Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

18Vormen en rechte hoeken

Vierkanten, rechthoeken, driehoeken, cirkels: de vormen zijn oude vrienden. Dit hoofdstuk bekijkt ze met een meetkundig oog — wat maakt een vierkant precies tot een vierkant? — en introduceert het hulpmiddel dat beslist: de geodriehoek en zijn rechte hoek.

18.1 De rechte hoek

Definitie 18.1 (Rechte hoek)

Een rechte hoek is de hoek van een vel papier, of van de geodriehoek. Twee lijnen die een rechte hoek maken, zijn loodrecht. In figuren wordt een rechte hoek gemarkeerd met een klein vierkantje in de hoek.

Methode 18.2 (Een rechte hoek controleren)

Leg de hoek van de geodriehoek precies op de te testen hoek;
schuif één zijde van de geodriehoek langs één zijde van de hoek;
als de andere zijde van de hoek precies langs de andere rand loopt, is de hoek recht — als hij breder of smaller opent, is hij het niet.

Alleen de eerste hoek is recht — en alleen het kleine vierkantje, of de geodriehoek, kan het bevestigen: het oog alleen wordt snel bedrogen.

18.2 De vormen en hun regels

Definitie 18.3 (Vierkant, rechthoek, driehoek)

Een rechthoek heeft $4$ zijden en $4$ rechte hoeken; zijn overstaande zijden hebben dezelfde lengte.
Een vierkant is een rechthoek waarvan de $4$ zijden allemaal dezelfde lengte hebben.
Een driehoek heeft $3$ zijden; een rechthoekige driehoek heeft één rechte hoek.
Een cirkel wordt getekend met de passer: al zijn punten liggen op dezelfde afstand (de straal) van het middelpunt.

De vormengalerij, met hun markeringen: kleine vierkantjes voor rechte hoeken, kleine streepjes voor gelijke zijden.

Voorbeeld 18.4 (Waarom markeringen ertoe doen)

Een iets scheef getekende vorm kan eruitzien als een vierkant zonder het te zijn. De markeringen vertellen de waarheid: $4$ recht-hoek-vierkantjes $+$ $4$ streepjes $=$ een echt vierkant. Als je tekent, zet de markeringen; als je een figuur leest, vertrouw alleen de markeringen en de gegeven maten.

18.3 Tekenen op ruitjespapier

Methode 18.5 (Constructies op een raster)

Ruitjespapier biedt gratis rechte hoeken: zijn lijnen zijn loodrecht.

Om een rechthoek $5$ bij $3$ te tekenen: kies een snijpunt, tel $5$ vakjes naar rechts, $3$ omhoog, en sluit de vorm langs de rasterlijnen;
om gelijke lengtes te controleren, tel vakjes;
diagonale stappen maken scheve lijnen: herhaald “ $1$ rechts, $1$ omhoog” tekent een lijn van $45^\circ$ .

Twee constructies op het raster: de rasterlijnen garanderen de rechte hoeken.

Voorbeeld 18.6 (Een constructieprogramma)

Een figuur kan met instructies beschreven worden: “1. Teken een vierkant $ABCD$ van zijde $4$ cm. 2. Teken de cirkel met middelpunt $A$ door $B$ .” Door een programma regel voor regel te volgen, kan iedereen dezelfde figuur natekenen — en één schrijven dwingt je elk punt te benoemen. Probeer het met een partner: de een schrijft, de ander tekent.

18.4 Oefeningen

Oefening 18.1 ★

Zoek in de klas (zonder te meten) drie rechte hoeken en één hoek die niet recht is. Hoe kun je elk controleren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

Typische rechte hoeken: de hoeken van het bord, van een vel papier, van de deur. Een niet-rechte hoek: de opening van een schaar, de wijzers van de klok om $1$ uur. Elk wordt gecontroleerd met de geodriehoek (Methode 18.2) — nooit alleen op het oog.

Oefening 18.2 ★

Teken een rechthoek van $6$ cm bij $4$ cm met liniaal en geodriehoek. Markeer de rechte hoeken en de gelijke zijden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

Constructie: één zijde van $6$ cm, rechte hoeken aan beide uiteinden met de geodriehoek, zijden van $4$ cm, sluit de vorm. Markeringen: $4$ kleine vierkantjes in de hoeken, één streepje op elke $6$ cm-zijde, een dubbel streepje op elke $4$ cm-zijde.

