37Números enteros

Problema 37.1

Problema de fin de semana — sumando $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ en diez segundos, y los números triangulares

Una historia famosa: para mantener ocupada a su clase, un maestro de escuela pidió a su los alumnos sumen todos los números desde $1$ hasta $100$. un niño escribió $5\,050$ en su pizarra casi de inmediato — Carl Friedrich Gauss, nueve años, que se convertiría en uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Su secreto no era más que computación inteligente (Ejemplo 37.6): agrupar los términos para que cada grupo es fácil. Este problema redescubre su truco, lo hace funcionar en cada situación, y muestra con qué frecuencia estos sumas aparecen en la vida diaria.

Parte I — Gauss’s pairs.

1. Calcule $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ agrupando términos inteligentemente.
2. Para $1 + 2 + 3 + \dots + 10$: empareje el primer término con el último ($1 + 10$), el segundo con el penúltimo ($2 + 9$), y así sucesivamente. ¿Cuánto vale cada par? cuantos ¿Hay pares? Termina el cálculo.
3. Mismo método para $1 + 2 + \dots + 20$: qué es cada par vale, ¿cuántos pares, qué total?
4. Ahora suma, $1 + 2 + \dots + 100$ del maestro de escuela: explica por qué los pares $1 + 100$, $2 + 99$, $3 + 98, \dots$ son todos valen lo mismo, y por qué hay exactamente $50$ de ellos, siendo el último $50 + 51$.
5. Escribe la respuesta de Gauss como una única multiplicación y calcularlo.

Parte II — A trick that never fails.

6. Prueba el emparejamiento en $1 + 2 + \dots + 9$: esta vez uno El número se queda sin pareja. ¿Cuál? Emparejar alrededor y calcule el suma.

7. Aquí hay una versión del truco que funciona ya sea que el El recuento de términos es incluso o extraño: escriba suma dos veces, una vez. hacia adelante y una vez hacia atrás, una línea debajo de la otra,

   $$\begin{array}{ccccccc} 1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\ 9 & + & 8 & + & \dots & + & 1 \end{array}$$

   y agregue columna por columna. ¿Qué es cada columna? ¿Vale la pena? ¿Cuántas columnas hay? Explique por qué el suma de las dos líneas son $9 \times 10 = 90$ y concluimos que $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — la misma respuesta que en pregunta 6.

8. Utilice el truco de dos líneas para calcular $1 + 2 + \dots + 50$, luego $1 + 2 + \dots + 200$.
9. Calcule el suma de los primeros cien números incluso, $2 + 4 + 6 + \dots + 200$. (Compare cada término con un término del suma de Gauss: no se necesita ningún nuevo emparejamiento).
10. Calcula $101 + 102 + \dots + 200$, utilizando dos sumas ya lo sé y una resta.

Parte III — Números triangulares everywhere. Los totales $1$, $3$, $6$, $10$, $15, \dots$ del sumas $1 + 2 + \dots + n$ se llaman triangular numeros, porque cuentan objetos apilados en un triángulo.

11. Ocho amigos se encuentran y cada uno se da la mano exactamente una vez con cada uno de los demás. Explique por qué el número de apretones de manos es $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ y calculelo.
12. Un tendero construye un pirámide triangular de latas: $12$ latas en la fila inferior, $11$ en la siguiente, y así sucesivamente hasta un solo lata encima. ¿Cuántas latas necesita? (Usa el truco de pregunta 7.)
13. Dibujar el suma $1 + 2 + 3 + 4$ como una escalera de cuadrados: un cuadrado en la primera columna, dos en la segunda, tres en el tercero, cuatro en el cuarto. Mostrar en tu dibujo que dos tales escaleras, una de ellas volteada hacia abajo, encajen exactamente en un rectángulo de $4$ filas de $5$ cuadrados — y explica por qué este es el truco de las dos líneas de la pregunta 7, dibujada en lugar de escrita.
14. Un reloj marca la hora $1$ a la una, $2$ las dos a las dos. en punto, …, $12$ veces a las doce en punto. cuantos huelgas es que durante las doce horas? Y sobre un todo día?
15. Un último para Gauss: $5\,050$ segundos — ¿eso es más o menos? menos de una hora y un medio? Conviértelo en horas, minutos y segundos, usando la división euclidiana (Teorema 37.7) dos veces.