Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

52Centrale spiegeling en parallellogrammen

Draai een figuur een halve slag om een punt: dat is centrale spiegeling, de tweede transformatie van het boek na de spiegelingen van Hoofdstuk 42. Zijn sterfiguur is het parallellogram — de vierhoek die symmetrisch is ten opzichte van het snijpunt van zijn eigen diagonalen.

52.1 Centrale spiegeling

Definitie 52.1 (Spiegelbeeld ten opzichte van een punt)

Het spiegelbeeld van een punt $M$ ten opzichte van een punt $O$ is het punt $M'$ zo dat $O$ het midden is van $[MM']$ . De spiegelbeeldfiguur is wat het origineel wordt na een halve slag ( $180^\circ$ ) om $O$ .

Spiegeling ten opzichte van O: elk punt en zijn beeld zijn gealigneerd met O, op gelijke afstanden aan weerszijden (streepjes). — Spiegeling ten opzichte van $O$ : elk punt en zijn beeld zijn gealigneerd met $O$ , op gelijke afstanden aan weerszijden (streepjes).

Methode 52.2 (Het spiegelbeeld van een punt construeren)

Om het spiegelbeeld $M'$ van $M$ ten opzichte van $O$ te construeren:

teken de rechte $(MO)$ en verleng die voorbij $O$ ;
meet $MO$ (liniaal of passer);
plaats $M'$ op de verlenging met $OM' = OM$ .

Op ruitjespapier: tel de horizontale en verticale stappen van $M$ naar $O$ , en herhaal dezelfde stappen vanuit $O$ om $M'$ te bereiken.

Voorbeeld 52.3 (Op een rooster)

Als $M$ $3$ hokjes links en $1$ hokje omhoog van $O$ ligt, ligt zijn spiegelbeeld $M'$ $3$ hokjes rechts en $1$ hokje omlaag van $O$ : centrale spiegeling keert beide richtingen tegelijk om (een asspiegeling keert er maar één om).

Propositie 52.4 (Wat een halve slag behoudt)

Centrale spiegeling behoudt lengten, hoeken, omtrekken en oppervlakten; het beeld van een rechte is een evenwijdige rechte, het beeld van een lijnstuk is een evenwijdig lijnstuk van dezelfde lengte, het beeld van een cirkel is een cirkel van dezelfde straal (met middelpunt het spiegelbeeld van het middelpunt).

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Opmerking 52.5

Vergelijk met asspiegelingen (Propositie 42.4): beide behouden lengten en hoeken; maar de asspiegeling klapt figuren om (een “b” wordt een “d”), terwijl de halve slag ze leesbaar houdt — ondersteboven (een “b” wordt een “q”). En anders dan een asspiegeling stuurt een halve slag elke rechte naar een evenwijdige rechte.

Definitie 52.6 (Symmetriecentrum)

Een punt $O$ is een symmetriecentrum van een figuur wanneer de halve slag om $O$ de figuur exact op zichzelf stuurt. Bijvoorbeeld hebben de letters S, N, Z een symmetriecentrum; een cirkel heeft er één (zijn middelpunt); een driehoek heeft er nooit één.

52.2 Parallellogrammen

Definitie 52.7 (Parallellogram)

Een parallellogram is een vierhoek waarvan de diagonalen snijden in hun gemeenschappelijk midden. Dat snijpunt is dan een symmetriecentrum van de figuur: elk hoekpunt is het halfslagbeeld van het overstaande hoekpunt.

Stelling 52.8 (Eigenschappen van een parallellogram)

In een parallellogram $ABCD$ met centrum $O$ :

overstaande zijden zijn evenwijdig: $(AB) \parallel (CD)$ en $(BC) \parallel (AD)$ ;
overstaande zijden hebben dezelfde lengte: $AB = CD$ en $BC = AD$ ;
overstaande hoeken zijn gelijk: $\widehat A = \widehat C$ en $\widehat B = \widehat D$ .

