Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

40Líneas, círculos y ángulos

La geometría comienza con una regla, una escuadra y un compás. este capitulo corrige el vocabulario — puntos, segmentos, rayos, líneas, círculos — introduce las dos posiciones especiales de líneas (paralelo y perpendicular), y enseña cómo medir y dibujar ángulos.

40.1 Puntos, segmentos, rectas.

Definición 40.1 (Objetos básicos)

Por dos puntos distintos pasan $A$ y $B$ :

o segmento $[AB]$ : la parte de la línea entre $A$ y $B$ (tiene una longitud, escrita $AB$ );
el rayo $[AB)$ : comienza en $A$ , pasa por $B$ y continúa para siempre;
o línea $(AB)$ : se extiende para siempre en ambos lados. Dos puntos determinan exactamente una recta.

Los puntos de la misma recta se denominan alineado.

Los mismos dos puntos, tres objetos diferentes. Los corchetes dicen lo que se detiene y lo que continúa: [ se detiene, ( continúa. — Los mismos dos puntos, tres objetos diferentes. Los corchetes dicen lo que se detiene y lo que continúa: $[$ se detiene, $($ continúa.

40.2 Rectas paralelas y perpendiculares

Definición 40.2 (Perpendicular, paralela)

Dos líneas son perpendicular cuando cruce en ángulo recto; Escribimos $d_1 \perp d_2$ y marcamos el correcto ángulo con un pequeño cuadrado. Dos líneas son paralelo cuando nunca se encuentran, por lejos que sean están extendidos; escribimos $d_1 \parallel d_2$ .

Un cruce en ángulo recto (marcado con el cuadrito) y dos paralelas: misma dirección, sin punto de cruce.

Proposición 40.3 (Dos datos útiles)

Si dos líneas son perpendicular a una tercera línea, son paralelo entre sí.
Si dos líneas son paralelo, cada línea perpendicular a una es perpendicular al otro.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 40.4 (Dibujo con la escuadra)

Para dibujar perpendicular hasta una línea $d$ que pasa por un punto $P$ :

coloque un borde del ángulo recto de la escuadra a lo largo de $d$ ;
deslice la escuadra a lo largo de $d$ hasta que su otro borde llegue $P$ ;
dibuje la línea a lo largo de ese borde y marque ángulo recto.

Para paralelo a $P$ : dibuje un perpendicular a $d$ , luego el Línea perpendicular a eso hasta $P$ (Proposición 40.3).

40.3 circulos

Definición 40.5 (circulo)

El círculo del centro $O$ y radio $r$ es el conjunto de todos los puntos a la distancia exactamente $r$ de $O$ . Un segmento del el centro del círculo es un radio; a segmento uniendo dos puntos del círculo que pasa por el centro es un diámetro — su longitud es $2r$ ; un segmento que une dos puntos del círculo es un acorde.

Un círculo con un radio [OM], un diámetro [AB] (un acorde por el centro, el doble de largo que el radio) y una cuerda [CD]. — Un círculo con un radio $[OM]$ , un diámetro $[AB]$ (un acorde por el centro, el doble de largo que el radio) y una cuerda $[CD]$ .

Ejemplo 40.6

“Dibujar el círculo de centro $O$ que pasa por $A$ ”: abrir la brújula de $O$ a $A$ — el radio es la distancia $OA$ — y gira. cada El punto de este círculo está a la misma distancia de $O$ que de $A$ .

40.4 Anglos

Definición 40.7 (angulo)

Dos rayos $[AB)$ y $[AC)$ con el mismo punto de partida $A$ forman el ángulo $\widehat{BAC}$ ; el punto $A$ es su vértice (¡siempre la letra del medio!). Los ángulos se miden en grados ( $^\circ$ ), de $0^\circ$ a $360^\circ$ para un total girar. Un ángulo es:

bien si mide $90^\circ$ ;
agudo si mide menos de $90^\circ$ ;
obtuso si mide entre $90^\circ$ y $180^\circ$ ;
derecho si mide $180^\circ$ (los dos rayos forman una línea).

Las cuatro familias de ángulos. El ángulo recto (90) es la referencia: aguda significa más pequeña, obtusa significa más grande. — Las cuatro familias de ángulos. El ángulo recto ( $90^\circ$ ) es la referencia: aguda significa más pequeña, obtusa significa más grande.

