Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

70Sólidos y Volúmenes

La geometría espacial comienza con una pequeña familia de sólidos — prismas, cilindros, pirámides, conos, esferas — y dos preguntas: ¿cuánto contienen (volumen) y ¿qué ves cuando las cortas (secciones)? El capítulo cierra con un hecho de gran importancia práctica: ampliar una sólido por $k$ multiplica su volumen por $k^3$ .

70.1 Los sólidos clásicos y sus volúmenes.

Teorema 70.1 (Fórmulas de volumen)

Escribe $B$ para el área de la base y $h$ para la altura (la distancia entre la base y el opuesto rostro o ápice).

sólido	volumen
prisma, cilindro	$V = B \times h$
[5pt] pirámide, cono	$V = \dfrac13\, B \times h$
[5pt] sphere of radio $r$	$V = \dfrac43\,\pi r^3$

Para un cilindro y un cono de radio $r$ , la base área es $B = \pi r^2$ ; la superficie de la esfera área es $4\pi r^2$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

El sólidos de este capítulo. Para cada uno, el volumen implica una base área y una altura — excepto la esfera, que solo necesita su radio.

Ejemplo 70.2

Una lata cilíndrica tiene radio $4$ cm y altura $10$ cm:

V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3 \approx 0.5 \text{ L}.

Un cono con la misma base y altura contiene un tercio de eso: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm $^3$ . Una esfera de radio $4$ cm: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm $^3$ .

Ejemplo 70.3 (Una pirámide paso a paso)

Un pirámide tiene una base cuadrada de lado $6$ m y altura $5$ m.

Base área: $B = 6^2 = 36$ m $^2$ .
Volumen: $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Cuidado con las unidades: si el lado estuviera en cm y la altura en m, uno de primero habría que convertirlos.

70.2 Secciones por planos

Proposición 70.4 (Secciones de los sólidos clásicos)

Cortar un sólido con un plano produce una figura plana, su sección transversal:

un corte prisma o cilindro paralelo to its base da una copia de la base, en cada altura;
un pirámide o cono cortado paralelo a su base da un reducción de la base: a la distancia $d$ del ápice, el factor de escala es $k = \frac{d}{h}$ ;
una esfera de radio $r$ cortada por un plano a la distancia $d < r$ de el centro da un círculo de radio $\sqrt{r^2 - d^2}$ (por el Teorema de Pitágoras).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Izquierda: cortando un cono paralelo hasta su base a la distancia d de el ápice da un disco a escala k = dh. Derecha: un avión en la distancia d del centro de una esfera la corta en un círculo de radio √r2 - d2. — Izquierda: cortando un cono paralelo hasta su base a la distancia $d$ de el ápice da un disco a escala $k = \frac dh$ . Derecha: un avión en la distancia $d$ del centro de una esfera la corta en un círculo de radio $\sqrt{r^2 - d^2}$ .

Ejemplo 70.5

Un cono tiene base radio $6$ y altura $9$ . La sección por un avión. paralelo a la base, a la distancia $3$ del ápice, hay un disco escalado por $k = \frac39 = \frac13$ : su radio es $6 \times \frac13 = 2$ .

Una esfera de radio $5$ es cortada por un plano a la distancia $3$ de su centro: la sección es un círculo de radio $\sqrt{25 - 9} = 4$ .

70.3 Sólidos escalados

Teorema 70.6 (Efecto de un escalamiento sobre longitudes, áreas, volúmenes.)

Cuando un sólido se amplía o reduce con el factor de escala $k > 0$ :

todas las longitudes se multiplican por $k$ ;
todos los áreas se multiplican por $k^2$ ;
todos los volúmenes se multiplican por $k^3$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 70.7

Un modelo de coche en escala $\frac{1}{18}$ : las longitudes son las del coche real multiplicado por $k = \frac{1}{18}$ , superficie pintada multiplicada por $k^2 = \frac{1}{324}$ y volumen por $k^3 = \frac{1}{5832}$ .

Duplicar el radio de una esfera ( $k = 2$ ) multiplica su volumen por $2^3 = 8$ : verifique la fórmula, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$ .

