Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

43Perímetro, Área, Volumen

¿Cuánto mide la cerca, qué tamaño tiene el campo, cuánta agua cabe en el tanque? Tres preguntas diferentes, tres cantidades diferentes — perímetro, área, volumen — cada uno con sus propias unidades. Confundirlos es el error más común en geometría; este capítulo los clasifica para bueno.

43.1 Longitudes y perímetro

Definición 43.1 (Perímetro)

El perímetro de una figura es la longitud total de su frontera. Se mide en unidades de longitud: milímetros (mm), centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), con

1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.

Ejemplo 43.2

Un rectángulo de largo $L$ y ancho $w$ tiene perímetro

P = L + w + L + w = 2 \times (L + w).

Para un rectángulo $7$ cm por $4$ cm: $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 = 22$ cm. Un cuadrado de lado $c$ tiene perímetro $4c$ .

Proposición 43.3 (Circunferencia de un círculo)

El perímetro (o circunferencia) de un círculo de radio $r$ es

P = 2 \pi r ,

donde $\pi \approx 3.14$ es el mismo número para cada círculo.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 43.4

Un estanque circular tiene radio $5$ m. Sus medidas fronterizas $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Mantener el valor exacto $10\pi$ el mayor tiempo posible; redondo sólo al final.

43.2 Áreas

Definición 43.5 (Área)

El área de una figura mide la superficie que cubre: ¿Cuántos cuadrados unitarios caben dentro? Unidades: cm $^2$ (un cuadrado de lado $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Cuidado:

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— un metro cuadrado es un cuadrado $100$ cm por $100$ cm, por lo que cada paso de la escalera de unidades vale $100$ , no $10$ .

El área de un rectángulo: 7 columnas de 4 cuadrados unitarios cada una, entonces 7 × 4 = 28 cuadrados en total. Por eso área = longitud × ancho. — El área de un rectángulo: $7$ columnas de $4$ cuadrados unitarios cada una, entonces $7 \times 4 = 28$ cuadrados en total. Por eso área $=$ longitud $\times$ ancho.

Proposición 43.6 (Fórmulas de área básicas)

figure	área
rectangle ( $L \times w$ )	$A = L \times w$
square (side $c$ )	$A = c^2$
[4pt] triangulo rectángulo (legs $a$ , $b$ )	$A = \dfrac{a \times b}{2}$
[4pt] disk (radio $r$ )	$A = \pi r^2$

Prueba para el triangulo rectángulo. Dos copias de un triangulo rectángulo con patas $a$ y $b$ , pegadas a lo largo del hipotenusa, forma un rectángulo $a \times b$ . Entonces el área del triángulo es medio el rectángulo: $\frac{ab}{2}$ . (La fórmula del rectángulo es la conteo de unidades cuadradas arriba; se admite la fórmula del disco, ver Capítulo 53.) ∎

A triangulo rectángulo es medio un rectángulo: de ahí la fórmula a× b/2. — A triangulo rectángulo es medio un rectángulo: de ahí la fórmula $\frac{a\times b}{2}$ .

Ejemplo 43.7 (figuras compuestas)

Una habitación en forma de L es un rectángulo de $6$ m $\times$ $4$ m con un $2$ m $\times$ $2$ m de esquina cuadrada eliminada. Es área, paso a paso:

rectángulo completo: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
cuadrado eliminado: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
restante área: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Su perímetro no es $20$ nada: andando por la L, la borde todavía mide $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — los dos cortes de la esquina reemplace dos piezas iguales de pared. Mismo número por coincidencia, ¡Pero metros cuadrados para uno, metros para el otro!

Observación 43.8 (Mismo perímetro, diferentes zonas)

Dos figuras pueden tener perímetro igual y áreas muy diferente: a El cuadrado $5 \times 5$ y el rectángulo $9 \times 1$ tienen perímetro $20$ , pero áreas $25$ y $9$ . Perímetro y área son verdaderamente independientes cantidades.

43.3 Volúmenes

Definición 43.9 (Volumen)

El volumen de un sólido mide el espacio que ocupa: ¿Cuántas unidades cubos caben dentro? Unidades: cm $^3$ , m $^3$ , … con $1$ m $^3 = 1\,000\,000$ cm $^3$ (cada escalón de la escalera vale $1000$ ). Para líquidos también se utiliza el litro:

1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3, \qquad 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.