Método 40.8 (Medición de un ángulo con transportador)

Coloque el centro del transportador exactamente en el vértice del ángulo;
alinea su línea $0^\circ$ con un lado del ángulo;
leer la graduación cruzada por el otro lado — usando el escala que comienza en $0$ en el lado alineado;
control de cordura con el ojo: un ángulo agudo debe leer menos de $90^\circ$ , uno obtuso más.

Ejemplo 40.9

¡Antes de medir, estima! Un ángulo ligeramente más abierto que la esquina. de una hoja de papel es un poco más de $90^\circ$ ; medio y ángulo recto son $45^\circ$ ; un tercio de un ángulo recto es $30^\circ$ . Si tu transportador dice $150^\circ$ para un ángulo que parece agudo, leíste mal Escala: la medida correcta es $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

40.5 Ceremonias

Ejercicio 40.1 ★

Dibuja tres puntos $A$ , $B$ , $C$ no alineados. Dibuja en diferentes colores: el segmento $[AB]$ , el rayo $[CA)$ , la línea $(BC)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 40.1.

Construcción gratuita. El segmento se detiene en $A$ y $B$ ; el rayo comienza en $C$ y continúa pasando $A$ ; la línea continúa a ambos lados de $B$ y $C$ .

Ejercicio 40.2 ★

¿Verdadero o falso? “ $[AB]$ y $[BA]$ son el mismo segmento.” “ $[AB)$ y $[BA)$ son el mismo rayo.” “ $(AB)$ y $(BA)$ son los misma línea." Explique cada respuesta.

Solución

Solución de Ejercicio 40.2.

“ $[AB] = [BA]$ ”: verdadero — la parte entre los dos puntos no No depende del pedido.

“ $[AB) = [BA)$ ”: FALSO — $[AB)$ comienza en $A$ , $[BA)$ comienza en $B$ ; apuntan en direcciones opuestas.

“ $(AB) = (BA)$ ”: verdadero — ambos nombres describen lo mismo línea ilimitada.

Ejercicio 40.3 ★

Dibuja una línea $d$ y un punto $P$ que no esté en $d$ . Construir con el conjunto cuadrado: perpendicular a $d$ a $P$ , luego paralelo a $d$ hasta $P$ . Describe tus pasos.

Solución

Solución de Ejercicio 40.3.

Pasos: deslice la escuadra a lo largo de $d$ hasta su borde perpendicular pasa por $P$ ; dibuja ese perpendicular, llámalo $p$ . Luego dibuja perpendicular a $p$ a $P$ de la misma manera: por Proposición 40.3 es paralelo a $d$ .

Ejercicio 40.4 ★

Las líneas $a$ y $b$ son perpendicular para una línea $c$ y una cuarta la línea $e$ es perpendicular a $a$ . ¿Qué puedes decir sobre $a$ y $b$ ? ¿Acerca de $e$ y $c$ ? Justifique con Proposición 40.3.

Solución

Solución de Ejercicio 40.4.

$a$ y $b$ son perpendicular en la misma línea $c$ , por lo que $a \parallel b$ (hecho 1). Para $e$ y $c$ : ambos son perpendicular para la misma línea $a$ (se nos dice $e \perp a$ , y $a \perp c$ significa $c \perp a$ también), por lo que el hecho 1 se aplica nuevamente: $e \parallel c$ .

Ejercicio 40.5 ★

Dibuja un círculo de centro $O$ con radio $3$ cm. Coloque un punto $M$ en el círculo, un punto $N$ adentro, un punto $P$ afuera. ¿Qué puedes decir? ¿Acerca de las distancias $OM$ , $ON$ , $OP$ en comparación con $3$ cm?

Solución

Solución de Ejercicio 40.5.

$OM = 3$ cm exactamente ( $M$ está en el círculo); $ON < 3$ cm ( $N$ interior); $OP > 3$ cm ( $P$ exterior).

Ejercicio 40.6 ★

Un círculo tiene diámetro $9$ cm. ¿Cuál es su radio? Otro tiene radio $2.6$ cm: ¿cuál es su diámetro?

Solución

Solución de Ejercicio 40.6.

Radio $= 9 \div 2 = 4.5$ cm. Diámetro $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm.