Ejemplo 70.8 (cono truncado)

A cono de altura $9$ y base radio $6$ (volumen $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$ ) se corta a la distancia $3$ de el ápice y se elimina el pequeño cono encima del corte. El pequeño cono es la reducción en $k = \frac13$ , por lo que su volumen es $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$ . El restante sólido (un truncated cono) tiene volumen $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$ .

70.4 Ceremonias

Ejercicio 70.1 ★

Calcular el volúmenes: un caja (rectangular prisma) de dimensiones $4 \times 5 \times 12$ ; a cilindro de radio $3$ y altura $7$ (valor exacto con $\pi$ , luego redondeado a la unidad).

Solución

Solución de Ejercicio 70.1.

Caja: $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$ .

Cilindro: $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$ .

Ejercicio 70.2 ★

Calcular el volumen de un cono de radio $5$ y la altura $12$ , y de un pirámide con base rectangular $8 \times 3$ y altura $10$ .

Solución

Solución de Ejercicio 70.2.

Cono: $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx 314$ .

Pirámide: base área $B = 8 \times 3 = 24$ , entonces $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$ .

Ejercicio 70.3 ★

Calcular el volumen y la superficie área de una esfera de radio $6$ (exacta valores con $\pi$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 70.3.

Volumen: $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$ .

Superficie área: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$ .

Ejercicio 70.4 ★

Una esfera de radio $10$ es cortada por un plano a la distancia $8$ de su centro. ¿Cuál es el radio del círculo de sección?

Solución

Solución de Ejercicio 70.4.

Radio de la sección: $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ .

Ejercicio 70.5 ★★

Un cono tiene base radio $8$ y altura $12$ . Un avión paralelo a la base. lo corta a la distancia $9$ del ápice. Calcule el radio del sección, luego el volumen del pequeño cono encima del corte.

Solución

Solución de Ejercicio 70.5.

factor de escala del cono entero al pequeño: $k = \frac{9}{12} = \frac34$ . Sección radio: $8 \times \frac34 = 6$ .

Volumen del conjunto cono: $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$ . Volumen del pequeño cono: $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 = 256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$ .

Ejercicio 70.6 ★★

Un vaso cilíndrico de radio $3$ cm interior contiene agua hasta una altura de $10$ cm. En él queda totalmente sumergida una bola de radio $2$ cm. por cuanto ¿Sube el nivel del agua? (El volumen agregado se extiende sobre la superficie del vidrio. base área; dé el aumento exacto, luego redondo al milímetro.)

Solución

Solución de Ejercicio 70.6.

Volumen de la pelota: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm $^3$ . Este volumen se extiende sobre la base área $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm $^2$ , entonces el nivel sube por

\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}

(aproximadamente $12$ mm).

Ejercicio 70.7 ★★

Una receta llena un molde esférico de radio $6$ cm. solo tienes un Molde esférico de radio $3$ cm. ¿Cuántos moldes pequeños puedes llenar? (Responda sin calcular explícitamente volumen).

Solución

Solución de Ejercicio 70.7.

El molde pequeño es la reducción del grande en $k = \frac36 = \frac12$ , por lo que su volumen es $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ del grande: la receta llena $8$ moldes pequeños.

Ejercicio 70.8 ★★

El Gran Pirámide de Giza tiene una base cuadrada de lado aproximadamente $230$ m y un altura de aproximadamente $147$ m. Estima su volumen y exprésalo en millones. de metros cúbicos.

Solución

Solución de Ejercicio 70.8.

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147 = 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m $^3$ — alrededor de $2.6$ millones cúbicos metros.

Ejercicio 70.9 ★★★

Se forma un embudo en forma de cono de radio $6$ cm y altura $12$ cm, con el ápice hacia abajo. lleno de agua hasta medio de su altura (medido desde el ápice).

¿Qué fracción del volumen del embudo está lleno?
Si en cambio se llena con medio de su volumen de agua, demostrar que la altura del agua $d$ satisface $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ y entregue $d$ al milímetro ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 70.9.

1. El agua forma un cono escalado por $k = \frac12$ (ápice hacia abajo, medio la altura), por lo que volumen es $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ del embudo: una octava parte, ¡mucho menos que medio!

2. El agua hasta la altura $d$ forma un cono escalado por $k = \frac{d}{12}$ , de volumen $k^3$ veces el del embudo. Medio el volumen significa $k^3 = \frac12$ , es decir $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ . entonces $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ , entonces $d \approx 9.5$ cm: el segundo medio del volumen ocupa sólo la parte superior $2.5$ cm — la parte ancha del cono retiene la mayor parte del agua.

