Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

44Evenredigheid en gegevens

Als drie schriften $6$ euro kosten, kosten zes schriften $12$ : dubbel zoveel schriften, dubbel zoveel geld. Grootheden die zich zo gedragen, zijn evenredig — een van de nuttigste ideeën uit de hele wiskunde, dat in Hoofdstuk 49 verder wordt uitgewerkt. Het hoofdstuk eindigt met het lezen en tekenen van eenvoudige diagrammen.

44.1 Evenredige grootheden

Definitie 44.1 (Evenredigheid)

Twee grootheden zijn evenredig als je de waarden van de ene uit de waarden van de andere krijgt door steeds met hetzelfde getal te vermenigvuldigen; dat getal heet de evenredigheidsconstante.

Voorbeeld 44.2

Schriften van $2$ euro per stuk:

schriften	$3$	$5$	$8$	$12$
prijs (euro)	$6$	$10$	$16$	$24$

Elke prijs is het aantal schriften $\times 2$ : de constante is $2$ (de prijs per stuk). Een snelle controle of een tabel evenredig is: alle “kolomquotiënten” $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ moeten gelijk zijn — hier zijn ze alle $2$ .

Voorbeeld 44.3 (Een tegenvoorbeeld)

Leeftijd en lengte zijn niet evenredig: een kind van $12$ is niet twee keer zo lang als een kind van $6$ . Controleer met getallen: $1.50$ m op $12$ jaar en $1.15$ m op $6$ jaar geven quotiënten $\frac{1.50}{12} = 0.125$ en $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ — niet gelijk.

Methode 44.4 (Een evenredigheidstabel aanvullen)

Drie manieren, die je vrij mag kiezen:

de constante: zoek de vermenigvuldiger uit één volledige kolom en gebruik hem bij de andere;
kolommen: een kolom mag met een getal vermenigvuldigd worden, of twee kolommen mogen opgeteld worden, om een nieuwe kolom te maken;
terug naar één: zoek eerst de waarde voor één stuk en vermenigvuldig daarna.

Voorbeeld 44.5

Vijf dezelfde mokken kosten $15$ euro; wat kosten acht mokken?

Terug naar één: één mok kost $15 \div 5 = 3$ euro, dus kosten acht mokken $8 \times 3 = 24$ euro.

Kolommen: $8 = 5 + 3$ ; drie mokken kosten $\frac{3}{5}$ van $15$ , dus $9$ ; acht mokken kosten dan $15 + 9 = 24$ euro. Hetzelfde antwoord, zoals het hoort.

44.2 Percentages

Definitie 44.6 (Percentage)

“ $t\,\%$ van een hoeveelheid” betekent de breuk $\frac{t}{100}$ ervan: $25\,\%$ van $60$ is $\frac{25}{100} \times 60 = 15$ . Een percentage is een evenredigheid met constante $\frac{t}{100}$ .

Voorbeeld 44.7

Een klas van $30$ leerlingen bestaat voor $40\,\%$ uit meisjes. Het aantal meisjes, stap voor stap: $40\,\%$ betekent $\frac{40}{100} = 0.4$ , en $0.4 \times 30 = 12$ meisjes. Handige ijkpunten: $50\,\%$ is de helft, $25\,\%$ een kwart, $10\,\%$ een tiende — dus is $10\,\%$ van $30$ gelijk aan $3$ , en $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ geeft $4 \times 3 = 12$ : hetzelfde antwoord, uit het hoofd gerekend.

44.3 Diagrammen lezen en tekenen

Methode 44.8 (Een tabel of diagram lezen)

Wat het plaatje ook is — tabel, staafdiagram, lijndiagram:

lees eerst de titel en de eenheden op beide assen;
zoek voor een vraag de juiste staaf of kolom, en lees de waarde zorgvuldig af tegen de streepjes;
vergelijk staven op hoogte — maar controleer of de as bij $0$ begint, anders kan het plaatje misleiden.

Voorbeeld 44.9

Het staafdiagram hieronder toont het aantal boeken dat in één week in de schoolbibliotheek is uitgeleend.

Een staafdiagram: één staaf per dag, met een hoogte gelijk aan het aantal.

Aflezen: de drukste dag is woensdag ( $17$ boeken). Dinsdag en donderdag samen zijn $8 + 6 = 14$ boeken — minder dan vrijdag alleen ( $15$ ). Totaal voor de week: $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ boeken.