Ejercicio 40.7 ★

Nombra el ángulo marcado con tres letras, luego clasifícalo (agudo, recto, obtuso, recto): un ángulo de $72^\circ$ en vértice $R$ entre rayos hacia $S$ y $T$ ; un ángulo de $148^\circ$ en vértice $B$ entre rayos hacia $A$ y $C$ ; un ángulo de $90^\circ$ en vértice $O$ entre rayos hacia $M$ y $N$ .

Solución

Solución de Ejercicio 40.7.

$\widehat{SRT} = 72^\circ$ : agudo. $\widehat{ABC} = 148^\circ$ : obtuso. $\widehat{MON} = 90^\circ$ : correcto. (El vértice es siempre el medio carta.)

Ejercicio 40.8 ★

Estima y luego mide con un transportador los tres ángulos de un triángulo que dibujas tú mismo. Suma las tres medidas: ¿qué encuentras? (Guarde su respuesta para Capítulo 51).

Solución

Solución de Ejercicio 40.8.

Las medidas dependen del triángulo dibujado, pero el suma de los tres ángulos siempre está (muy cerca de) $180^\circ$ — pequeño diferencias viene de imprecisión en la medición. Capítulo 51 demuestra que el suma es exactamente $180^\circ$ .

Ejercicio 40.9 ★

Dibuja un ángulo $\widehat{xOy}$ de $65^\circ$ con un transportador, luego un ángulo de $130^\circ$ . ¿Cómo pudiste sacar el segundo del primero? sin el transportador?

Solución

Solución de Ejercicio 40.9.

Construcción gratuita. Para obtener $130^\circ$ de $65^\circ$ sin el Transportador: copie el ángulo $65^\circ$ dos veces, uno al lado del otro ( $65 + 65 = 130$ ), por ejemplo con papel de calco o un ángulo de compás y regla copia.

Ejercicio 40.10 ★★

En un mapa se dibujan dos pueblos $A$ y $B$ . ¿Dónde están los puntos que están en $3$ cm de $A$ y en $2$ cm de $B$ ? hacer un dibujo mostrando cuántos puntos de este tipo puede haber ( $0$ , $1$ o $2$ dependiendo de la distancia $AB$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 40.10.

Los puntos en $3$ cm de $A$ forman el círculo de centro $A$ y radio. $3$ cm; aquellos en $2$ cm de $B$ forman el círculo del centro $B$ y radio $2$ cm. Los puntos requeridos son las intersecciones de los dos. círculos: dos puntos si los círculos se cruzan ( $AB$ estrictamente entre $1$ y $5$ cm), uno si se tocan ( $AB = 5$ cm o $AB = 1$ cm), ninguno si están demasiado separados o uno dentro del otro.

Ejercicio 40.11 ★★

Un reloj marca las 3: ¿cuál es el ángulo entre las dos manecillas? lo mismo pregunta a las 5 en punto y a las 6 en punto. (Un giro completo es $360^\circ$ durante $12$ horas.)

Solución

Solución de Ejercicio 40.11.

Las marcas de hora $12$ dividen el giro completo en $12$ ángulos de $360 \div 12 = 30^\circ$ . A las 3 en punto, las manecillas abarcan las marcas $3$ : $90^\circ$ (un ángulo recto). A las 5: $5 \times 30 = 150^\circ$ . A las 6: $180^\circ$ (un ángulo recto).

Ejercicio 40.12 ★★★

Dibujar un segmento $[AB]$ de $6$ cm. Construya el punto $C$ tal que $AC = BC = 6$ cm, usando sólo el compás, y mide el ángulo $\widehat{CAB}$ . ¿Qué triángulo construiste y qué ¿Conjetura sobre sus ángulos?

Solución

Solución de Ejercicio 40.12.

Dibujar dos arcos de radio $6$ cm centrados en $A$ y en $B$ ; su El punto de cruce es $C$ . Los tres lados miden $6$ cm: el triángulo mide equilátero, y cada ángulo mide $60^\circ$ (la medida confirma eso). Conjetura: un triángulo equilátero tiene tres ángulos iguales de $60^\circ$ .

40.6 Problema: la geometría de la esfera del reloj

Problema 40.1

Problema de fin de semana — ángulos como fracciones de un turno: leerlos en un reloj, cazar los momentos en que las manecillas reunir y dividir un día en un pastel

Un reloj es un transportador que indica la hora: su rostro es un transportador completo turno de $360^\circ$ , cortado por las marcas de doce horas en doce ángulos iguales. Ejercicio 40.11 midió las manos en las 3 y las 6 en punto; este problema construye la teoría completa — incluyendo los momentos en que la mano ni apunta a una marca — responde una pregunta que pocos adultos responden correctamente ("¿con qué frecuencia ¿Dos manos están exactamente una encima de la otra?"), y termina por dividir un día entero en un gráfico circular.

