54Multiplicar números negativos

Problema 54.1

Problema del fin de semana — las reglas de signos deducidas de distributividad y la suma alterna $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

La prueba de Teorema 54.1 continuó un patrón y afirmó que "cualquier otra elección rompería la distributividad". esto El problema hace que la afirmación sea exacta: partir únicamente de la distributividad. (Teorema 45.6), probar el reglas de signos — sin imagen, sin patrón, como lo hace el álgebra — luego ponerlos a trabajar en potencias de $-1$ y en un famoso suma con signos alternos. En todo momento, $a$ y $b$ son números relativos; nosotros dar por sentado las reglas de adición de Capítulo 46, que $1 \times a = a$, y que producto se puede calcular en cualquier orden (por lo que la distributividad se aplica a ambos lados de producto).

Parte I — The sign rules are theorems.

1. Demuestre que $0 \times a = 0$ por cada número relativo $a$. (Escriba $0 = 0 + 0$, expanda $(0 + 0) \times a$ y pregunte cuál número, agregado a $0 \times a$, devuelve $0 \times a$).

2. Expanda $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ para mostrar que $(-1) \times a + a = 0$, y concluir que

   $$(-1) \times a = -a :$$

   multiplicar por $-1$ da lo contrario. Comparar con Ejercicio 54.11, que es el caso $a = -1$.

3. Deduce que $(-a) \times b = -(a \times b)$: un signo menos sale de un producto sin cambios.
4. Deduce que $(-a) \times (-b) = a \times b$: dos signos menos cancelar.
5. Cada número relativo es su distancia a cero con un inicio de sesión frente: $a = +d$ o $a = -d$. Explique cómo las preguntas 3 y 4 probar los cuatro casos de la tabla de signos de Teorema 54.1, distancias incluidas.

Parte II — Powers of $-1$.

6. Calcular $(-1)^2$, $(-1)^3$, $(-1)^4$, $(-1)^5$, luego dar, con justificación de Proposición 54.3, el valor de $(-1)^n$ para cada número entero $n \geq 1$.

7. Dar (sin calcular distancia alguna) el signo de

   $$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$$

   y escribe la distancia de este producto como un producto de todo números, sin resolverlo.

8. Muestre que $(-a)^2 = a^2$ y que $(-a)^3 = -a^3$. para cual exponentes ¿sobrevive el signo menos?
9. Utilice las reglas de signos para mostrar que el cuadrado de un relativo El número nunca es negativo, y deduce que no hay número relativo. $x$ satisface $x^2 = -4$.
10. Zoe afirma: “$(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ y más generalmente dos potencias consecutivas de $-1$ siempre se cancelan". ella ¿verdad? Justificar.

Parte III — The alternating suma. Con las reglas de signos aseguradas, podemos calcular sumas que combinen ambas señales. Para un número entero $n \geq 1$, sea

ser el suma de los números enteros de $1$ a $n$ con alternancia signos: el último término es $+n$ cuando $n$ es extraño, $-n$ cuando $n$ es incluso. Entonces $A_1 = 1$ y $A_2 = 1 - 2 = -1$.

11. Calcula $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$ y $A_7$. ¿Qué haces? conjetura?
12. Supongamos que $n$ es incluso. Agrupa los términos de dos en dos, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$, cuenta los pares y demuestra que $A_n = -\frac{n}{2}$.
13. Supongamos que $n$ es extraño. Explique por qué $A_n = A_{n-1} + n$, y deducir de la pregunta anterior que $A_n = \frac{n + 1}{2}$.
14. Calcula $A_{100}$, $A_{101}$ y $A_{2026}$.
15. Alma calculó $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ y fue Me sorprende encontrar exactamente $101$. ¿Debería haberlo sido? Explique en una oración y establezca el valor de $A_{2027} - A_{2026}$ sin ningún cálculo adicional.