Proposición 43.10 (Volumen de una caja)

Un rectangular caja (a prisma rectangular) de largo $L$ , ancho $w$ y altura $h$ tiene volumen

V = L \times w \times h .

Demostración. La capa inferior contiene la unidad $L \times w$ cubos (Imagen Definición 43.5, con cubos), y hay $h$ tales capas. ∎

A caja lleno de unidad cubos: 4 × 2 cubos por capa, dos capas. — A caja lleno de unidad cubos: $4 \times 2$ cubos por capa, dos capas.

Ejemplo 43.11

Un acuario mide $60$ cm por $30$ cm por $40$ cm (alto). Volumen:

V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3 = 72 \text{ L}.

Paso a paso para la conversión: $1000$ cm $^3$ hacer un litro, y $72\,000 \div 1000 = 72$ .

43.4 Ceremonias

Ejercicio 43.1 ★

Convertir: $3.5$ m a cm; $420$ mm en cm; $0.8$ km en m; $25\,000$ m en km.

Solución

Solución de Ejercicio 43.1.

$3.5$ m $= 350$ cm; $420$ mm $= 42$ cm; $0.8$ km $= 800$ m; $25\,000$ m $= 25$ km.

Ejercicio 43.2 ★

Calcular el perímetro de: un rectángulo $8$ cm $\times$ $3.5$ cm; un cuadrado de lado $6.2$ cm; un triángulo con lados $5$ cm, $7$ cm y $9$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 43.2.

Rectángulo: $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Cuadrado: $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Triángulo: $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

Ejercicio 43.3 ★

Una pista circular para correr tiene radio $50$ m. cuanto dura una vuelta (valor exacto con $\pi$ , luego redondeado al metro)? cuantas vueltas dan al menos $2$ km?

Solución

Solución de Ejercicio 43.3.

Una vuelta: $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Para $2$ kilómetros $= 2000$ m: $2000 \div 314 \approx 6.4$ , por lo que $7$ son necesarias vueltas completas (Las vueltas $6$ solo suman unos $1\,885$ m).

Ejercicio 43.4 ★

Calcular el área de: un rectángulo $9$ cm $\times$ $4$ cm; un cuadrado de lado $7$ m; a triangulo rectángulo con patas $6$ cm y $10$ cm; un disco de radio $3$ cm (valor exacto, luego redondeado al cm $^2$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 43.4.

Rectángulo: $9 \times 4 = 36$ cm $^2$ . Cuadrado: $7^2 = 49$ m $^2$ . triangulo rectángulo: $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm $^2$ . Disco: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm $^2$ .

Ejercicio 43.5 ★

Convertir: $3$ m $^2$ en cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2$ en m $^2$ ; $2.5$ L en cm $^3$ ; $4\,500$ L en m $^3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 43.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2 = 4.5$ m $^2$ ; $2.5$ L $= 2\,500$ cm $^3$ ; $4\,500$ L $= 4.5$ m $^3$ .

Ejercicio 43.6 ★

Un campo rectangular tiene $120$ m de largo y $85$ m de ancho. cuantos metros de ¿Se necesita una valla para encerrarlo? ¿Cuál es su área?

Solución

Solución de Ejercicio 43.6.

Valla (perímetro): $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. Área: $120 \times 85 = 10\,200$ m $^2$ .

Ejercicio 43.7 ★

Calcule el volumen de un caja $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm, y de un cubo de borde $3$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 43.7.

Caja: $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm $^3$ . Cubo: $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm $^3$ .

Ejercicio 43.8 ★

Dibuja dos rectángulos diferentes con perímetro $16$ cm y calcula sus áreas. ¿Cuál de tus rectángulos tiene el área más grande?

Solución

Solución de Ejercicio 43.8.

Perímetro $16$ cm significa largo $+$ ancho $= 8$ cm. por ejemplo $6 \times 2$ (área $12$ cm $^2$ ) y $5 \times 3$ (área $15$ cm $^2$ ) — o el cuadrado $4 \times 4$ (área $16$ cm $^2$ ). Cuanto más cerca de un cuadrado, más grande será el área.

Ejercicio 43.9 ★★

Una figura en forma de T está hecha de un rectángulo horizontal $10 \times 2$ en encima de uno vertical $2 \times 6$ (medidas en cm). Calcular su área, luego es perímetro (camina alrededor de la frontera con cuidado, agregando cada borde).