Parte I — fracciones of a turn.

Una vuelta completa mide $360^\circ$ . cuantos grados son medio una vuelta, una cuarto de una vuelta, una doceava de vuelta?
Las marcas de doce horas cortan el reloj rostro en doce ángulos iguales en el centro. cuantos grados hay entre dos marcas vecinas? recuperar la respuesta de Ejercicio 40.11 para las 3 en punto contando marcas.
Indique el ángulo entre las manecillas a la 1 en punto, a la A las 4 y a las 7. (A las 7 en punto las manecillas separe el rostro en dos ángulos; “el ángulo entre las manos” siempre significa la menor.)
El minutero da una vuelta completa en $60$ minutos. como cuantos grados barre por minuto?
La manecilla de las horas viaja de una marca a la siguiente — $30^\circ$ — en $60$ minutos. cuantos grados tiene it ¿barrido por minuto? (A numero decimal, Capítulo 38.)

Parte II — Times when nothing points at a mark.

A las 3:30, el minutero apunta al $6$ . donde exactamente es la manecilla de las horas? Calcula el ángulo de cada mano a partir de la $12$ (medindo en el sentido de las agujas del reloj) y deduzca el ángulo entre las manos.
A las 6:30 mucha gente adivina que las manos están encima de cada una. otro. Primero adivina, luego calcula el ángulo como en cuestión. 6. ¿Quién tenía razón?
Calcula el ángulo entre las manos a las 9:15.
Explique por qué, en algún momento entre la 1:00 y la 1:10, los dos las manos deben estar exactamente una encima de la otra: ¿dónde está la manecilla de minutos en relación con la manecilla de horas a la 1:00, y donde a las 1:10? ¿Qué mano corre más rápido y por qué se asienta? eso?
En doce horas, ¿cuántas veces se sientan las dos manos? exactamente uno encima del otro? (Una reunión ocurre en cada tramo entre horas sucesivas — con uno excepción: ¿qué pasa entre las 11 y las 12? Enumere el tiempos aproximados de reunión y conteo.) ¿Cuántas veces en un todo el día?

Parte III — Angles around a point: pie charts.

Los doce sectores del reloj rostro juntos llenan el rostro: sus ángulos suman $360^\circ$ . Explica por qué esto es cierto para la colección cualquier de ángulos que comparte un vértice y completa una vuelta completa a su alrededor, sin superposición y sin espacio.
Zoe registra su día de $24$ horas: sueño $9$ h, escuela $6$ h, jugar $3$ h, comidas $2$ h, todo lo demás $4$ h. Quiere un gráfico circular: un disco donde cada actividad obtiene un sector, con ángulos proporcionales a los tiempos. ¿Qué fracción del día es cada actividad y cuántas ¿Qué grados obtiene su sector? Comprueba que los cinco ángulos suman a $360^\circ$ .
Describe, paso a paso, cómo dibujar el gráfico circular de Zoe con compás y transportador (Método 40.8): donde el primer radio va, y cómo cada nuevo sector comienza donde el anterior uno termina.
En otro gráfico circular de un día, un sector mide exactamente $90^\circ$ . ¿Qué fracción del disco es eso? y cuantas horas representa?
El final, volviendo al reloj: en $24$ horas, ¿cuántas vueltas completas da la manecilla de las horas? ¿El minutero? el segunda mano? (Una de estas respuestas es más de mil).

Solución

Solución de Problema 40.1.

1. Medio un turno: $360 \div 2 = 180^\circ$ . Acuarto: $360 \div 4 = 90^\circ$ . Un duodécimo: $360 \div 12 = 30^\circ$ .

2. Doce ángulos iguales llenando $360^\circ$ : $30^\circ$ entre marcas vecinas. A las 3 en punto las manecillas span $3$ marcas: $3 \times 30 = 90^\circ$ — a ángulo recto, como encontrado en Ejercicio 40.11.