Evenredige grootheden hebben een heel goed te herkennen grafiek: de punten liggen op één rechte lijn door de oorsprong (hier schriften van 3 euro per stuk; de stippellijnen lezen de prijs van 6 schriften af: 18 euro). — Evenredige grootheden hebben een heel goed te herkennen grafiek: de punten liggen op één rechte lijn door de oorsprong (hier schriften van $3$ euro per stuk; de stippellijnen lezen de prijs van $6$ schriften af: $18$ euro).

44.4 Oefeningen

Oefening 44.1 ★

Is de tabel evenredig? Verantwoord het door quotiënten uit te rekenen.

kg appels	$2$	$3$	$5$
prijs (euro)	$5$	$7.5$	$12.5$

leeftijd (jaar)	$2$	$4$	$8$
lengte (cm)	$85$	$103$	$130$

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.1.

Appels: quotiënten $\frac52 = 2.5$ , $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — alle gelijk: evenredig (prijs $2.50$ per kg).

Leeftijd en lengte: $\frac{85}{2} = 42.5$ maar $\frac{103}{4} = 25.75$ — niet gelijk: niet evenredig.

Oefening 44.2 ★

Vier croissants kosten $4.80$ euro. Zoek de prijs van één croissant, en daarna die van zeven croissants.

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.2.

Eén croissant: $4.80 \div 4 = 1.20$ euro. Zeven: $7 \times 1.20 = 8.40$ euro.

Oefening 44.3 ★

Vul de evenredigheidstabel aan (eerst de constante!):

liter brandstof	$10$	$25$	$?$	$60$
prijs (euro)	$18$	$?$	$72$	$?$

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.3.

De constante: $18 \div 10 = 1.8$ euro per liter. Dan kost $25$ L $25 \times 1.8 = 45$ euro; voor $72$ euro krijg je $72 \div 1.8 = 40$ L; $60$ L kost $60 \times 1.8 = 108$ euro.

Oefening 44.4 ★

Een auto verbruikt $6$ L brandstof per $100$ km. Hoeveel brandstof voor $250$ km? En voor $350$ km? Hoe ver kan hij komen met $27$ L?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.4.

Voor $250$ km: $2.5$ keer de brandstof van $100$ km, dus $2.5 \times 6 = 15$ L. Voor $350$ km: $3.5 \times 6 = 21$ L. Met $27$ L: $27 \div 6 = 4.5$ honderden km, dus $450$ km.

Oefening 44.5 ★

Reken uit het hoofd, met de ijkpunten van Voorbeeld 44.7: $50\,\%$ van $84$ ; $25\,\%$ van $200$ ; $10\,\%$ van $63$ ; $30\,\%$ van $70$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.5.

$50\,\%$ van $84$ : de helft, $42$ . $25\,\%$ van $200$ : een kwart, $50$ . $10\,\%$ van $63$ : een tiende, $6.3$ . $30\,\%$ van $70$ : $3 \times 7 = 21$ .

Oefening 44.6 ★

Op een school met $450$ leerlingen eet $60\,\%$ in de kantine. Hoeveel leerlingen zijn dat? En hoeveel niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.6.

$60\,\%$ van $450$ : $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ leerlingen eten in de kantine; $450 - 270 = 180$ niet.

Oefening 44.7 ★

Gebruik het staafdiagram van Voorbeeld 44.9: op welke dagen werden er minder dan $10$ boeken uitgeleend? Hoeveel boeken meer werden er op woensdag uitgeleend dan op donderdag?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.7.

Minder dan $10$ boeken: dinsdag ( $8$ ) en donderdag ( $6$ ). Woensdag min donderdag: $17 - 6 = 11$ boeken meer.

Oefening 44.8 ★

De temperaturen om twaalf uur ’s middags waren van maandag tot vrijdag $14$ , $16$ , $13$ , $17$ en $20$ graden. Teken een staafdiagram van deze gegevens (kies zinnige streepjes) en lees de warmste dag af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.8.

Een staafdiagram met vijf staven van hoogte $14$ , $16$ , $13$ , $17$ en $20$ (een streepje per $2$ of per $5$ graden werkt goed). Warmste dag: vrijdag ( $20$ graden).

Oefening 44.9 ★★

Een recept voor $6$ personen vraagt $450$ g bloem en $3$ eieren. Pas het aan voor $10$ personen. (Denk bij de eieren na voordat je een decimaal aantal eieren opschrijft!)

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.9.

Voor $10$ personen vermenigvuldig je met $\frac{10}{6} = \frac53$ : bloem $450 \times \frac{10}{6} = 750$ g. Eieren: $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — gelukkig een heel getal. (Was het dat niet, dan rond je naar boven af om genoeg te hebben.)