Oefening 18.3 ★

Teken een vierkant van zijde $5$ cm. Hoeveel rechte hoeken heeft het? Hoeveel gelijke zijden? Markeer alles.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

Een vierkant heeft $4$ rechte hoeken en $4$ gelijke zijden — alles gemarkeerd.

Oefening 18.4 ★

Teken op ruitjespapier: een $4 \times 4$ -vierkant; een $7 \times 2$ -rechthoek; een rechthoekige driehoek met benen van $3$ en $5$ vakjes.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

Rasterconstructies; het raster garandeert de rechte hoeken, en vakjes tellen garandeert de lengtes.

Oefening 18.5 ★

Waar of niet waar? Leg uit. “Elk vierkant is een rechthoek.” “Elke rechthoek is een vierkant.” “Een driehoek kan twee rechte hoeken hebben.” (Probeer er één te tekenen!)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

“Elk vierkant is een rechthoek”: waar — het heeft $4$ rechte hoeken, en dat is alles wat een rechthoek vraagt.

“Elke rechthoek is een vierkant”: niet waar — een $6 \times 4$ -rechthoek heeft ongelijke zijden.

“Een driehoek kan twee rechte hoeken hebben”: niet waar — de twee zijden getrokken vanuit de twee rechte hoeken zouden loodrecht op dezelfde basislijn staan, en elkaar dus nooit raken om de driehoek te sluiten.

Oefening 18.6 ★

Teken een cirkel van straal $4$ cm. Markeer het middelpunt $O$ , een punt $A$ op de cirkel, en teken de straal $[OA]$ . Hoe lang is $OA$ ? En als $B$ een ander punt van de cirkel is, hoe lang is $OB$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

$OA = 4$ cm (de straal). $OB = 4$ cm ook: elk punt van de cirkel ligt op dezelfde afstand van het middelpunt.

Oefening 18.7 ★

Volg dit programma: “1. Teken een rechthoek $ABCD$ met $AB = 6$ cm en $BC = 3$ cm. 2. Markeer het punt $M$ in het midden van $[AB]$ . 3. Verbind $M$ met $C$ en met $D$ .” In welke vormen is de rechthoek gesneden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

De rechthoek is in drie driehoeken gesneden: twee rechthoekige driehoeken ( $AMD$ en $MBC$ , rechthoekig in $A$ en $B$ ) en de middelste driehoek $MCD$ .

Oefening 18.8 ★

Sorteer de vormen: welke hebben minstens één rechte hoek? Een vierkant; een (niet-vierkante) rechthoek; een rechthoekige driehoek; een cirkel; de letter L getekend met dikke streken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

Met minstens één rechte hoek: het vierkant, de rechthoek, de rechthoekige driehoek, en de letter L (binnen- en buitenhoeken). De cirkel heeft helemaal geen hoek.

Oefening 18.9 ★★

Teken op ruitjespapier een scheef vierkant waarvan de zijden “ $2$ rechts, $1$ omhoog” gaan (en de bijpassende bochten). Tel vakjes om jezelf te overtuigen dat de vier zijden dezelfde lengte hebben.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

Elke zijde gaat “ $2$ rechts, $1$ omhoog” (of de gedraaide versies “ $1$ rechts, $2$ omlaag”, enz.): elke zijde is de diagonaal van een $2 \times 1$ -blok van vakjes, dus alle vier hebben dezelfde lengte.

Oefening 18.10 ★★

Schrijf een constructieprogramma (genummerde instructies, benoemde punten) voor: een vierkant van zijde $3$ cm bovenop een rechthoek $3$ cm $\times$ $2$ cm, als een huis op zijn begane grond. Test je programma bij een klasgenoot.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

Een correct programma: “1. Teken een rechthoek $ABCD$ met $AB = 3$ cm (onderkant) en $BC = 2$ cm. 2. Bovenop de zijde $[DC]$ , teken het vierkant $DCEF$ van zijde $3$ cm, buiten de rechthoek.” Elk duidelijk, genummerd, volledig programma is correct — test het door het woord voor woord te volgen.

Oefening 18.11 ★★

Hoeveel vierkanten kun je vinden in een $3 \times 3$ -raster van kleine vierkantjes? (Tel de $1 \times 1$ , de $2 \times 2$ en de $3 \times 3$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

$1 \times 1$ -vierkantjes: $9$ . $2 \times 2$ -vierkantjes: $4$ . $3 \times 3$ : $1$ . Totaal: $9 + 4 + 1 = 14$ vierkantjes.