59Puntos medios y paralelos

Solución de Problema 59.1.

1. Cualquiera que sea el triángulo que se dibuje, aparecen las tres medianas pasar por un solo punto, situado dentro del triángulo, visiblemente más cerca del punto medio de cada lado que del opuesto vértice. El resto del problema lo demuestra.

2. Tome la mediana $[AK]$ del triángulo $ABC$: la los triángulos $ABK$ y $AKC$ tienen bases $BK$ y $KC$ de la misma longitud ($K$ es el punto medio de $[BC]$) transportada por la misma línea $(BC)$, y la misma altura: la distancia de $A$ a $(BC)$. Según la fórmula área, cada uno tiene área base $\times$ altura $\div\ 2$, con bases iguales e iguales alturas: las áreas son iguales. Para un triángulo de área $36$ cm$^2$: dos piezas de $18$ cm$^2$ cada una.

3. $I$ y $J$ son los puntos medios de los lados $[AB]$ y $[AC]$ del triángulo $ABC$, así por Teorema 59.1: $(IJ) \parallel (BC)$ y $IJ = \frac{BC}{2}$.

4. $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $[GB]$ y $[GC]$ del triángulo $GBC$, entonces por el mismo teorema: $(MN) \parallel (BC)$ y $MN = \frac{BC}{2}$.

5. Tanto $(IJ)$ como $(MN)$ son paralelo a $(BC)$, por lo tanto paralelo entre sí; y $IJ = \frac{BC}{2} = MN$. el cuadrilátero $IJNM$ tiene por lo tanto dos lados opuestos, $[IJ]$ y $[NM]$, paralelo y de la misma longitud: por el criterio 3 de Teorema 52.9, $IJNM$ es un paralelogramo.

6. $G$ se encuentra en la mediana $[CI]$ y $N$ es la punto medio de $[GC]$, un segmento llevado por esa misma línea mediana: entonces $I$, $N$ (y $G$, $C$) se encuentran en $(CI)$. Asimismo $J$, $M$ y $G$ se encuentran en la línea mediana $(BJ)$. En el paralelogramo $IJNM$, las diagonales son $[IN]$ y $[JM]$; son llevados por las dos líneas medianas, que se cruzan en $G$ — entonces las diagonales cruce en $G$. Por el definición de un paralelogramo (criterio 1 de Teorema 52.9: las diagonales tienen el mismo punto medio), $G$ es el punto medio de $[IN]$ y de $[JM]$: $GI = GN$ y $GJ = GM$.

7. $M$ es el punto medio de $[GB]$, por lo que $BM = MG$; y $MG = GJ$ por la pregunta 6. Por lo tanto $BM = MG = GJ$: la pieza mediana $[BJ]$ se corta en tres partes iguales, de las cuales $BG$ toma dos:

Simétricamente, $N$ es el punto medio de $[GC]$ y $GN = GI$, por lo que $CN = NG = GI$ y $CG = 2 \times GI$: en la mediana $[CI]$ también, El punto de cruce se encuentra a dos tercios del camino desde vértice.

8. El argumento no usó nada especial sobre la pareja. $[BJ]$, $[CI]$: ejecuta el par $[BJ]$, $[AK]$, muestra sus El punto de cruce también se encuentra en $[BJ]$ a dos tercios del camino desde $B$. Pero solo hay un punto uno del segmento $[BJ]$ en distancia $\frac23 BJ$ desde $B$ — por lo que el punto de cruce de $[BJ]$ y $[AK]$ es el mismo $G$. Las tres medianas por lo tanto pasa por $G$: son concurrente.

9. $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm y $GJ = \frac13 \times 9 = 3$cm.

10. Para la pregunta 8 se cumple el mismo cálculo de dos tercios en la mediana $[AK]$ (ejecute el argumento de las preguntas 4–7 con el par $[AK]$, $[BJ]$): $AG = 2 \times GK$.

11. En el triángulo $GBC$, el punto $K$ es el punto medio del lado $[BC]$, por lo que $[GK]$ es una mediana de $GBC$; por pregunta 2, los triángulos $GBK$ y $GKC$ tienen igual áreas.

12. La mediana $[AK]$ corta a $ABC$ en $ABK$ y $AKC$ de igual áreas (pregunta 2). Quitando de cada uno su pequeño triángulo. de la pregunta 11:

y el áreas eliminado son iguales, por lo que $\text{area}(ABG) = \text{area}(ACG)$. El mismo cálculo a lo largo de la mediana $[BJ]$ — que divide a la mitad $ABC$ en $ABJ$ y $CBJ$, mientras que $[GJ]$, una mediana del triángulo $GAC$, lo divide por la mitad en $GAJ$ y $GCJ$ — da $\text{area}(ABG) = \text{area}(CBG)$. Entonces los tres triángulos $ABG$, $BCG$, $CAG$ tienen igual áreas, y como juntos baldosa $ABC$, cada una tiene área un tercio del total.

13. En el triángulo $ABG$, el punto $I$ es el punto medio del lado $[AB]$, por lo que $[GI]$ es una mediana de $ABG$ from the vértice $G$: corta a $ABG$ en dos triángulos de igual áreas (pregunta 2), a saber, $AIG$ y $IBG$. Lo mismo sucede en $BCG$ (mediana $[GK]$) y en $CAG$ (mediana $[GJ]$). Cada tercio de $ABC$ se corta en medio: las seis rebanadas alrededor de $G$ tienen cada una área $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ del triángulo.

14. En la mediana $[AK]$, de $A(0,0)$ a $K(3,3)$: $G$ se encuentra a dos tercios del camino, por lo que sus coordenadas son $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$. encendido la mediana $[BJ]$, de $B(6, 0)$ a $J(0, 3)$: dos tercios de la manera significa sumar dos tercios del desplazamiento ($-6$ horizontalmente, $+3$ verticalmente):

El mismo punto, como prometía la pregunta 8. y $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$, $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$: las coordenadas del centro de gravedad son las promedios de los tres Coordenadas vértices’.

15. En la pregunta 2, se ha colocado un filo de cuchillo a lo largo de una mediana. la misma cantidad de cartón en cada lado (igual áreas), por lo que el El triángulo se equilibra a lo largo de cada una de las tres líneas medianas. un punto del equilibrio debe recaer en las tres líneas de equilibrio a la vez, y por pregunta 8 las tres medianas comparten exactamente un punto: $G$. eso es donde va la punta del lápiz. (Igual áreas en ambos lados es el versión creíble del argumento; el honesto, pesando dónde el cartón se asienta y no solo lo que hay, necesita el calculo integral de la universidad volúmenes — el cual confirma $G$.)