Oefening 44.10 ★★

Bij een vaste snelheid rijdt een wielrenster $24$ km in $1$ uur.

Hoe ver komt ze in $2$ u? En in een half uur? En in $1$ u $30$ min?
Hoe lang heeft ze nodig voor $60$ km?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.10.

1. In $2$ u: $48$ km. In een half uur: $12$ km. In $1$ u $30$ : $24 + 12 = 36$ km.

2. $60 \div 24 = 2.5$ uur, dus $2$ u $30$ min.

Oefening 44.11 ★★

Een winkel biedt “ $20\,\%$ korting op alles”. Reken de korting en de nieuwe prijs uit voor: een bal van $15$ euro; een racket van $40$ euro. Is de nieuwe prijs evenredig met de oude prijs? Wat is de constante?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.11.

Bal: korting $20\,\%$ van $15 = 3$ euro, nieuwe prijs $12$ euro. Racket: korting $8$ euro, nieuwe prijs $32$ euro. De nieuwe prijs is in elk geval $80\,\%$ van de oude: evenredig, met constante $0.8$ .

Oefening 44.12 ★★★

Twee kaarsen van dezelfde hoogte worden op hetzelfde moment aangestoken. De dikke brandt in $6$ uur volledig op, de dunne in $4$ uur, elk met haar eigen vaste snelheid. Na hoeveel tijd is de dunne kaars precies half zo hoog als de dikke? (Schrijf de resterende hoogtes na $t$ uur als breuken van de beginhoogte.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.12.

Na $t$ uur heeft de dikke kaars $\frac t6$ van haar hoogte opgebrand: ze staat op $1 - \frac t6$ van de beginhoogte; de dunne op $1 - \frac t4$ . We willen

1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{dus}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}.

Dan is $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$ , dus $t = 3$ uur. Controle: na $3$ u staat de dikke kaars op $1 - \frac36 = \frac12$ en de dunne op $1 - \frac34 = \frac14$ — inderdaad de helft daarvan.

44.5 Opgave: kaarten, plattegronden en hoe je liegt met een diagram

Probleem 44.1

Weekendopgave — de schaal van een kaart is een evenredigheid: lengtes volgen de constante, oppervlaktes haar kwadraat, en slecht getekende diagrammen bedriegen het oog

Elke kaart, plattegrond en maquette volgt één regel: echte lengtes en getekende lengtes zijn evenredig (Definitie 44.1). De constante heeft een beroemde naam — de schaal — en er zitten twee valstrikken in verstopt die deze opgave met opzet laat toeslaan: oppervlaktes volgen de schaal niet, en percentages hangen, net als diagrammen, volledig af van waartegen ze gemeten worden.

Deel I — Een kaart lezen. Een wandelkaart heeft schaal $1:100\,000$ : elke centimeter op de kaart staat voor $100\,000$ centimeter op de grond.

Zet $100\,000$ cm om in kilometers. Waar staat $1$ cm van deze kaart voor, in km?
Twee dorpen liggen op de kaart $7.5$ cm van elkaar; de oever van een meer is een kromme van $12$ cm. Geef de echte afstanden.
Een kaarsrechte Romeinse weg is $20$ km lang. Hoe lang is hij op de kaart?
Een tweede kaart kondigt “ $1$ cm voor $5$ km” aan. Schrijf haar schaal in de vorm $1: \,?$ . Welke van de twee kaarten toont meer detail voor hetzelfde gebied?
Maak een klein tabelletje (kaartafstand $1$ , $2$ , $7.5$ cm tegen echte afstand) voor de wandelkaart, en leg uit waarom een schaal precies een evenredigheid is in de zin van Definitie 44.1. Wat is de constante die centimeters-op-de-kaart in kilometers omzet?

Deel II — De plattegrond van Zoë’s slaapkamer. Zoë tekent een plattegrond van haar slaapkamer — een rechthoek van $4$ m bij $3$ m — op schaal $1:50$ .

Wat zijn de afmetingen van de kamer op de plattegrond?
Haar bed meet $2$ m bij $0.9$ m, en de deuropening is $80$ cm breed. Geef alle drie de maten op de plattegrond.
Nu de valstrik. Reken de echte oppervlakte van de kamer in m $^2$ uit, en daarna de oppervlakte van de plattegrond in cm $^2$ . Zet de echte oppervlakte om in cm $^2$ (Definitie 43.5) en deel door de oppervlakte van de plattegrond: is het quotiënt $50$ ?
Verklaar het getal dat je vond: op een plattegrond $1:50$ staat elke vierkante centimeter papier voor een echt vierkant van $50$ cm bij $50$ cm. Hoeveel echte cm $^2$ is dat? Formuleer de regel: als lengtes door $50$ gedeeld worden, worden oppervlaktes gedeeld door …
Een rond vloerkleed bedekt $6$ cm $^2$ op de plattegrond. Welke echte oppervlakte bedekt het, in cm $^2$ en daarna in m $^2$ ?