Bewijs. De halve slag om $O$ stuurt $A$ naar $C$ en $B$ naar $D$ (definitie: $O$ is het midden van beide diagonalen). Dus stuurt hij het lijnstuk $[AB]$ naar het lijnstuk $[CD]$ ; door Propositie 52.4 is het beeld evenwijdig aan $[AB]$ en van dezelfde lengte: punten 1 en 2. Hij stuurt ook de hoek in $A$ naar de hoek in $C$ , en hoeken blijven behouden: punt 3. ∎

Een parallellogram en zijn centrum O: de diagonalen (rood) snijden elkaar in hun middens, overstaande zijden zijn evenwijdig en gelijk (streepjes). — Een parallellogram en zijn centrum $O$ : de diagonalen (rood) snijden elkaar in hun middens, overstaande zijden zijn evenwijdig en gelijk (streepjes).

Stelling 52.9 (Een parallellogram herkennen)

Een vierhoek (zonder snijdende zijden) is een parallellogram zodra één van de volgende geldt:

zijn diagonalen hebben hetzelfde midden (de definitie);
zijn overstaande zijden zijn twee aan twee evenwijdig;
twee overstaande zijden zijn evenwijdig en van dezelfde lengte.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 52.10

$ABCD$ heeft $(AB) \parallel (CD)$ en $AB = CD = 5$ cm. Criterium 3 past: $ABCD$ is een parallellogram — dus zonder verder te meten weten we ook $AD = BC$ , $(AD) \parallel (BC)$ , en dat zijn diagonalen elkaar in hun midden snijden.

Opmerking 52.11 (Speciale parallellogrammen)

De rechthoek, ruit en vierkant van Hoofdstuk 41 zijn precies de parallellogrammen met een extra eigenschap: gelijke diagonalen (rechthoek), loodrechte diagonalen (ruit), beide (vierkant). Het hoekargument beloofd in Voorbeeld 41.6 werkt nu: in een parallellogram zijn opeenvolgende hoeken supplementair (wissel/overeenkomstige hoeken met de evenwijdigen, Stelling 51.2), dus één rechte hoek dwingt alle vier.

52.3 Oefeningen

Oefening 52.1 ★

Plaats op ruitjespapier $O$ , daarna $M$ vier hokjes rechts van $O$ en één hokje omhoog. Construeer het spiegelbeeld $M'$ van $M$ ten opzichte van $O$ , en het spiegelbeeld van $M$ ten opzichte van de verticale roosterlijn door $O$ . Vergelijk de twee beelden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.1.

Halfslagbeeld: $M'$ ligt vier hokjes links van $O$ en één hokje omlaag (beide richtingen omgekeerd). Spiegelbeeld ten opzichte van de verticale lijn: vier hokjes links maar nog één hokje omhoog. De twee beelden verschillen: ze zijn elkaars verticale spiegelbeelden.

Oefening 52.2 ★

Teken een driehoek $ABC$ en een punt $O$ erbuiten. Construeer zijn beeld $A'B'C'$ door de halve slag om $O$ . Wat kun je zeggen over de lengten $A'B'$ en $AB$ ? Over de rechten $(A'B')$ en $(AB)$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.2.

$A'B' = AB$ (halve slagen behouden lengten) en $(A'B') \parallel (AB)$ (het beeld van een rechte is een evenwijdige rechte, Propositie 52.4).

Oefening 52.3 ★

Welke cijfers, geschreven als op een rekenmachinedisplay ( $0$ tot $9$ ), hebben een symmetriecentrum? Welke hoofdletters onder H, A, N, S, T, Z, O?

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.3.

Rekenmachinecijfers met een symmetriecentrum: $0$ , $2$ , $5$ , $8$ (en $1$ als die als een kale streep getekend is). Letters: H, N, S, Z, O hebben er één; A en T niet (die hebben een as in plaats daarvan).

Oefening 52.4 ★

$KLMN$ is een parallellogram met centrum $O$ met $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm en $\widehat K = 115^\circ$ . Geef, met redenen: $MN$ , $NK$ , $\widehat M$ , en het midden van $[LN]$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.4.

Overstaande zijden gelijk: $MN = KL = 7$ cm en $NK = LM = 4$ cm. Overstaande hoeken gelijk: $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$ . De diagonalen snijden elkaar in hun gemeenschappelijk midden, en dat punt is $O$ : het midden van $[LN]$ is $O$ .

Oefening 52.5 ★

Construeer een parallellogram $ABCD$ uit zijn diagonalen: $AC = 8$ cm en $BD = 5$ cm, snijdend in hun middens met een hoek van $60^\circ$ ertussen. (Teken eerst de diagonalen!)

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.5.

