Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

35Cubos y Cajas

Saliendo de la página plana: sólidos son las formas del mundo real — dados, cajas de cereales, latas, pelotas. Este capítulo aprende a nombrarlos, cuente sus caras y bordes, desdóblelos en redes y mida su volumen contando el poco cubos. (Las fórmulas Volumen vienen en Capítulo 43.)

35.1 la familia solida

Definición 35.1 (Sólidos y su vocabulario)

Un sólido ocupa espacio. Los lados planos son caras; los rostros se encuentran a lo largo de bordes; los bordes se encuentran en vértices. la familia retratos:

o cubo: $6$ caras cuadradas, $12$ aristas, $8$ vértices;
o caja (prisma rectangular): $6$ caras rectangulares, aristas $12$ , vértices $8$ ;
o cilindro: dos caras de disco y una cara enrollada (una lata);
el pirámide: una base polígono y triángulos que se encuentran en un ápice;
o pelota (esfera): una superficie perfectamente redonda, sin cara, sin filo.

La galería sólido. Las líneas discontinuas muestran bordes oculto — el parte posterior del sólido, visto a través de él.

Ejemplo 35.2 (Contando con el cubo)

Verifique en un troquel: $6$ caras (los números $1$ a $6$ ), $8$ vértices (las esquinas), $12$ bordes (pasa un dedo por ellas: $4$ arriba, $4$ en la parte inferior, $4$ vertical). y $6 + 8 = 12 + 2$ — el mismo patrón curioso se aplica a caja y el pirámide (Ejemplo 62.2 vuelve a él).

35.2 Redes

Definición 35.3 (neto)

Un neto de un sólido es un dibujo plano de todos sus caras, adjunto a lo largo de bordes, que se pliega en sólido — el sólido desenvuelto como un cartón caja aplanado para su reciclaje.

Tres arreglos de seis cuadrados. Los dos primeros se pliegan formando cubo; el tercero no — al doblar, dos cuadrados caen en el mismo rostro y el cubo permanece abierto. ¡Córtalos y pruébalo!

Ejemplo 35.4 (Leyendo una roja)

En un dado, lo opuesto a caras suman $7$ . En un neto, frente a caras están los que están separados exactamente por un cuadrado en una fila (o alrededor de un esquina) — ¡no los vecinos! Marcando los pares en el neto antes Plegar es un gran ejercicio para ver el espacio plano.

35.3 Volumen: contar cubos

Definición 35.5 (volumen contando)

El volumen de un sólido construido a partir de la unidad cubos es el número de cubos que contiene. La unidad puede ser el centímetro cubo (cm $^3$ ) o el medidor cubo (m $^3$ ).

Ejemplo 35.6 (Contando un cuadro capa por capa)

A caja $4$ cubos largo, $3$ ancho, $2$ alto: la capa inferior aguanta $4 \times 3 = 12$ cubos, y hay capas $2$ :

12 \times 2 = 24 \text{ cubes} .

Contar por capas siempre funciona, y demuestra silenciosamente la fórmula $V = L \times w \times h$ de Capítulo 43.

A 4 × 3 × 2 caja de la unidad cubos, contado capa por capa. — A $4 \times 3 \times 2$ caja de la unidad cubos, contado capa por capa.

Ejemplo 35.7 (Mismos cubos, diferentes formas.)

Ocho unidades cubos pueden construir un $2 \times 2 \times 2$ cubo, un palo $8 \times 1 \times 1$ , o una losa $4 \times 2 \times 1$ : tres diferente sólidos, uno volumen ( $8$ cubos). Volumen cuenta el material, no la forma.

35.4 Ceremonias

Ejercicio 35.1 ★

Nombra un objeto real con la forma: cubo; un caja; un cilindro; una pelota; a pirámide.

Solución

Solución de Ejercicio 35.1.

Por ejemplo: un dado (cubo); un cereal caja (caja); una lata (cilindro); un fútbol (pelota); ciertos tejados o los monumentos de Egipto (pirámide).

Ejercicio 35.2 ★

¿Cuántos caras, bordes y vértices tiene un caja? Comprueba el patrón caras $+$ vértices $=$ bordes $+ 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 35.2.

Un caja tiene $6$ caras, $12$ bordes, $8$ vértices — y $6 + 8 = 12 + 2$ . ✓

Ejercicio 35.3 ★

¿Qué caras de un caja son idénticos? (Agrupe los seis caras en pares). ¿Qué tiene de especial el caras del cubo?