70.5 Problema: la lápida de Arquímedes

Problema 70.1

Problema de fin de semana — la esfera está a dos tercios de su cilindro (dos veces), la pila 1:2:3 y el cubo cuadrado ley que prohíbe los gigantes

Arquímedes demostró muchos teoremas, pero uno lo enorgulleció tanto que pidió que le grabaran en su tumba su cifra: una esfera anidado en su cilindro más apretado. Un siglo después el escritor romano Cicerón, mientras buscaba entre las zarzas cerca de Siracusa, reconoció el tumba “por la esfera y el cilindro”. Este problema recupera lo que codifica la talla — un doble milagro de dos tercios — entonces sigue volúmenes y superficies (Teorema 70.1, Teorema 70.6) a una ley que rige a los gigantes, las hormigas y planetas enfriados.

Parte I — The carving decoded. Una esfera de radio $r$ se encuentra exactamente dentro de una cilindro: lo mismo radio, altura $2r$ .

Calcule el volumen del cilindro en términos de $r$ .
Calcula la relación entre el volumen de la esfera y el cilindro. ¿Por qué le habría gustado a Arquímedes que el ¿La respuesta no contiene $\pi$ ni $r$ ?
Ahora las superficies: compara la superficie de la esfera área con la superficie total del cilindro (parte lateral más las dos tapas). ¿Qué proporción aparece — otra vez?
El espacio vacío entre la esfera y cilindro tiene volumen $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . Demuestra que este sobrante es exactamente igual al volumen de two conos de radio $r$ y altura $r$ .
Se vende una pelota de baloncesto de radio $12$ cm en el formato más ajustado. cilíndrico caja. Calcule volúmenes (al redondeo más cercano) $100$ cm $^3$ ) y el porcentaje del caja que es vacío.

Parte II — Bowls, molds and moons.

Un cuenco semiesférico tiene radio $10$ cm. Calcular su capacidad, en cm $^3$ y en litros (al decilitro).
La pila 1:2:3: un cono, un hemisferio y un cilindro, todos de radio $10$ cm y altura $10$ cm. Calcular el tres volúmenes y verificar la proporción legendaria $1 : 2 : 3$ . (Arquímedes habría apreciado esto uno también.)
Se funde una esfera de chocolate de radio $3$ cm hasta obtener molde cilíndrico de radio $3$ cm. ¿Qué altura tiene el alcance del chocolate? (Exacto fracción, luego al milímetro.)
El radio de la Tierra tiene aproximadamente $6\,371$ km, el de la Luna aproximadamente $1\,737$ km. Calcule la razón de los radios, luego — con Teorema 70.6 — la relación de el volúmenes: cuantas Lunas cabrían en un hueco Tierra, por volumen?
Del mismo teorema: ¿cuál es la relación Tierra-Luna de surface áreas? Y en general, cuando un globo radio se duplica, ¿qué pasa con su volumen y con su superficie? Indique el ley del cuadrado-cubo: como una forma balanza arriba, volúmenes superan las superficies.

Parte III — The square–cube law rules the world.

El argumento de Galileo contra los gigantes: imagina un humano ampliado por un factor $10$ , mismas proporciones. por que ¿En qué factor aumenta el peso (el peso sigue a volumen)? Por ¿En qué factor crece el sección transversal de los huesos? (un área)? ¿Por qué factor entonces el presión en cada centímetro cuadrado de hueso crece — y qué ¿Le pasa al gigante?
La misma ley a la inversa explica la heroicidad de las hormigas: fuerza sigue al músculo sección transversal (un área), el peso sigue volumen. Para un animal $100$ veces más pequeño en cada dirección, ¿por qué factores influyen el peso y la fuerza? se encoge, y ¿por qué factor se reduce la relación resistencia-peso? ¿Mejora la relación?
El calor es producido por el volumen del cuerpo y se pierde a través su superficie. Demuestre que para una esfera la La relación superficie-volumen es $\frac{3}{r}$ y se calcula. para $r = 1$ y $r = 2$ . ¿Qué enfría más rápido, un ratón o un oso — ¿y por qué los bebés necesitan gorros en invierno?
Dos naranjas esféricas de radios $4$ cm y $5$ cm son vendido al mismo precio. Calcule la razón de sus volúmenes: por cuanto mas naranja da el grande el mismo dinero?
Final: describe con precisión lo que representa la figura de la lápida codifica — los dos “dos tercios” de las preguntas 2 y 3 — y responde a Cicerón en una frase: ¿por qué un matemático elige, sobre cada conquista de su genio de la ingeniería, ¿una esfera en un cilindro?

