Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

49Proporcionalidad

El grado 6 cumplió con las tablas proporcional (Capítulo 44); este capitulo convierte a proporcionalidad en una herramienta de pleno derecho: la regla cruzada para encontrando un cuarto valor, porcentajes y balanza de mapas y modelos. La velocidad, la proporcionalidad más famosa de todas, se estudia en Capítulo 61.

49.1 Reconocer y completar tablas.

Definición 49.1 (Tabla de proporcionalidad)

Una tabla de dos filas es una proporcionalidad mesa cuando los números de la segunda fila son los del primero multiplicados por un número fijo, el coeficiente. Equivalentemente: toda la columna cocientes $\frac{\text{bottom}}{\text{top}}$ son iguales.

Ejemplo 49.2

top	$4$	$10$	$14$
bottom	$6$	$15$	$21$

Cocientes: $\frac64 = 1.5$ , $\frac{15}{10} = 1.5$ , $\frac{21}{14} = 1.5$ : proporcional, coeficiente $1.5$ .

Teorema 49.3 (regla cruzada)

En un tabla de proporcionalidad con las columnas $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ , la cruz productos son iguales:

a \times d = b \times c .

En consecuencia, el cuarto valor se puede calcular a partir de los otros tres: $d = \dfrac{b \times c}{a}$ .

Demostración. Sea $k$ el coeficiente: $b = ka$ y $d = kc$ . entonces

a \times d = a \times kc = k \times ac, \qquad b \times c = ka \times c = k \times ac :

ambos cruzan productos igual a $k \times ac$ . Dividiendo $ad = bc$ por $a$ da la fórmula para $d$ . ∎

Ejemplo 49.4 (Cuarta proporcional)

Si $7$ libros idénticos pesan $2.8$ kg, ¿cuánto pesan $12$ dichos libros? pesar? Regla de tabla y cruz:

books	$7$	$12$
kg	$2.8$	$m$

7 \times m = 2.8 \times 12 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ kg}.

Verificar por unidad: un libro pesa $0.4$ kg, doce pesan $4.8$ kg.

49.2 Porcentajes

Método 49.5 (Aplicar y encontrar porcentajes)

Aplicar $t\,\%$ : multiplicar por $\frac{t}{100}$ ( $12\,\%$ de $350$ es $0.12 \times 350 = 42$ );
encontrar el porcentaje que representa una parte: calcular $\frac{\text{part}}{\text{whole}}$ y reescribir sobre $100$ ( $21$ de $60$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ );
siempre pregunta: ¿un porcentaje de qué? La referencia completa importa.

Ejemplo 49.6

En una escuela, $180$ de los estudiantes $400$ son niñas. Porcentaje:

\frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100} = 45\,\% .

Al revés: ¿cuántos son los chicos $55\,\%$ ? $0.55 \times 400 = 220$ . Verificar: $180 + 220 = 400$ .

49.3 Balanza

Definición 49.7 (Escala)

En un mapa o modelo en escala $\frac{1}{n}$ (escrito $1 : n$ ), las distancias en el mapa son proporcional a las distancias reales, con coeficiente $\frac1n$ :

\text{map distance} = \frac{1}{n} \times \text{real distance},

ambos medidos en el misma unidad.

Ejemplo 49.8

En un mapa $1 : 50\,000$ , dos ciudades están separadas por $7$ cm. Distancia real:

7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ cm} = 3\,500 \text{ m} = 3.5 \text{ km}.

Por el contrario, una ruta de senderismo de $12$ km mide en el mapa $12$ km $= 1\,200\,000$ cm, entonces $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ cm.

A escala es un proporcionalidad: distancias del mapa contra reales las distancias se alinean en una línea recta que pasa por el origen (aquí 1 cm 4 km; los guiones dicen 7 cm 28 km). — A escala es un proporcionalidad: distancias del mapa contra reales las distancias se alinean en una línea recta que pasa por el origen (aquí $1$ cm $\leftrightarrow$ $4$ km; los guiones dicen $7$ cm $\leftrightarrow$ $28$ km).

Observación 49.9

Los gráficos son la prueba más rápida de proporcionalidad (Capítulo 44): los puntos de una recta a través del origen significan cantidades proporcional; una línea a la que le falta el origen (como una tarifa de taxi con cargo fijo) significa no proporcional, incluso aunque es una línea recta. Funciones afines, en Capítulo 67, aclarará esto.

49.4 Ceremonias

Ejercicio 49.1 ★

¿Qué tablas son tablas de proporcionalidad? Dé el coeficiente cuando existe.

