38Números decimales

Solución de Problema 38.1.

1. $3$ es más grande: relleno, $3.000 > 2.999$. el diferencia es $3.000 - 2.999 = 0.001$, una milésima.

2. Estrictamente entre $7.4 = 7.40$ y $7.5 = 7.50$ se encuentran

nueve números, uno por cada nueva marca de graduación.

3. La misma imagen, diez veces más pequeña: entre $7.440$ y $7.450$ mienten $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — nueve números otra vez.

4. Entre $7.400$ y $7.500$, los números con tres los dígitos decimales son $7.401, 7.402, \dots, 7.499$: todos los milésimas de $401$ a $499$, es decir, números $99$.

5. La receta del zoom: escribe ambos números con el mismo número de decimales, entonces añade un decimal más — aterriza el número más pequeño seguido de un dígito de $1$ a $9$ estrictamente entre los dos. De hecho $5.67 = 5.670$ y $5.68 = 5.680$, y

igualmente $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. entre dos graduaciones vecinas siempre hay un nivel completamente nuevo de nueve graduaciones más finas.

6.$3 < 3.05 < 3.1$; luego $3 < 3.005 < 3.01$; entonces $3 < 3.0005 < 3.001$. Cada candidato es superado por un zoom más.

7. Cualquier número que proponga Tom, llámalo suyo. candidato, estrictamente mayor que $3$ — la pregunta 5 produce un número estrictamente entre $3$ y el candidato. Entonces el candidato era no el número más cercano a $3$: algo incluso más cercano existe. Dado que esto le sucede a todos los candidatos sin excepción, ningún número puede ser "el número justo después de $3$": simplemente lo hace no existe.

8. $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$. Y $3 - 2.999 = 0.001$. con veinte nueves, el diferencia es un coma decimal seguido de diecinueve ceros y $1$ — una unidad en el vigésimo decimal: pequeño, pero no cero. Por muchos nueves que escriba Tom, nunca llega a $3$.

9. Los números enteros suben en pasos de $1$: más de $7$ pero menos de $8$ significaría un número entero de unidades estrictamente entre unidades $7$ y $8$, y no hay ninguna. El zoom se escapa esto solo escribiendo los dígitos después del punto — exactamente lo que los números enteros no tienen.

10. La longitud más pequeña redondeada a $3.7$ es $3.65$ cm: su siguiente dígito es $5$, que rondas up (Definición 38.9). Y $3.75$ rondas hasta $3.8$ por la misma razón. Entonces “$3.7$ cm a la décima más cercana” significa: al menos $3.65$ cm, y estrictamente menos de $3.75$ cm — un entero Un segmento ampliado de posibles longitudes reales se esconde detrás de uno. valor redondeado.

11. $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. Una frase: comparando dígito por dígito desde la izquierda, $0.0999$ tiene $0$ décimas mientras que $0.6$ tiene $6$, y ahí se establece la comparación — el El número de dígitos escritos no dice nada sobre el tamaño. (Método 38.3).

12. No: en céntimos, $4.99$ euros es $499$ céntimos y $5$ euros son $500$ céntimos — números consecutivos entero, con nada entre ellos. Los precios, con exactamente dos decimales, son en realidad números enteros de centavos disfrazados: como el conjunto números de la pregunta 9, sí tienen vecinos de al lado. el El zoom sin fin necesita el derecho de escribir cada vez más decimales.

13. Los candidatos cerca de $6$ son $5.82$ y $8.25$ (un número que comienza con $2$, o con $58$, $25$, $82$, $85$, está lejos de $6$). Distancias: $6 - 5.82 = 0.18$ y $8.25 - 6 = 2.25$. El más cercano es $5.82$.

14. Por ejemplo $3.1415$, ya que $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$; entonces $3.14159$, ya que $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (Ambos son pasos reales en el búsqueda real de $\pi = 3.14159\dots$)

15. Supongamos que alguien nombra un número tan grande como como. Un zoom convierte cada par de graduaciones vecinas entre $0$ y $1$ en nueve números nuevos, y el zoom se puede repetido para siempre — las preguntas 2, 3 y 4 fueron solo las primeras dos niveles. Repetirlo suficientes veces produce más decimales numeros entre $0$ y $1$ que el número nombrado. entonces no hay numero es lo suficientemente grande como para contarlos: hay infinitos.