Solución

Solución de Ejercicio 43.9.

Área: $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm $^2$ .

Perímetro (tallo centrado debajo de la barra): caminando,

10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}

(arriba; extremo derecho de la barra; parte inferior derecha; derecha del vástago; parte inferior de tallo; izquierda del tallo; parte inferior izquierda; extremo izquierdo de la barra).

Ejercicio 43.10 ★★

Una piscina tiene un tamaño rectangular caja $25$ m de largo, $10$ m de ancho y $2$ m de profundidad.

¿Cuántos metros cúbicos de agua cabe cuando está lleno?
¿Cuántos litros son?
La piscina se llena a $50\,000$ L por hora. ¿Cuánto dura el llenado tomar?

Solución

Solución de Ejercicio 43.10.

1. $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m $^3$ .

2. $500$ m $^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

3. $500\,000 \div 50\,000 = 10$ horas.

Ejercicio 43.11 ★★

Un jardín es un cuadrado de lado $20$ m que contiene un estanque circular de radio $3$ m. Qué área de pasto hay (valor exacto, luego redondeado) al m $^2$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 43.11.

Jardín: $20^2 = 400$ m $^2$ . Estanque: $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m $^2$ . Hierba: $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m $^2$ .

Ejercicio 43.12 ★★★

Una barra de chocolate mide $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. El fabricante duplica las dimensiones los tres.

¿Por cuánto se multiplica el volumen? Verificar calculando ambos volúmenes.
El precio se multiplica por $4$ . ¿Es el gran bar una mejor oferta? que el pequeño?

Solución

Solución de Ejercicio 43.12.

1. Barra pequeña: $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm $^3$ . Gran barra: $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm $^3$ . El volumen se multiplica por $720 \div 90 = 8$ — duplicar cada una de las tres dimensiones se multiplica el volumen por $2 \times 2 \times 2 = 8$ .

2. Ocho veces chocolate por cuatro veces más precio: sí, el La barra grande es el doble de buena por gramo.

43.5 Problema: la valla de la reina Dido

Problema 43.1

Problema de fin de semana — con una longitud de valla fija, ¿Qué forma encierra la mayor cantidad de tierra? La plaza supera a todos rectángulo, el círculo vence al cuadrado y la pared de un granero cambia todo

La leyenda dice que la reina Dido, al desembarcar en la costa de África, fue se le concedió "tanta tierra como la que puede abarcar una piel de buey", por lo que cortó la piel en una tira inmensamente larga y delgada y lo suficientemente encerrada terreno para fundar la ciudad de Cartago. Su problema ahora es tuyo: una El agricultor posee exactamente $20$ m de valla. Ejercicio 43.8 demostró que dos bolígrafos con el mismo perímetro pueden tener diferentes áreas; este problema encuentra el lápiz mejor — y descubre que la respuesta cambia por completo cuando la pared de un granero da acceso gratuito lado.

Parte I — Twenty meters of fence.

El corral debe ser un rectángulo utilizando todos los $20$ m de valla. Compruebe que tanto un bolígrafo $1 \times 9$ como un bolígrafo $2 \times 8$ califican y calculan su áreas.
Explique por qué el largo y el ancho de cada corral calificado sumar hasta $10$ m. Luego haz la tabla completa de bolígrafos de números enteros ( $1 \times 9$ hasta $5 \times 5$ ) con su áreas. ¿Cuál es mejor?
¿Vale la pena probar los lados decimales? Calcule el áreas del pluma $4.5 \times 5.5$ y de la pluma $4.9 \times 5.1$ , y comparar con el cuadrado $5 \times 5$ . ¿Qué haces? conjetura?
La pregunta 2 convirtió el problema de la cerca en un número puro pregunta: among all pairs of numbers adding up to $10$ , which pair has the largest producto? Contéstela desde tu tabla y establece la regla general que observas.
He aquí por qué alejarse de la plaza siempre pierde, con tijeras en lugar de álgebra: empezar desde el Bolígrafo $5 \times 5$ y cámbielo por el bolígrafo $6 \times 4$ . quitando una tira y pegando otra hacia atrás. cual se retira la tira, cuál se agrega y por qué ¿El intercambio pierde exactamente un metro cuadrado? Explique por qué un Un paso más (a $7 \times 3$ ) pierde incluso más.