	$3$	$7$	$11$
	$7.5$	$17.5$	$27.5$

	$2$	$5$	$9$
	$6$	$15$	$28$

Solución

Solución de Ejercicio 49.1.

Primera tabla: cocientes $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{17.5}{7} = 2.5$ , $\frac{27.5}{11} = 2.5$ : proporcional, coeficiente $2.5$ .

Segunda tabla: $\frac62 = 3$ y $\frac{15}{5} = 3$ , pero $\frac{28}{9} \approx 3.1$ : no proporcional.

Ejercicio 49.2 ★

Completa usando la regla de la cruz, escribiendo el cálculo: $5$ kg de patatas cuestan $6$ euros; ¿Cuánto cuestan $8$ kg?

Solución

Solución de Ejercicio 49.2.

Con la regla cruzada: $5 \times p = 6 \times 8$ , entonces $p = \frac{48}{5} = 9.60$ euros.

Ejercicio 49.3 ★

Una impresora imprime $36$ páginas en $3$ minutos. Al mismo ritmo, ¿cuántas páginas en $5$ minutos? ¿Cuánto duran las páginas $96$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 49.3.

Velocidad: $36 \div 3 = 12$ páginas por minuto. En $5$ minutos: $60$ páginas. Para páginas $96$ : $96 \div 12 = 8$ minutos.

Ejercicio 49.4 ★

Calcular: $30\,\%$ de $250$ ; $15\,\%$ de $60$ ; $t\,\%$ tales que $t\,\%$ de $80$ es $20$ .

Solución

Solución de Ejercicio 49.4.

$30\,\%$ of $250$ : $0.3 \times 250 = 75$ . $15\,\%$ of $60$ : $0.15 \times 60 = 9$ . $t\,\%$ of $80$ is $20$ : $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$ , so $t = 25$ .

Ejercicio 49.5 ★

De los tiros $25$ , un jugador de baloncesto anotó $18$ . ¿Qué es ella? porcentaje de éxito? (Vuelva a escribir fracción sobre $100$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 49.5.

$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} = 72\,\%$ .

Ejercicio 49.6 ★

En un mapa $1 : 25\,000$ , un camino mide $9$ cm. cual es su verdadera longitud en km? Un lago tiene $2$ km de largo: ¿cuánto mide en el mapa?

Solución

Solución de Ejercicio 49.6.

Camino: $9 \times 25\,000 = 225\,000$ cm $= 2.25$ km. Lago: $2$ km $= 200\,000$ cm en el suelo, por lo que $200\,000 \div 25\,000 = 8$ cm en el mapa.

Ejercicio 49.7 ★

Se fabrica un modelo de automóvil en escala $1 : 43$ . El coche real mide $4.3$ m de largo. ¿Cuánto mide el modelo, en cm?

Solución

Solución de Ejercicio 49.7.

$4.3$ m, $= 430$ cm y $430 \div 43 = 10$ cm.

Ejercicio 49.8 ★★

Una receta utiliza $240$ g de chocolate para $8$ porciones. Aline tiene $300$ g de chocolate. ¿Para cuántas porciones es suficiente (entera? número de porciones)?

Solución

Solución de Ejercicio 49.8.

Chocolate por ración: $240 \div 8 = 30$ g. Con $300$ g: $300 \div 30 = 10$ porciones exactas.

Ejercicio 49.9 ★★

El precio de una chaqueta baja de $80$ a $60$ euros.

¿Cuál es el descuento en euros? En porcentaje del original precio?
Posteriormente el precio vuelve a subir de $60$ a $80$ euros. explicar por qué este aumento es no $25\,\%$ — calcule el valor correcto porcentaje de aumento.

Solución

Solución de Ejercicio 49.9.

1. Descuento: $20$ euros, es decir $\frac{20}{80} = 25\,\%$ del precio original.

2. Se compara ahora la subida de $20$ euros con la nuevo referencia $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . un porcentaje siempre se refiere a un todo; todo cambió, por lo que el porcentaje sí lo hace también.

Ejercicio 49.10 ★★

Dos filas de una tabla son proporcional:

	$4$	$x$	$10$
	$y$	$10.5$	$17.5$

Encuentre el coeficiente, luego $x$ y $y$ .

Solución

Solución de Ejercicio 49.10.

Coeficiente de la columna completa: $\frac{17.5}{10} = 1.75$ . entonces $y = 4 \times 1.75 = 7$ y $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$ .

Ejercicio 49.11 ★★★

Una fotocopiadora reduce los documentos a $80\,\%$ de su tamaño. A segmento de $10$ cm, luego se copia nuevamente el Copiar con el misma configuración.

