Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

18Formas y ángulos rectos

Cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos: las formas son viejos amigos. Este capítulo los analiza con ojos de geómetra: ¿qué es exactamente? hace que un cuadrado sea un cuadrado? — e introduce la herramienta que decide: la escuadra y su ángulo recto.

18.1 El ángulo correcto

Definición 18.1 (ángulo recto)

A ángulo recto es el ángulo de esquina de un hoja de papel, o de la escuadra. Dos líneas que forman un ángulo recto. son perpendicular. En las figuras, un ángulo recto está marcado con un pequeña plaza en la esquina.

Método 18.2 (Comprobando un ángulo recto)

Coloque la esquina de la escuadra exactamente en la esquina para prueba;
deslice un borde de la escuadra a lo largo de un lado del ángulo;
si el otro lado del ángulo corre exactamente a lo largo del otro borde, el ángulo es correcto — si se abre más o menos, no lo es.

Sólo el primer ángulo es recto — y sólo el cuadrito la marca o la escuadra pueden certificarlo: sólo los ojos son fácilmente engañado.

18.2 Las formas y sus reglas.

Definición 18.3 (Cuadrado, rectángulo, triángulo)

A rectángulo tiene lados $4$ y $4$ ángulos rectos; sus lados opuestos tienen la misma longitud.
A cuadrado es un rectángulo cuyos lados $4$ todos tienen la misma longitud.
A triángulo tiene lados $3$ ; un triangulo rectángulo tiene un ángulo recto.
Se dibuja con el compás un círculo: todos sus puntos están a la misma distancia (el radio) de el centro.

La galería de formas, con sus marcas: cuadritos para correcto ángulos, pequeños ticks para lados iguales.

Ejemplo 18.4 (Por qué son importantes las marcas)

Una forma dibujada ligeramente inclinada puede mirar como un cuadrado sin siendo uno. Las marcas dicen la verdad: $4$ cuadrados en ángulo recto $+$ $4$ marcas de verificación $=$ un cuadrado real. Cuando dibujes, pon las marcas; cuando tu lea una figura, confíe sólo en las marcas y las medidas dadas.

18.3 Dibujo sobre papel cuadriculado

Método 18.5 (Construcciones en retícula)

El papel cuadriculado ofrece ángulos rectos gratis: sus líneas son perpendiculares.

Para dibujar un rectángulo $5$ por $3$ : elija un punto de cruce, cuente $5$ cuadrados hacia la derecha, $3$ cuadrados hacia arriba y cierre la forma a lo largo de las líneas de la cuadrícula;
para comprobar longitudes iguales, contar cuadrados;
los pasos diagonales forman líneas inclinadas: yendo “ $1$ hacia la derecha, $1$ hacia arriba” Dibuja repetidamente una línea $45^\circ$ .

Dos construcciones en la grilla: las líneas de la grilla garantizan la ángulos rectos.

Ejemplo 18.6 (Un programa de construcción)

Una figura se puede describir mediante instrucciones: “1. Dibuja un cuadrado $ABCD$ de lado $4$ cm. 2. Dibuja el círculo con centro $A$ pasando por $B$ .” Siguiendo un programa línea por línea, cualquiera puede volver a dibujar la misma figura, y escribir una te obliga a nombrar cada punto. Pruébalo con un compañero: uno escribe, el otro dibuja.

18.4 Ceremonias

Ejercicio 18.1 ★

En el aula, encuentre (sin medir) tres ángulos rectos y un ángulo que no es correcto. ¿Cómo puedes controlar cada uno?

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

Típico ángulos rectos: las esquinas del tablero, de una hoja de papel, de la puerta. Un ángulo no recto: la apertura de unas tijeras, las manecillas del reloj a la 1 en punto. Cada uno se comprueba con el conjunto. cuadrado (Método 18.2) — nunca solo a simple vista.

Ejercicio 18.2 ★

Dibuja un rectángulo de $6$ cm por $4$ cm con regla y escuadra. marca su ángulos rectos y sus lados iguales.

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

Construcción: un lado de $6$ cm, ángulos rectos en ambos extremos con el escuadra, lados de $4$ cm, cerrar la forma. Marcas: $4$ poco cuadrados en las esquinas, un tick en cada lado $6$ cm, un tick doble en cada lado $4$ cm.

Ejercicio 18.3 ★

Dibuja un cuadrado de lado $5$ cm. ¿Cuántos ángulos rectos tiene? ¿Cuantos lados iguales? Marca todo.

