 (Dividiendo con las tablas)

Para calcular $42 \div 6$ , pregunte: “¿ $6$ multiplicado por qué da $42$ ?” La tabla de $6$ responde: $6 \times 7 = 42$ , entonces $42 \div 6 = 7$ . Cada pregunta de división es una pregunta de multiplicación leída. hacia atrás.

17.2 Cuando no sale ni siquiera

Definición 17.3 (Resto)

Compartir canicas $23$ entre niños $4$ da canicas $5$ a cada uno — y $3$ canicas sobrante, no suficientes para otra ronda. Nosotros escribir

23 = 4 \times 5 + 3 ,

y diga: el cociente es $5$ , el resto es $3$ . El resto es siempre menor que el número de niños — de lo contrario, otra ronda de compartir sería posible.

Compartiendo 23 entre 4: después de las rondas 5, quedan las canicas 3 — muy pocos para una ronda 6. — Compartiendo $23$ entre $4$ : después de las rondas $5$ , quedan las canicas $3$ — muy pocos para una ronda $6$ .

Ejemplo 17.4

Divida $58$ por $7$ . Escanee la tabla de $7$ : $7 \times 8 = 56$ es el producto más grande que cabe debajo de $58$ ( $7 \times 9 = 63$ es demasiado). entonces

58 = 7 \times 8 + 2 :

cociente $8$ , resto $2$ . Verifique: $56 + 2 = 58$ y $2 < 7$ .

Método 17.5 (Interpretando el resto)

Después de dividir, regrese a la historia:

“¿cuántos cada uno/cuántos grupos completos?” — el cociente;
“¿cuántos sobran?” — el resto;
“¿cuántas cajas caben todo?” — el cociente más uno si el resto no es cero.

Ejemplo 17.6

$58$ alumnos van en canoa, $7$ por canoa. $58 = 7 \times 8 + 2$ : ocho canoas están llenas y quedan estudiantes $2$ — necesitan una canoa también. Por lo tanto, se deben reservar las canoas $9$ .

17.3 Mitades, tercios, cuartos

Definición 17.7 (Mitad, tercio, cuarto)

El medio de un número es el resultado de dividirlo entre $2$ ; el tercero, por $3$ ; el cuarto, por $4$ . Por ejemplo el la mitad de $18$ es $9$ , la tercera parte de $18$ es $6$ , la cuarta parte de $36$ es $9$ .

Ejemplo 17.8 (Dobles y mitades van juntos)

El medio de $46$ : desde $46 = 40 + 6$ , medio de cada parte da $20 + 3 = 23$ . Consulta con el doble: $23 + 23 = 46$ . sabiendo duplica de memoria ( $25 \to 50$ , $45 \to 90$ , $150 \to 300$ ) hace mitades instantáneas.

17.4 Ceremonias

Ejercicio 17.1 ★

Calcular usando las tablas al revés: $36 \div 4$ ; $63 \div 9$ ; $40 \div 5$ ; $56 \div 8$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.1.

$36 \div 4 = 9$ (desde $4 \times 9 = 36$ ); $63 \div 9 = 7$ ; $40 \div 5 = 8$ ; $56 \div 8 = 7$ .

Ejercicio 17.2 ★

Para cada división, escribe la igualdad $a = b \times q + r$ y da el cociente y el resto: $17 \div 5$ ; $30 \div 4$ ; $50 \div 6$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.2.

$17 = 5 \times 3 + 2$ : cociente $3$ , resto $2$ .

$30 = 4 \times 7 + 2$ : cociente $7$ , resto $2$ .

$50 = 6 \times 8 + 2$ : cociente $8$ , resto $2$ .

Ejercicio 17.3 ★

Las canicas $28$ se comparten entre los niños $6$ . ¿Cuántas canicas cada una? y cuantos sobran? Dibuja el compartir si te ayuda.

Solución

Solución de Ejercicio 17.3.

$28 = 6 \times 4 + 4$ : cada niño recibe canicas $4$ y canicas $4$ sobran.

Ejercicio 17.4 ★

Calcular: el medio de $68$ ; el tercero de $27$ ; el cuarto de $48$ ; el medio de $150$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.4.

Medio de $68$ : $34$ . Tercero de $27$ : $9$ . Cuarto de $48$ : $12$ . Medio de $150$ : $75$ .

Ejercicio 17.5 ★

¿Verdadero o falso? Compruébalo con una multiplicación. “ $45 \div 5 = 9$ ”; “ $52 \div 6 = 8$ resto $4$ ”; “ $70 \div 8 = 9$ resto $2$ ”.

Solución

Solución de Ejercicio 17.5.

“ $45 \div 5 = 9$ ”: verdadero, $5 \times 9 = 45$ .

“ $52 \div 6 = 8$ resto $4$ ”: verdadero, $6 \times 8 + 4 = 52$ y $4 < 6$ .

“ $70 \div 8 = 9$ resto $2$ ”: falso — $8 \times 9 + 2 = 74$ , no $70$ . Correcto: $70 = 8 \times 8 + 6$ .

Ejercicio 17.6 ★

Las fotos $32$ están pegadas en un álbum, $4$ por página. cuantas paginas son usado? ¿Qué rostro de división es esta (compartir o agrupar)?

Solución

Solución de Ejercicio 17.6.

$32 \div 4 = 8$ páginas. Este es agrupamiento: las fotos están puestas en grupos de $4$ , y contamos los grupos.

Ejercicio 17.7 ★

Una cuerda de $75$ cm se corta en trozos de $9$ cm. ¿Cuántas piezas completas? ¿Y cuánto mide el trozo sobrante?

Solución

Solución de Ejercicio 17.7.

$75 = 9 \times 8 + 3$ : ocho piezas completas y un poco de sobra $3$ cm.

Ejercicio 17.8 ★

$50$ los niños van de viaje en coches de $4$ plazas. cuantos autos son necesario? (Cuidado: ¡todos deben viajar!)

Solución

Solución de Ejercicio 17.8.

$50 = 4 \times 12 + 2$ : doce coches transportan niños $48$ , y $2$ los niños todavía necesitan que los lleven. Se necesitan coches $13$ .

Ejercicio 17.9 ★

Encuentra los números que faltan: $? \div 7 = 6$ ; $54 \div ? = 6$ ; el medio de $?$ es $35$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.9.

$? = 7 \times 6 = 42$ . $54 \div 9 = 6$ , por lo que el divisor que falta es $9$ . El número cuyo medio es $35$ es $70$ .

Ejercicio 17.10 ★★

Amina comparte sus pegatinas $47$ entre sus amigos $5$ , de la manera más justa. posible y se queda con el resto para ella. ¿Cuántas pegatinas tiene? cada amigo recibe, y ¿cuántos se queda Amina?

Solución

Solución de Ejercicio 17.10.

$47 = 5 \times 9 + 2$ : cada amigo recibe pegatinas $9$ y Amina conserva las pegatinas resto, $2$ .

Ejercicio 17.11 ★★

Cuando se divide un número por $6$ , ¿cuáles son todas las posibles? restos? ¿Cuál es el mayor número cuya división por $6$ tiene cociente $7$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 17.11.

Dividiendo por $6$ , el resto siempre es menor que $6$ : puede ser $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ o $5$ . El número más grande con cociente $7$ utiliza el resto más grande: $6 \times 7 + 5 = 47$ .