Parte II — The barn, and the circle.

El corral ahora está construido contra una larga pared del granero: la pared reemplaza una longitud del corral y el $20$ m de cerca cubrir sólo los otros tres lados. Haz una tabla de bolígrafos de números enteros (ancho $w$ , largo $L$ a lo largo de la pared, $w + L + w = 20$ ) y su áreas. ¿Qué bolígrafo gana ahora? — y es un cuadrado?
Explica el ganador con un espejo. (Capítulo 42): refleja el corral a través del granero pared y considere el corral duplicado. ¿Cuánto cuesta la cerca? el uso de pluma duplicada, qué pluma duplicada es mejor según la Parte I, ¿Y qué hace eso con el bolígrafo original?
Dido no construyó un rectángulo. Doblar el $20$ m de valla en un círculo: usando $\pi \approx 3.14$ , calcule su radio (al cm), luego es área (al m $^2$ ) (Proposición 43.3, Proposición 43.6). Comparar con el $5 \times 5$ cuadrado.
El problema inverso: una pluma de área exactamente $36$ m $^2$ es deseado, con la menor valla posible. comparar el rectángulos $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ y $6 \times 6$ : ¿perímetros? ¿Qué forma es más barato, y ¿cómo es que esta pregunta es el reflejo de ¿Parte I?
En una frase: ¿por qué las latas, tuberías y tanques de agua son tan a menudo redondo?

Parte III — Perímetro and área are strangers.

Encuentre un rectángulo cuyo perímetro exceda $100$ m pero cuyo área es menor que $1$ m $^2$ . (Muy largo y muy delgado. Se permiten decimales.)
Verdadero o falso: “de dos figuras, la de mayor perímetro tiene el área más grande.” Dé un contraejemplo de este problema.
Tome el rectángulo $6 \times 4$ y corte un $1 \times 1$ muesca cuadrada en el medio de un lado largo (la muesca se abre hacia afuera, como un diente perdido). Calcular el área y el perímetro de la figura con muescas, y compare ambos con el original. ¿Qué pasó con cada uno?
Los cartógrafos saben un hecho extraño: cuanto más detallado es el mapa, el más extenso mide una costa — cada zoom revela nuevas pequeñas muescas, y la pregunta 13 muestra lo que cada muesca lo hace. Explica en una o dos frases por qué. “la longitud de la costa de Bretaña” es una superficie resbaladiza número, mientras que "el área de Bretaña" no lo es.
El examen del granjero. Con $36$ m de valla y el granero. pared disponible, encuentre el mejor bolígrafo rectangular (use el espejo de la pregunta 7), proporcione su área y compárelo con el mejor corral construido con $36$ m en campo abierto. cuanto ¿La pared del granero le gana al granjero?

Solución

Solución de Problema 43.1.

1. $1 \times 9$ : perímetro $2 \times (1 + 9) = 20$ m, área $9$ m $^2$ . $2 \times 8$ : perímetro $2 \times 10 = 20$ m, área $16$ m $^2$ .

2. El perímetro es dos veces (largo $+$ ancho) (Ejemplo 43.2), entonces largo $+$ ancho $= 20 \div 2 = 10$ m. La mesa:

pen	$1 \times 9$	$2 \times 8$	$3 \times 7$	$4 \times 6$	$5 \times 5$
área (m $^2$ )	$9$	$16$	$21$	$24$	$25$

El cuadrado $5 \times 5$ es el mejor.

3. $4.5 \times 5.5 = 24.75$ y $4.9 \times 5.1 = 24.99$ : cada vez más cerca de $25$ , pero aún por debajo. Conjetura: el cuadrado vence al rectángulo cada de perímetro $20$ , lados decimales incluidos.

4. De la tabla: el producto de dos números con suma $10$ es mayor cuando los dos números son igual ( $5$ y $5$ ). Regla general: para un suma fijo, el producto es el más grande para partes iguales — cuanto más desigual sea el par, más pequeño será producto.

