Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

26Líneas y polígonos

Con una regla, una escuadra y un compás, la geometría se convierte en un oficio. Este capítulo enseña las dos posiciones especiales de las líneas — perpendicular y paralelo — a nivel de herramienta, y realiza un recorrido por la familia polígono. (La teoría de estas nociones entra en juego Capítulo 40.)

26.1 Perpendicular y paralela

Definición 26.1 (Perpendicular, paralela)

Dos líneas son perpendicular cuando se cruzan en ángulo recto (comprobado con la escuadra, marcado con un cuadrito). Dos líneas son paralelo cuando corren en la misma dirección y nunca se cruzan — como los dos carriles de una vía, siempre a la misma distancia entre sí.

Método 26.2 (Dibujo con la escuadra)

Perpendicular to a line $d$ through a point $P$ : colocar un borde del ángulo recto a lo largo de $d$ , deslice hasta que el otro borde llegue a $P$ , dibujar.

Paralelo to $d$ through $P$ : coloque el borde de la escuadra a lo largo $d$ , presione la regla contra otro borde a modo de riel, deslice el conjunto cuadrado a lo largo de la regla hasta $P$ , dibuje.

Las dos construcciones. Líneas paralelas mantiene una brecha constante: medir la brecha en dos lugares es una buena verificación.

Ejemplo 26.3 (Observándolos en cifras)

En un rectángulo, cada lado es perpendicular con respecto a sus dos vecinos y paralelo al lado opuesto. El papel cuadriculado es una red ya preparada de paralelas y perpendiculares — eso es lo que lo hace así cómodo para dibujar.

26.2 Polígonos

Definición 26.4 (Polígono)

Un polígono es una figura cerrada cuyo borde es hecho de segmentos rectos, su lados; los puntos de las esquinas son el vértices. Los polígonos se nombran por su número de lados: triángulo ( $3$ ), cuadrilátero ( $4$ ), pentágono ( $5$ ), hexágono ( $6$ ), octágono ( $8$ ).

La familia polígono (las pentágono y hexágono dibujadas aquí son regular: lados iguales y esquinas iguales). Un círculo no es un polígono: su borde no está formado por segmentos. — La familia polígono (las pentágono y hexágono dibujadas aquí son *regular*: lados iguales y esquinas iguales). Un círculo no es un polígono: su borde no está formado por segmentos.

Ejemplo 26.5 (Describiendo un polígono)

Un juego útil: describe una figura con tanta precisión que un compañero pueda Vuelve a dibujarlo sin verlo. “A cuadrilátero $ABCD$ con $AB = 5$ cm, el ángulo en $A$ a la derecha, $AD = 3$ cm …” — El vocabulario es lo que hace que el mensaje funcione.

26.3 El círculo y el compás

Definición 26.6 (circulo)

El círculo de centro $O$ y radio $3$ cm es el conjunto de todos apunta exactamente a $3$ cm de $O$ . La brújula lo dibuja: punta en $O$ , apertura $3$ cm, giro. Un diámetro es un segmento que pasa por el centro que une dos puntos del círculo; mide el doble radio.

Ejemplo 26.7 (La brújula como distanciador)

La brújula hace más que dibujar círculos: transporta distancias. Para marcar todos los puntos a $4$ cm desde un punto $A$ , dibuje el círculo de centro $A$ , radio $4$ cm; comparar dos segmentos sin una regla, abre el compás de uno y pruébalo en el otro.

Método 26.8 (Reproduciendo una figura en una cuadrícula)

Elija un vértice inicial y su posición en la cuadrícula en blanco;
recorre la figura vértice por vértice, contando la cuadrícula pasos (“ $3$ derecha, $2$ arriba”);
únete al vértices en orden y compáralo con el modelo: mismas longitudes, mismas direcciones.

26.4 Ceremonias

Ejercicio 26.1 ★

Dibuja una línea $d$ y un punto $P$ que no esté en ella. Construir el perpendicular a $d$ a $P$ , luego paralelo a $d$ a $P$ (con el método regla-carril). Marque el ángulo recto.

Solución

Solución de Ejercicio 26.1.

Construcciones con Método 26.2; la pequeña plaza marca el ángulo recto entre $d$ y perpendicular.

Ejercicio 26.2 ★

Observa las letras mayúsculas E, H, N, T, Z. En cada una, encuentra un par de paralelo trazos y un par de trazos perpendicular cuando existir.

Solución

Solución de Ejercicio 26.2.

E: los tres trazos horizontales son paralelo; cada uno es perpendicular al vertical. H: los dos trazos verticales son paralelo, el la barra transversal es perpendicular para ambos. N: los dos trazos verticales son paralelo; la diagonal no es ninguna de las dos. T: los dos trazos son perpendicular. Z: los trazos superior e inferior son paralelo; el la diagonal no es ninguna de las dos cosas.