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

Un cuadrado tiene $4$ ángulos rectos y $4$ lados iguales — todos marcados.

Ejercicio 18.4 ★

En papel cuadriculado, dibuja: un cuadrado $4 \times 4$ ; a $7 \times 2$ rectángulo; un triángulo rectángulo con catetos de cuadrados $3$ y $5$ .

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

Construcciones de rejilla; la red garantiza el ángulos rectos, y contar cuadrados garantiza las longitudes.

Ejercicio 18.5 ★

¿Verdadero o falso? Explicar. “Cada cuadrado es un rectángulo.” “Todo rectángulo es un cuadrado.” “Un triángulo puede tener dos ángulos rectos.” (¡Intenta dibujar uno!)

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

“Cada cuadrado es un rectángulo”: verdadero — tiene $4$ correcto ángulos, que es todo lo que pide un rectángulo.

“Todo rectángulo es un cuadrado”: FALSO — a $6 \times 4$ El rectángulo tiene lados desiguales.

“Un triángulo puede tener dos ángulos rectos”: FALSO — los dos Los lados dibujados de los dos ángulos rectos serían perpendiculares al misma línea base, por lo tanto nunca se juntan para cerrar el triángulo.

Ejercicio 18.6 ★

Dibuja un círculo de radio $4$ cm. Marque su centro $O$ , un punto $A$ en el círculo y dibuja el radio $[OA]$ . ¿Cuánto dura $OA$ ? Y si $B$ es otro punto del círculo, ¿cuánto mide $OB$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

$OA = 4$ cm (el radio). $OB = 4$ cm también: cada punto de el círculo está a la misma distancia del centro.

Ejercicio 18.7 ★

Siga este programa: “1. Dibuja un rectángulo $ABCD$ con $AB = 6$ cm y $BC = 3$ cm. 2. Marque el punto $M$ en medio de $[AB]$ . 3. Une $M$ a $C$ y a $D$ .” ¿Qué formas ha tenido el rectángulo? ¿cortar?

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

El rectángulo se corta en tres triángulos: dos triángulos rectángulos ( $AMD$ y $MBC$ , en ángulo recto en $A$ y $B$ ) y el medio triángulo $MCD$ .

Ejercicio 18.8 ★

Ordena las formas: ¿cuál de ellas tiene al menos un ángulo recto? Un cuadrado; un rectángulo (no cuadrado); un triángulo rectángulo; un círculo; el Letra L dibujada con trazos gruesos.

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

Con al menos un ángulo recto: el cuadrado, el rectángulo, la derecha triángulo y la letra L (sus esquinas interior y exterior). el circulo No tiene ningún rincón.

Ejercicio 18.9 ★★

En papel cuadriculado, dibuje un cuadrado inclinado cuyos lados vayan “ $2$ a la derecha, $1$ arriba” (y los giros correspondientes). Cuenta cuadrados para convencerte los cuatro lados tienen la misma longitud.

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

Cada lado cruza “ $2$ derecha, $1$ arriba” (o las versiones giradas “ $1$ derecha, $2$ abajo”, etc.): cada lado es la diagonal de una $2 \times 1$ bloque de cuadrados, por lo que los cuatro tienen la misma longitud.

Ejercicio 18.10 ★★

Escribir un programa de construcción (instrucciones numeradas, puntos nombrados) para: un cuadrado de lado $3$ cm colocado encima de un rectángulo $3$ cm $\times$ $2$ cm, como una casa en su planta baja. prueba tu programa en un compañero de clase.

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

Un programa correcto: “1. Dibuja un rectángulo $ABCD$ con $AB = 3$ cm (abajo) y $BC = 2$ cm. 2. En la parte superior del lado $[DC]$ , dibuja el cuadrado $DCEF$ de lado $3$ cm, fuera del rectángulo.” Cualquier claro, El programa completo, numerado, es correcto. Pruébelo siguiéndolo. palabra por palabra.

Ejercicio 18.11 ★★

¿Cuántos cuadrados puedes encontrar en una cuadrícula $3 \times 3$ de pequeños cuadrados? (Cuente el $1 \times 1$ , el $2 \times 2$ y el $3 \times 3$ unos.)

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

$1 \times 1$ cuadrados: $9$ . $2 \times 2$ cuadrados: $4$ . $3 \times 3$ : $1$ . Total: $9 + 4 + 1 = 14$ cuadrados.