3. A la 1: $1 \times 30 = 30^\circ$ . en 4 en punto: $4 \times 30 = 120^\circ$ . A las 7 en punto las manecillas abarcan las marcas $7$ en un lado, $7 \times 30 = 210^\circ$ , por lo que El ángulo entre las manos es el otro lado: $360 - 210 = 150^\circ$ .

4. $360^\circ$ en $60$ minutos: $360 \div 60 = 6^\circ$ por minuto.

5. $30^\circ$ en $60$ minutos: $30 \div 60 = 0.5^\circ$ por minuto — medio un grado. La manecilla de las horas se arrastra, el minuto pasos de mano.

6. En los minutos $30$ desde las 3:00, la manecilla de hora ha movió $30 \times 0.5 = 15^\circ$ más allá de $3$ : se ubica exactamente a medio camino entre el $3$ y el $4$ , en $90 + 15 = 105^\circ$ del $12$ . El minutero apunta al $6$ : $180^\circ$ . Ángulo entre las manos: $180 - 105 = 75^\circ$ .

7. El cálculo supera las conjeturas: el minutero está en $180^\circ$ , pero la manecilla de las horas ha salido del $6$ — está en $6 \times 30 + 30 \times 0.5 = 180 + 15 = 195^\circ$ . el angulo entre las manos está $195 - 180 = 15^\circ$ : cerca, pero no en uno encima del otro.

8. Minuto en el $3$ : $90^\circ$ . Manecilla de hora: $9 \times 30 + 15 \times 0.5 = 270 + 7.5 = 277.5^\circ$ . Diferencia: $277.5 - 90 = 187.5^\circ$ , por lo que el ángulo entre manos es $360 - 187.5 = 172.5^\circ$ — casi una recta ángulo.

9. A la 1:00 el minutero ( $0^\circ$ ) es detrás la manecilla de las horas ( $30^\circ$ ). A las 1:10 el minutero ( $60^\circ$ ) es adelante de ello ( $30 + 10 \times 0.5 = 35^\circ$ ). El minutero corre más rápido ( $6^\circ$ por minuto contra $0.5^\circ$ ), por lo que entre la 1:00 y 1:10 se pone al día y pasa la manecilla de hora — en el momento de Al pasar, las dos manos están exactamente una encima de la otra.

10. La misma puesta al día ocurre una y otra vez: el las manos se encuentran exactamente a las 12:00, luego aproximadamente a la 1:05, 2:11, 3:16, 4:22, 5:27, 6:33, 7:38, 8:44, 9:49 y 10:55. el de la reunion se podrían esperar entre 11 y 12 caídas exactamente at 12:00, que ya comienza el próximo redondo — así que en doce horas el las manos coinciden $11$ veces, no $12$ . En un día entero: $22$ veces.

11. Ángulos que comparten un vértice, sin superposición y sin brecha, mosaico de la vuelta completa alrededor de ese vértice: barriendo una vez alrededor el punto pasa por cada ángulo exactamente una vez, y un completo el barrido es $360^\circ$ . Entonces las medidas suman $360^\circ$ — cualquiera que sea el número de ángulos y sus tamaños.

12. Cada hora del día vale $360 \div 24 = 15^\circ$ . Entonces:

\text{sleep } 9 \times 15 = 135^\circ, \quad \text{school } 90^\circ, \quad \text{play } 45^\circ, \quad \text{meals } 30^\circ, \quad \text{other } 60^\circ,

y $135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360^\circ$ : el pastel está lleno, con sin lagunas ni superposiciones (pregunta 11).

13. Dibuja un círculo con el compás y un radio (el línea de salida). Coloque el centro del transportador en el centro de el círculo, su línea $0^\circ$ en el radio, y marque $135^\circ$ ; dibuja el nuevo radio: el sector de suspensión está listo. entonces coloque la línea $0^\circ$ en eso radio y marque $90^\circ$ para la escuela, y así sucesivamente — cada sector comienza donde termina el anterior. Después del último sector se cierra el dibujo. exactamente en el radio inicial.

14. $90^\circ$ es $\frac{90}{360} = \frac14$ del disco (Método 39.7), por lo que representa un cuarto del día: $24 \div 4 = 6$ horas.

15. La manecilla de las horas da una vuelta en $12$ horas: $2$ turnos por día. El minutero, una vuelta por hora: $24$ vueltas. El segundero, una vuelta por minuto: $24 \times 60 = 1\,440$ turnos por día.