Ejercicio 26.3 ★

Nombre cada lado polígono: $6$ ; $4$ lados; $3$ lados; $8$ lados; $5$ lados. ¿Cuantos vértices tiene cada uno?

Solución

Solución de Ejercicio 26.3.

Hexágono; cuadrilátero; triángulo; octágono; pentágono. Un polígono tiene tantos vértices como lados: $6$ , $4$ , $3$ , $8$ , $5$ .

Ejercicio 26.4 ★

Dibuja cualquier pentágono (no necesariamente regular) y etiquétalo como vértices. $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . ¿Cuantos lados tiene? Dibuja su diagonales de $A$ (segmentos que unen $A$ al no vecino vértices): cuantos hay?

Solución

Solución de Ejercicio 26.4.

Un pentágono tiene lados $5$ . De $A$ , los no vecinos son $C$ y $D$ : dos diagonales, $[AC]$ y $[AD]$ .

Ejercicio 26.5 ★

Dibuja un círculo de centro $O$ y radio $4$ cm; a diámetro $[AB]$ ; y un punto $M$ del círculo que no está en $[AB]$ . Indique las longitudes $OA$ , $OM$ y $AB$ sin medir.

Solución

Solución de Ejercicio 26.5.

$OA = 4$ cm (radio); $OM = 4$ cm (cada punto del círculo); $AB = 8$ cm (un diámetro es el doble de radio).

Ejercicio 26.6 ★

Con la brújula como distanciador (Ejemplo 26.7), compara los lados de un triángulo dibujado por un compañero y decide si tiene dos lados iguales.

Solución

Solución de Ejercicio 26.6.

Abra la brújula a lo largo de un lado, luego lleve esa abertura a los dos otros lados: si el tramo de púa y lápiz cabe en un segundo lado exactamente, esos dos lados son iguales.

Ejercicio 26.7 ★

En papel cuadriculado, reproduzca este camino y ciérrelo en un polígono: comenzar en un punto $A$ ; vaya $4$ a la derecha; $2$ arriba; $3$ izquierda; $2$ arriba; luego regresa a $A$ en línea recta. ¿Cómo se llama el polígono? obtienes (cuenta sus lados)?

Solución

Solución de Ejercicio 26.7.

El camino se cierra en un polígono con lados $5$ — un pentágono (no un uno normal!).

Ejercicio 26.8 ★

¿Verdadero o falso? Explica con un dibujo. “Dos lineas perpendiculares siempre se cruzan.” “Dos lineas paralelas nunca se cruzan.” “Una línea puede ser paralelo a una línea y perpendicular a otro."

Solución

Solución de Ejercicio 26.8.

“rectas perpendiculares siempre cruza”: verdadero — se cruzan en el ángulo recto en sí.

“Líneas paralelas nunca cruza”: verdadero — esa es su definición.

“Una línea puede ser paralelo a una línea y perpendicular a another”: true — en papel cuadriculado, una línea horizontal es paralelo para cada línea horizontal y perpendicular a cada línea vertical.

Ejercicio 26.9 ★★

Dibuja una línea $d$ , luego una línea $e$ perpendicular a $d$ , luego una línea $f$ perpendicular a $e$ . Mira $d$ y $f$ : ¿qué notas? (Esta observación se convierte en un teorema en Capítulo 40).

Solución

Solución de Ejercicio 26.9.

Las líneas $d$ y $f$ parecen paralelo — y siempre son: dos las líneas perpendicular a la misma línea son paralelo (Proposición 40.3 hace esto oficial).

Ejercicio 26.10 ★★

Describe la siguiente figura con palabras para un compañero de clase, sin mostrar it: un cuadrado de lado $4$ cm, con un círculo de radio $2$ cm centrado en el medio del cuadrado (tocando los cuatro lados). Escribe el Descripción como instrucciones numeradas.

Solución

Solución de Ejercicio 26.10.

Un programa correcto: “1. Dibuja un cuadrado $ABCD$ de lado $4$ cm. 2. Marcar el punto $O$ donde se cruzan sus diagonales. 3. Dibuja el círculo del centro $O$ y radio $2$ cm.” El círculo toca cada lado en su medio.

Ejercicio 26.11 ★★

¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero? ¿A pentágono? ¿A hexágono? Dibuja los tres casos, cuenta con cuidado y describe el patrón que ver.

Solución

Solución de Ejercicio 26.11.

Cuadrilátero: $2$ diagonales. Pentágono: $5$ . Hexágono: $9$ . Cada nuevo vértice agrega más y más diagonales — los conteos crecen más rápido y más rápido ( $+3$ , luego $+4$ , …).