Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

23División

Grado 3 dividido con las mesas y el pequeño restos (Capítulo 17); este capítulo instala el completo escrito método — división larga — que maneja cualquier número, grupo de dígitos por grupo de dígitos.

23.1 El método de división larga

Método 23.1 (División larga por un número de un dígito)

Para dividir $749$ por $6$ :

toma el dígito más a la izquierda, $7$ (centenas): $6$ va a $1$ hora en $7$ ; escribe $1$ en el cociente, resta $6$ , resto $1$ ;
reducir el siguiente dígito, $4$ : ahora divide $14$ (decenas): $6 \times 2 = 12$ ; escriba $2$ , resto $2$ ;
bajar el $9$ : dividir $29$ : $6 \times 4 = 24$ ; escribir $4$ , resto $5$ ;
no queda ningún dígito: el cociente es $124$ , el resto $5$ .

Verifique: $6 \times 124 + 5 = 744 + 5 = 749$ y $5 < 6$ .

La división larga de 749 por 6, escrita en su totalidad: cada Aparece la resta, cada dígito permanece en su columna y el gris Las flechas muestran los dígitos que se bajan. — La división larga de $749$ por $6$ , escrita en su totalidad: cada Aparece la resta, cada dígito permanece en su columna y el gris Las flechas muestran los dígitos que se bajan.

Ejemplo 23.2 (Un cero en el consciente)

Divida $618$ por $3$ : centenas, $6 \div 3 = 2$ ; decenas, baja el $1$ : $3$ pasa $0$ veces a $1$ — ¡escribe el $0$ ! — resto $1$ ; unidades, baje el $8$ : $18 \div 3 = 6$ . Cociente $206$ , resto $0$ . Olvidando el medio cero (escribiendo $26$ ) es el error clásico; el cheque $3 \times 26 = 78 \neq 618$ lo detecta inmediatamente.

Ejemplo 23.3 (Estimando el tamaño del cociente)

Antes de dividir $749$ por $6$ , encuadre la respuesta: $6 \times 100 = 600$ y $6 \times 200 = 1\,200$ , por lo que cociente es entre $100$ y $200$ — tendrá tres dígitos. Esta línea La estimación evita la mayoría de errores de dígitos extraviados.

23.2 Elegir lo que pregunta la pregunta

Método 23.4 (Conciente, resto o conciente más uno)

Como en Método 17.5, la historia decide:

“cuantos …completos” o “cuantos cada uno”: el cociente;
“cuantos quedan”: el resto;
“cuántos contenedores se necesitan para todos”: el cociente, más uno si el resto no es cero.

Ejemplo 23.5

Los libros $530$ deben empaquetarse en cajas de $8$ .

530 = 8 \times 66 + 2 .

¿Cuántas cajas lleno? $66$ . ¿Cuántos libros no están completos? caja? $2$ . ¿Cuántas cajas para empacar todo los libros? $67$ . Tres preguntas, una división.

Ejemplo 23.6 (Reparto justo del dinero)

Cuatro amigos comparten equitativamente el coste de un regalo $92$ : $92 \div 4 = 23$ exactamente (resto $0$ ). Cada uno paga $23$ . cuando el resto es cero, la división “sale pareja” y el reparto es perfectamente justo.

23.3 Ceremonias

Ejercicio 23.1 ★

Enmarque cada cociente como en Ejemplo 23.3 (entre los cuales dos números “redondo”?), luego calcula la división larga: $96 \div 4$ ; $87 \div 5$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

$96 \div 4$ : entre $4 \times 20 = 80$ y $4 \times 30 = 120$ , entonces el cociente tiene dos dígitos; la división larga da $24$ , resto $0$ .

$87 \div 5$ : entre $5 \times 10 = 50$ y $5 \times 20 = 100$ ; cociente $17$ , resto $2$ ( $87 = 5 \times 17 + 2$ ).

Ejercicio 23.2 ★

Calcula las divisiones largas y verifica cada una: $672 \div 4$ ; $925 \div 7$ ; $804 \div 6$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

$672 \div 4 = 168$ , resto $0$ (comprobar: $4 \times 168 = 672$ ).

$925 \div 7 = 132$ , resto $1$ (verificar: $7 \times 132 + 1 = 925$ ).

$804 \div 6 = 134$ , resto $0$ (comprobar: $6 \times 134 = 804$ ).

Ejercicio 23.3 ★

Cuidado con el cero (ver Ejemplo 23.2): $816 \div 4$ ; $420 \div 7$ ; $2\,512 \div 5$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

$816 \div 4 = 204$ (el paso de decenas es $1 \div 4$ : cero veces — escriba el $0$ ).

$420 \div 7 = 60$ .

$2\,512 \div 5 = 502$ , resto $2$ (verificar: $5 \times 502 + 2 = 2\,512$ ).

Ejercicio 23.4 ★

Escriba la igualdad de verificación ( $a = b \times q + r$ ) para: $85 \div 9$ ; $1\,000 \div 3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

$85 = 9 \times 9 + 4$ (cociente $9$ , resto $4$ ).

$1\,000 = 3 \times 333 + 1$ .

Ejercicio 23.5 ★

Los huevos $156$ se colocan en cajas de $6$ . ¿Cuántas cajas están llenas?

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

$156 \div 6 = 26$ : se llenan veintiséis casillas, no sobra ninguna.

Ejercicio 23.6 ★

Una cinta de $250$ cm se corta en trozos de $8$ cm. cuantas piezas y que largo sobra?

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

$250 = 8 \times 31 + 2$ : treinta y una piezas y $2$ cm de cinta izquierda.

Ejercicio 23.7 ★

Estudiantes $375$ van a un espectáculo en autobuses de plazas $52$ . cuantos autobuses son necesarios? (¿Qué caso de Método 23.4 ¿es esto? Dividir por $52$ usando múltiplos: $52 \times 7 = 364$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

$375 = 52 \times 7 + 11$ : siete autobuses transportan estudiantes $364$ , $11$ permanecen — el caso “más uno”: se necesitan autobuses $8$ .

Ejercicio 23.8 ★

Tres amigos comparten canicas $234$ a partes iguales. ¿Cuántas canicas cada una? Compruébalo con una multiplicación.

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

$234 \div 3 = 78$ : cada uno recibe canicas $78$ . Comprobar: $3 \times 78 = 234$ .

Ejercicio 23.9 ★

Encuentre el dividendo: la división entre $7$ da cociente $58$ y resto $3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

Dividendo $= 7 \times 58 + 3 = 406 + 3 = 409$ .

Ejercicio 23.10 ★★

Un bibliotecario almacena libros $438$ , $9$ por estante. Los estantes entran librerías de estantes $6$ . ¿Cuántos estantes se necesitan? cuantos ¿Hay que comprar librerías? (Dos divisiones, ambas con un pregunta "más uno".)

Solución

Solución de Ejercicio 23.10.

Estantes: $438 = 9 \times 48 + 6$ : $48$ estantes completos y libros $6$ más — Se necesitan estantes $49$ . Librerías: $49 = 6 \times 8 + 1$ : ocho librerías completas y un estante extra — Se deben comprar librerías $9$ .

Ejercicio 23.11 ★★

En una división por $8$ , el cociente es igual al resto. que son ¿Los posibles dividendos? Enumérelos todos. (El resto debe permanecer debajo de $8$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 23.11.

Cociente $=$ resto $= r$ con $r < 8$ , entonces $r$ es $0, 1, \dots, 7$ y el dividendo es $8r + r = 9r$ : los posibles dividendos son $0$ , $9$ , $18$ , $27$ , $36$ , $45$ , $54$ , $63$ .