¿Cuánto dura el segmento después de una copia? ¿Después de las dos?
¿Por qué la respuesta después de dos copias no es $60\,\%$ del ¿originales? ¿Qué porcentaje único corresponde a dos ejemplares?

Solución

Solución de Ejercicio 49.11.

1. Después de una copia: $10 \times 0.8 = 8$ cm. Después de dos: $8 \times 0.8 = 6.4$ cm.

2. La segunda reducción se aplica a la copia ya reducida, no al original: los factores se multiplican, $0.8 \times 0.8 = 0.64$ , por lo que dos copias se reducen a $64\,\%$ del original — no $60\,\%$ .

49.5 Problema: medir la Tierra con un palo

Problema 49.1

Problema del fin de semana — las sombras son un proporcionalidad y cómo Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra en 240 aC

Hace veintidós siglos, sin telescopio, sin satélite y sin calculadora, el bibliotecario de Alejandría midió la Tierra — usando un palo, un pozo, una caravana de camellos y los de este capítulo. matemáticas. Este problema vuelve sobre sus pasos: primero el proporcionalidad de sombras, luego el famoso cómputo mismo, y finalmente cómo se ve su respuesta en el humano escala.

Parte I — The shadow of a stick. El sol está tan lejos que sus rayos nos llegan paralelo a uno otro. En un momento dado, todos los objetos verticales y sus las sombras son por lo tanto proporcional.

Al mediodía, un palo vertical de $1$ m proyecta una sombra de $0.4$ m, y la sombra de un árbol mide $3.2$ m. que altura Qué es el árbol (Teorema 49.3)?
En el mismo momento, una torre proyecta una sombra de $26$ m: ¿cómo ¿Qué altura tiene la torre? ¿Y cuánto mide la sombra de un niño? $1.5$ m de altura?
Explique en una frase por qué todos estos cálculos son Válido únicamente el mismo momento del día.
La leyenda dice que Tales midió el Grande Pirámide esperando por el momento su propia sombra era exactamente igual mientras fuera alto. ¿Qué es el proporcionalidad? coeficiente en ese momento, y que altura tiene el pirámide si la punta de su sombra se encuentra a $147$ m desde el punto de el suelo directamente debajo de su vértice?
Resuma la Parte I: en un momento dado, ¿qué cantidad es lo mismo para el palo, el árbol, la torre y el pirámide (Definición 49.1)?

Parte II — Eratosthenes’ computation. Eratóstenes conocía dos hechos. En la ciudad de Syene, al mediodía del solsticio de verano, se puso el sol exactamente por encima: luz del sol llegó al fondo de los pozos más profundos, y se arrojaron palos verticales sin sombra. En Alejandría, $800$ km al norte, en el mismo momento, un palo vertical hizo proyecta una sombra y los rayos del sol formó un ángulo de $7.2^\circ$ con la vertical.

Explique por qué estas dos observaciones juntas prueban que La tierra de Syene y la tierra de Alejandría no son paralelo — es decir, la superficie de la Tierra es curva. (¿Qué le harían los rayos paralelo a dos palos en una superficie plana? ¿Tierra?)
En un dibujo de la Tierra redondo con rayos de sol paralelo, el $7.2^\circ$ en Alejandría reaparece en el centro de la Tierra, como el ángulo entre las direcciones de la dos ciudades. Haz el dibujo y convéncete tú mismo (el La justificación limpia utiliza los pares de ángulos iguales. Capítulo 51).
¿Qué fracción de un turno completo es $7.2^\circ$ ?
El arco de Syene a Alejandría ( $800$ km) corresponde a $7.2^\circ$ ; toda la circunferencia corresponde a $360^\circ$ . Configure el proporcionalidad y calcule el circunferencia de la Tierra.
Deduce el diámetro de la Tierra, usando $\pi \approx 3.14$ (Proposición 43.3) y redondeo para la centena de kilómetros más cercana. (El valor moderno es $12\,742$ km — que tan cerca estaba un hombre con un palo adentro 240 aC?)

Parte III — The Earth at human escala.

Se construye un globo terráqueo en escala $1 : 40\,000\,000$ . Usando el circunferencia encontrada en la pregunta 9, muestran que la La circunferencia del globo es exactamente $1$ m. cual es su diámetro, al centímetro más cercano?
El Mont Blanc se eleva a unos $4.8$ km. Convertir $4.8$ km a centímetros, dividir por $40\,000\,000$ y expresar el Altura de la montaña en el mundo en milímetros. ¿Qué hace? ¿Qué dice la respuesta sobre cuán "baches" es realmente la Tierra?
Un andador recorre $40$ km por día. A ese ritmo, ¿cuántas días para la circunferencia completa de Eratóstenes — y aproximadamente cuantos años son eso?
La atmósfera respirable se concentra aproximadamente en la primeros $10$ km sobre el suelo. ¿Qué porcentaje de la El radio de la Tierra (aproximadamente $6\,370$ km) es ese (Método 49.5)? Redondear al más cercano décima parte de un por ciento.
Los historiadores estiman que el valor anunciado por Eratóstenes, convertido a unidades modernas, puede haber sido aproximadamente $42\,000$ kilómetros. Tomando $40\,000$ km como valor real, calcular su porcentaje de error. concluir en uno frase sobre palos, pozos y proporcionalidad.