Solución

Solución de Problema 70.1.

1. $V_{\text{cyl}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ .

2. $\dfrac{V_{\text{sphere}}}{V_{\text{cyl}}} = \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$ . El $\pi$ y Cancelar $r^3$ : la proporción es universal — verdadero por una canica y por un planeta. Una relación entre formas, no entre números: exactamente el tipo de verdad que vale la pena grabar piedra.

3. Esfera: $4\pi r^2$ . Cilindro: laterales $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$ , más dos tapas $2 \times \pi r^2$ : total $6\pi r^2$ . Proporción: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — los mismos dos tercios, para superficies. (Y una ventaja adicional: el área de la esfera es exactamente igual lateral área del cilindro.)

4. Sobrantes: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 = \frac23 \pi r^3$ . Dos conos de radio $r$ y altura $r$ : $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$ . Igual.

5. Bola: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm $^3$ ; caja: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm $^3$ . Vacío: un tercio del caja, aproximadamente $33\,\%$ — garantizado por pregunta 2, cualquiera que sea el tamaño de la pelota.

6. Medio una esfera: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times 1\,000 \approx 2\,094$ cm $^3 \approx 2.1$ L.

7. Cono: $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 = \frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm $^3$ . Hemisferio: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm $^3$ . Cilindro: $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm $^3$ . Relaciones: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3} = 1 : 2 : 3$ exactamente.

8. $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ da $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm exactamente.

9. Radios: $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$ . Volúmenes escala como cubo (Teorema 70.6): $3.67^3 \approx 49$ . En la Tierra caben unas cincuenta Lunas.

10. Superficies escala como el cuadrado: $3.67^2 \approx 13.5$ . Duplicar el radio de un globo multiplica su volumen por $2^3 = 8$ pero su superficie es solo $2^2 = 4$ : a medida que las cosas crecen, volumen (peso, contenido, calor producido) supera a la superficie (piel, material, calor perdido) — la ley del cuadrado-cubo.

11. Peso: $\times 10^3 = 1\,000$ . hueso sección transversal: $\times 10^2 = 100$ . Presión — peso por área de hueso: $\times \frac{1000}{100} = 10$ . Huesos construidos para La presión humana recibe diez veces más: el esqueleto del gigante. se rompe por su propio peso. Los gigantes son geométricamente. imposible; los animales grandes necesitan huesos desproporcionadamente gruesos (compare las patas de un elefante con las de una gacela).

12. Peso: $\div 100^3 = 10^6$ . Fuerza (músculo sección transversal): $\div 100^2 = 10^4$ . Fuerza-peso: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$ . La hormiga se levanta cincuenta veces su peso no es el de un súper atleta, es simplemente pequeño; un un humano reducido al tamaño de una hormiga podría hacer lo mismo.

13. $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3} = \dfrac{3}{r}$ : para $r = 1$ la relación es $3$ , para $r = 2$ es es $1.5$ — reducir el tamaño a la mitad duplica la superficie disponible por unidad de volumen productor de calor. Los cuerpos pequeños sangran calor: el ratón debe comer constantemente, el oso puede hibernar y el bebé — esfera pequeña, grande $\frac Sr$ — necesita el sombrero.

14. $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx 1.95$ : la naranja grande contiene casi dos veces la fruta para el mismo precio. Comprar radio.

15. El grabado dice: esfera $= \frac23$ del cilindro en volumen, y $\frac23$ en total superficie — dos proporciones exactas y universales que unen la sólido más redondo al más simple. La respuesta de Cicerón: porque un El teorema es el único monumento que ni los ejércitos ni los siglos erosionar — Las máquinas de Arquímedes ardieron con Siracusa, pero el dos tercios siguen siendo exactamente dos tercios.