Teken een lijnstuk $[AC]$ van $8$ cm, markeer zijn midden $O$ , teken door $O$ een lijn die $60^\circ$ maakt met $(AC)$ , en plaats $B$ en $D$ erop op $2.5$ cm van $O$ aan weerszijden. Verbind $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : de diagonalen snijden in hun middens, dus $ABCD$ is een parallellogram per definitie.

Oefening 52.6 ★

In een parallellogram meet één hoek $115^\circ$ . Gebruik de opmerking over supplementaire opeenvolgende hoeken en geef de drie andere hoeken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.6.

Opeenvolgende hoeken zijn supplementair: naast $115^\circ$ zit $180 - 115 = 65^\circ$ . Overstaande hoeken zijn gelijk, dus de vier hoeken zijn $115^\circ$ , $65^\circ$ , $115^\circ$ , $65^\circ$ (som $360^\circ$ ).

Oefening 52.7 ★★

Teken $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ en het punt $O(2.5, 2.5)$ . Bereken de coördinaten van de beelden $A'$ en $B'$ door de halve slag om $O$ (gebruik het roostertellen van Voorbeeld 52.3).

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.7.

Van $A(1,1)$ naar $O(2.5, 2.5)$ : $1.5$ rechts en $1.5$ omhoog; doorgaan met hetzelfde: $A'(4, 4)$ . Van $B(4,2)$ naar $O$ : $1.5$ links en $0.5$ omhoog; doorgaan: $B'(1, 3)$ .

Oefening 52.8 ★★

$ABCD$ is een vierhoek waarin $AB = CD$ . Is dat genoeg om er een parallellogram van te maken? Zo niet, schets een tegenvoorbeeld (een gelijkbenig trapezium helpt), en zeg wat aan de hypothese moet worden toegevoegd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.8.

Nee. Een gelijkbenig trapezium heeft zijn twee schuine zijden gelijk zonder een parallellogram te zijn (de twee evenwijdige zijden hebben verschillende lengten). Wat volstaat is criterium 3 van Stelling 52.9: twee overstaande zijden gelijk en evenwijdig.

Oefening 52.9 ★★

Laat $ABC$ een driehoek zijn en $O$ het midden van $[BC]$ . Construeer het spiegelbeeld $A'$ van $A$ ten opzichte van $O$ . Toon dat $ABA'C$ een parallellogram is. (Welk criterium van Stelling 52.9 is hier gratis?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.9.

$O$ is het midden van $[BC]$ per keuze, en het is het midden van $[AA']$ door constructie van het spiegelbeeld. De vierhoek $ABA'C$ heeft diagonalen $[AA']$ en $[BC]$ die het midden $O$ delen: criterium 1 (de definitie) maakt het gratis een parallellogram.

Oefening 52.10 ★★

Waar of onwaar, met een reden: “een vierhoek waarvan de overstaande hoeken twee aan twee gelijk zijn is een parallellogram”; “een parallellogram met loodrechte diagonalen is een ruit”; “een parallellogram met één rechte hoek is een rechthoek”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.10.

“Overstaande hoeken gelijk $\Rightarrow$ parallellogram”: waar (dit is een ander herkenningscriterium; met de hoekensom $360^\circ$ dwingen gelijke overstaande paren supplementaire opeenvolgende hoeken, dus evenwijdige zijden door Stelling 51.2).

“Loodrechte diagonalen $\Rightarrow$ ruit”: waar voor een parallellogram (de diagonalen snijden al in hun middens).

“Eén rechte hoek $\Rightarrow$ rechthoek”: waar — opeenvolgende hoeken zijn supplementair, dus alle vier worden recht.

Oefening 52.11 ★★★

Laat $ABCD$ een willekeurige vierhoek zijn en $I$ , $J$ , $K$ , $L$ de middens van zijn zijden $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . Teken verschillende voorbeelden. Wat lijkt $IJKL$ altijd te zijn? (Het bewijs, met de middenparallellenstelling, komt in Hoofdstuk 59 — en opnieuw met vectoren, in het High School-volume.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.11.

Welke vierhoek ook — zelfs een zeer onregelmatige — de middens $I$ , $J$ , $K$ , $L$ vormen altijd een parallellogram. Het bewijs met de middenparallellenstelling staat in Hoofdstuk 59 (Oefening 59.9).