Solución

Solución de Problema 49.1.

1. Las alturas y las sombras son proporcional, por lo que según el regla cruzada (Teorema 49.3), con la columna del palo $(1,\ 0.4)$ y el $(h,\ 3.2)$ del árbol: $0.4 \times h = 1 \times 3.2$ , por lo tanto $h = \frac{3.2}{0.4} = 8$ m.

Torre 2.: $\frac{26}{0.4} = 65$ m. La sombra del niño: $1.5 \times 0.4 = 0.6$ m (sombra $=$ altura $\times$ la coeficiente de momento $0.4$ ).

3. A medida que el sol se mueve por el cielo, el coeficiente vincular alturas con cambios de sombras; sólo medidas tomadas en el mismo momento comparten el mismo coeficiente.

4. En ese momento el coeficiente es $1$ : cada altura es igual a su sombra. Por lo tanto, el vértice del pirámide es $147$ m de altura — la altura del Gran Pirámide (su sombra punta, medida desde el punto debajo del ápice, es todo lo que se necesita).

5. La columna cociente $\frac{\text{shadow}}{\text{height}}$ — el proporcionalidad coeficiente del momento — es común a toda vertical objeto: eso es exactamente lo que hace que la tabla de alturas y sombras a tabla de proporcionalidad (Definición 49.1).

6. Llegan los rayos del sol paralelo. En una Tierra departamento, dos rayos paralelo impactarían dos palos verticales al mismo tiempo ángulo: ambos proyectarían sombras proporcional — ambos no sombra, o ambas una sombra. Un palo sin sombra (Syene) y uno con sombra (Alejandría), en el mismo instante, es imposible en una Tierra plana: las dos verticales deben apuntar diferentes direcciones — las curvas de la superficie.

7. En el dibujo, la vertical de Syene apunta recta al sol; la vertical de Alejandría está inclinada por el ángulo entre las dos direcciones de la ciudad, vista desde el centro. desde el los rayos son paralelo, esa inclinación es exactamente la $7.2^\circ$ medida entre rayo y palo en Alejandría.

8. $\frac{7.2}{360} = \frac{72}{3600} = \frac{1}{50}$ : una quincuagésima parte de una vuelta completa.

9. Las longitudes de los arcos son proporcional en ángulos: si $7.2^\circ$ — una quincuagésima parte del giro — corresponde a $800$ km, el giro completo corresponde a

50 \times 800 = 40\,000 \text{ km}.

10. Diámetro $= \frac{\text{circumference}}{\pi} \approx \frac{40\,000}{3.14} \approx 12\,700$ km — en contra el moderno $12\,742$ km: correcto dentro del uno por ciento, con un palo.

11. $40\,000$ km $= 4\,000\,000\,000$ cm, y $4\,000\,000\,000 \div 40\,000\,000 = 100$ cm $= 1$ m de circunferencia. Diámetro: $100 \div 3.14 \approx 32$ cm — a hermoso globo de escritorio.

12. $4.8$ km $= 480\,000$ cm, y $480\,000 \div 40\,000\,000 = 0.012$ cm $= 0.12$ mm. el La montaña más alta de los Alpes mide una décima de milímetro en una Globo terráqueo metro redondo: una mota de polvo. En este escala la Tierra está Más suave que la mayoría de las bolas pulidas.

13. $40\,000 \div 40 = 1\,000$ días, y $1\,000 \div 365 \approx 2.7$ : casi tres años de caminata.

14. $\frac{10}{6\,370} \approx 0.0016$ , eso es aproximadamente $0.2\,\%$ (más precisamente $0.16\,\%$ ): la atmósfera es un piel fina como un susurro en el planeta.

Error 15.: $42\,000 - 40\,000 = 2\,000$ km, y $\frac{2\,000}{40\,000} = \frac{5}{100} = 5\,\%$ . Una frase: con un palo, un pozo, un camino medido y un proporcionalidad, Eratóstenes midió un planeta con un margen de error de unos pocos por ciento — Las matemáticas llegan lejos con muy poco.