5. Del cuadrado $5 \times 5$ , elimine la fila superior — una tira de cuadrados unitarios $5$ — dejando una pluma $5 \times 4$ ; luego pegue una columna de cuadrados unitarios $4$ en un extremo, haciendo que bolígrafo $6 \times 4$ . Se quitaron cinco cuadrados y sólo cuatro volvió: la tira agregada se encuentra a lo largo del lado $4$ , que es más corto que el lado $5$ cubierto por la tira retirada. Neto pérdida: un metro cuadrado ( $25 \to 24$ ). El siguiente paso, desde $6 \times 4$ a $7 \times 3$ , intercambia una fila de $6$ por una columna de $3$ y pierde tres más ( $24 \to 21$ ): cuanto más lejos esté el bolígrafo es del cuadrado, cuanto más larga es la franja que cede y más más corto el que recibe de vuelta.

6. Con $w + L + w = 20$ , es decir $L = 20 - 2w$ :

$w$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$L$	$18$	$16$	$14$	$12$	$10$	$8$	$6$
área	$18$	$32$	$42$	$48$	$50$	$48$	$42$

El ganador es $5 \times 10$ , de área $50$ m $^2$ — el doble de largo (a lo largo de la pared) como de ancho: no un cuadrado.

7. Refleja el bolígrafo en la pared: bolígrafo más espejo imagen forma un corral duplicado usando la valla dos veces, $40$ m de valla alrededor (el lado de la pared ahora es interior). Por la Parte I, la El mejor rectángulo con perímetro $40$ es el cuadrado, $10 \times 10$ , de área $100$ m $^2$ . El mejor bolígrafo real es medio de ese. mejor corral doblado: $10$ m a lo largo de la pared, $5$ m de profundidad, área $50$ m $^2$ — exactamente el ganador de la mesa, ahora explicado.

8. Circunferencia $20 = 2 \times \pi \times r$ , entonces $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m. Área: $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx 31.8$ m $^2$ — cómodamente más que el $25$ m $^2$ del cuadrado. Dido sabía lo que hacía: para una determinada longitud de frontera, el el círculo encierra la mayor parte.

9. Perímetros: $1 \times 36$ : $74$ m; $2 \times 18$ : $40$ m; $3 \times 12$ : $30$ m; $4 \times 9$ : $26$ m; $6 \times 6$ : $24$ m. La plaza otra vez — menor valla para el dado área. Es la Parte I al revés: arreglado perímetro, más grande área, o área fijo, perímetro más pequeño: ambos coronan el cuadrado (y, más allá de todos los rectángulos, el círculo).

10. Un muro redondo es el borde más corto del espacio. encierra (pregunta 8), por lo que una lata, tubería o tanque redondo sostiene el la mayor parte del contenido por la menor cantidad de metal: el material es dinero.

11. Por ejemplo $50$ m $\times$ $0.01$ m: perímetro $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m, área $50 \times 0.01 = 0.5$ m $^2$ . Largos y delgados: kilómetros de frontera, casi ninguna tierra.

12. Falso. El bolígrafo de la pregunta 11 tiene perímetro $100.02$ m y área $0.5$ m $^2$ , mientras que el bolígrafo $5 \times 5$ tiene perímetro $20$ m y área $25$ m $^2$ : perímetro más grande, lejos más pequeño área.

13. Área: falta un cuadrado unitario, $24 - 1 = 23$ cm $^2$ . Perímetro: caminando, la muesca reemplaza $1$ cm de pared recta por tres lados del pequeño cuadrado, $1 + 1 + 1 = 3$ cm: el perímetro crece de $20$ cm a $20 - 1 + 3 = 22$ cm. Eliminación del material alargado el frontera.

14. Cada zoom en una costa real revela nuevas bahías y rocas. y arroyos — muescas tras muescas, y la pregunta 13 muestra que cada muesca agrega longitud del borde sin apenas cambiar el área. Entonces, la longitud medida sigue creciendo con el nivel de detalle. ("la paradoja de la costa"), mientras que el área medido se establece abajo: perímetro y área son cantidades verdaderamente independientes.

15. Argumento espejo: la pluma duplicada usaría $2 \times 36 = 72$ m de valla, y el mejor rectángulo de perímetro $72$ es el cuadrado $18 \times 18$ . Entonces el mejor bolígrafo es $18$ m a lo largo del muro y $9$ m de profundidad: control de valla $9 + 18 + 9 = 36$ m, área $18 \times 9 = 162$ m $^2$ . en abierto campo, el mejor es el cuadrado $9 \times 9$ , área $81$ m $^2$ . El muro del granero exactamente dobles la tierra del granjero.