Solución

Solución de Ejercicio 35.3.

Los seis caras vienen en tres pares de caras opuestos idénticos. (arriba–abajo, adelante–atrás, izquierda-derecha). En un cubo, los seis caras son cuadrados idénticos.

Ejercicio 35.4 ★

Dibuje un neto de un cubo de lado $2$ cm (use el modelo en forma de cruz de el capítulo), recórtalo y dóblalo.

Solución

Solución de Ejercicio 35.4.

En forma de cruz neto: cuatro cuadrados de $2$ cm seguidos, uno arriba y otro debajo del segundo cuadrado. Doblar el anillo de cuatro forma los lados; los dos cuadrados adicionales cierran la parte superior e inferior.

Ejercicio 35.5 ★

En el neto en forma de cruz de un dado, coloque los números $1$ a $6$ para que el opuesto caras suma $7$ . (Utilice Ejemplo 35.4 para encuentre primero los pares opuestos.)

Solución

Solución de Ejercicio 35.5.

En la cruz neto (cuatro cuadrados seguidos, uno arriba, uno debajo de la segundo), los pares opuestos son: los cuadrados $1$ y $3$ de la fila; cuadrados $2$ y $4$ de la fila; los cuadrados superior e inferior. uno etiquetado correcto: fila $= 1, 2, 6, 5$ ; arriba $= 3$ ; abajo $= 4$ — entonces $1{+}6$ , $2{+}5$ , $3{+}4$ hacen $7$ .

Ejercicio 35.6 ★

Cuente la unidad cubos: a caja $5$ de largo, $2$ de ancho, $3$ de alto; un cubo de lado $3$ ; una pila en forma de L hecha de una losa $3 \times 2 \times 1$ con una losa $1 \times 2 \times 1$ encima.

Solución

Solución de Ejercicio 35.6.

Caja: $5 \times 2 = 10$ por capa, $3$ capas: $30$ cubos. Cubo: $3 \times 3 \times 3 = 27$ . Pila L: $3 \times 2 \times 1 = 6$ plus $1 \times 2 \times 1 = 2$ : $8$ cubos.

Ejercicio 35.7 ★

Un caja contiene exactamente la unidad $12$ cubos en una capa. Da dos posibles formas de capa ( $L \times w$ ), y para cada una, el volumen del caja si tiene $3$ tales capas.

Solución

Solución de Ejercicio 35.7.

Capas de $12$ : por ejemplo $4 \times 3$ o $6 \times 2$ (o $12 \times 1$ ). Con capas $3$ , el volumen es $12 \times 3 = 36$ cubos en todos los casos.

Ejercicio 35.8 ★

Con la unidad $27$ cubos, ¿qué cubo puedes construir? ¿Con $64$ ? (Piensa en la capa cuenta hacia atrás.)

Solución

Solución de Ejercicio 35.8.

$27 = 3 \times 3 \times 3$ : un cubo del lado $3$ . $64 = 4 \times 4 \times 4$ : un cubo del lado $4$ .

Ejercicio 35.9 ★★

Azúcar cubos de lado $1$ cm vienen en un caja $10$ cm de largo, $5$ cm de ancho, $4$ cm de alto (medidas interiores). ¿Cuántos azúcar cubos caben? si un la familia usa $6$ cubos al día, ¿cuántos días dura un caja? (redondo con sensatez)?

Solución

Solución de Ejercicio 35.9.

El caja contiene azúcar $10 \times 5 \times 4 = 200$ cubos. En $6$ por día: $200 = 6 \times 33 + 2$ , por lo que caja dura $33$ días completos (y $2$ cubos quedan para la mañana del día $34$ ).

Ejercicio 35.10 ★★

Se pinta un $3 \times 3 \times 3$ cubo de rojo por fuera y luego se corta en la unidad $27$ cubos. ¿Cuántos cubos pequeños tienen pintura exactamente? $3$ caras? ¿En $2$ ? ¿En $1$ ? ¿En ninguno? (Compruebe: las cuatro cuentas deben sumar hasta $27$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 35.10.

Pintar en $3$ caras: la esquina $8$ cubos. En $2$ caras: los medios del $12$ bordes: $12$ cubos. En $1$ rostro: los centros del $6$ caras: $6$ cubos. En ninguno: el único centro oculto cubo: $1$ . Verificar: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ . ✓