61Proporcionalidad, Velocidad y Promedios

Solución de Problema 61.1.

1. Por Definición 61.1, $t_1 = \frac{d}{v_1}$ y $t_2 = \frac{d}{v_2}$; todo el viaje dura $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ para una distancia de $2d$.

2. Factoriza $d$ a partir de denominador y simplificalo lejos:

Común denominador en el interior: $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$, y dividir significa multiplicar por el inverso (Teorema 55.6):

3. $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15} = \dfrac{900}{45} = 20$ km/h, como en Ejemplo 61.9; y $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200} = 96$ km/h, como se encuentra en Ejercicio 61.10.

4. El promedio depende sólo de los dos velocidades, no de $d$: un viaje de ida y vuelta de $1$ km y un viaje de ida y vuelta de $100$ km al mismo tiempo dos velocidades tienen exactamente el mismo velocidad promedio. (Es por eso que el La fórmula podría comprobarse en viajes de diferente duración.)

5. En el tiempo $T$ en cada velocidad, las distancias son $v_1 T$ y $v_2 T$, entonces

Un promedio de velocidades siempre está ponderado por tiempo (Definición 61.7). Con tiempos iguales los dos velocidades llevar pesos iguales: punto medio simple. Con distancias iguales el velocidad más lento ocupa tiempo más, por lo tanto más peso — y el promedio se desliza hacia él.

6. Para $(30, 15)$: $H = 20$ y $A = 22.5$. Para $(80, 120)$: $H = 96$ y $A = 100$. La media aritmética gana ambas veces.

7. Sobre el común denominador $2(v_1 + v_2)$:

y el numerador se expande con las identidades de Problema 57.1:

8. Un cuadrado nunca es negativo y $2(v_1 + v_2)$ es positivo: entonces $A - H \geq 0$, es decir $H \leq A$, para cada par de positivo velocidades. La igualdad requiere $(v_1 - v_2)^2 = 0$, es decir $v_1 = v_2$: en el momento en que los dos velocidades difieren, el viaje de ida y vuelta el promedio cae estrictamente por debajo del punto medio — la sorpresa es una teorema.

9. Multiplicar:

luego de cancelar el factor $2$ y el factor $v_1 + v_2$.

10. Fórmula: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60} {40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ km/h. El camino largo: $\frac{60}{40} = 1.5$ h y $\frac{60}{60} = 1$ h, por lo que $120$ km en $2.5$ h: $\frac{120}{2.5} = 48$ km/h. Ellos están de acuerdo.

11. Promediar $30$ km/h sobre $30$ km significa un tiempo total de como máximo $\frac{30}{30} = 1$ h. Los primeros $15$ km a $15$ km/h ya tomo $\frac{15}{15} = 1$ h: el presupuesto de tiempo completo se gasta, con medio el curso por recorrer.

12. A $90$ km/h toma el segundo medio $\frac{15}{90} = \frac16$ h, por lo que la carrera dura $\frac76$ h y

Cualquiera que sea el segunda mitad velocidad, su duración es positiva número, por lo que el tiempo total excede $1$ h y el promedio se mantiene estrictamente por debajo de $30$ km/h. (Con la fórmula: $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ forzaría a $30 v_2 = 450 + 30 v_2$, es decir, $0 = 450$ — no velocidad $v_2$ funciona.)

13. A $20$ km/h promedio permite $\frac{30}{20} = 1.5$ h; después de la primera hora quedan $15$ km para $0.5$ h: necesita $\frac{15}{0.5} = 30$ kilómetros por hora. Comprobar: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45} = 20$ kilómetros por hora.

14. Por minuto, los grifos llenan $\frac{1}{20}$ y $\frac{1}{30}$ de la tina; juntos

de la tina por minuto: la tina se llena en $12$ min. y $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$: los dos Los grifos juntos toman exactamente medio the media armónica de su tiempos en solitario — las tasas se suman, por lo que nuevamente es territorio de media armónica.

15. La misma distancia en cada sentido, por lo que

por debajo del aire en calma $800$ km/h. En una frase: el avión pasa más extenso volando contra el viento que con él, por eso el lento pierna obtiene el mayor peso en el promedio ponderado en el tiempo — el viento sólo puede alargar un viaje de ida y vuelta.