Deel III — Hoe je liegt met een diagram (en met een percentage).

Een winkel verkocht op zaterdag voor $105$ euro en op zondag voor $110$ . De eigenaar tekent een staafdiagram waarvan de verticale as bij $100$ begint: de staaf van zaterdag stijgt $5$ kleine eenheden, die van zondag $10$ . Wat suggereert het plaatje over zondag, en wat is de waarheid? (Reken de stijging van zondag uit als percentage van zaterdag, op het hele procent.) Welke waarschuwing van Methode 44.8 heeft de eigenaar genegeerd?
Teken (of beschrijf) het eerlijke diagram, met de as beginnend bij $0$ : hoe verhouden de twee staven zich nu?
Een verzameling groeit van $40$ naar $60$ postzegels: reken de groei uit als percentage van de beginwaarde. Daarna krimpt ze weer van $60$ naar $40$ : reken de daling uit als percentage van haar beginwaarde. Waarom zijn de twee antwoorden verschillend, voor dezelfde $20$ postzegels?
Uitverkoop: een jas van $100$ euro krijgt “ $20\,\%$ korting”, en aan de kassa nog eens “ $10\,\%$ korting op de verlaagde prijs”. Reken de eindprijs stap voor stap uit. Is de totale korting $30\,\%$ ? Leg de koper uit wat het echt is.
Finale, terug op de kaart van vraag 4 ( $1$ cm voor $5$ km): een bos beslaat $3$ cm $^2$ op die kaart. Wat is zijn echte oppervlakte, in km $^2$ ? Besluit met de regel van deze hele opgave: lengtes volgen de schaal, oppervlaktes haar …

Oplossing

Oplossing van Probleem 44.1.

1. $100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= 1$ km: één centimeter op de kaart is één kilometer op de grond.

2. $7.5$ cm $\rightarrow 7.5$ km tussen de dorpen; $12$ cm $\rightarrow 12$ km meeroever.

3. $20$ km $\rightarrow 20$ cm op de kaart.

4. $5$ km $= 500\,000$ cm, dus is de schaal $1:500\,000$ . De wandelkaart ( $1:100\,000$ ) is de meest gedetailleerde: die gebruikt $5$ cm papier waar de andere er maar $1$ cm aan besteedt.

kaart (cm)	$1$	$2$	$7.5$
echt (km)	$1$	$2$	$7.5$

Echte afstand $=$ kaartafstand $\times 1$ (in deze eenheden): altijd dezelfde vermenigvuldiger, en dat is precies de definitie van evenredigheid (Definitie 44.1). De constante is hier $1$ kilometer per centimeter.

6. $4$ m $= 400$ cm en $400 \div 50 = 8$ ; $3$ m $= 300$ cm en $300 \div 50 = 6$ : de plattegrond toont een rechthoek van $8$ cm $\times$ $6$ cm.

7. Bed: $200 \div 50 = 4$ cm bij $90 \div 50 = 1.8$ cm. Deuropening: $80 \div 50 = 1.6$ cm.

8. Echte oppervlakte: $4 \times 3 = 12$ m $^2$ . Oppervlakte van de plattegrond: $8 \times 6 = 48$ cm $^2$ . Omgezet: $12$ m $^2 = 12 \times 10\,000 = 120\,000$ cm $^2$ , en

120\,000 \div 48 = 2\,500 .

Het quotiënt is niet $50$ maar $2\,500 = 50 \times 50$ .

9. Eén cm $^2$ papier staat voor een echt vierkant van $50$ cm bij $50$ cm, en dat bevat $50 \times 50 = 2\,500$ cm $^2$ . Worden lengtes dus door $50$ gedeeld, dan worden oppervlaktes door $50 \times 50 = 2\,500$ gedeeld: oppervlaktes volgen het kwadraat van de schaal.

10. $6 \times 2\,500 = 15\,000$ cm $^2$ , en $15\,000 \div 10\,000 = 1.5$ m $^2$ .

11. Het plaatje suggereert dat er op zondag twee keer zoveel verkocht is (een staaf van dubbele hoogte). De waarheid: de stijging is $5$ euro op $105$ , en $5 \div 105 \approx 0.048$ : ongeveer $5\,\%$ meer, niet $100\,\%$ meer. De eigenaar negeerde de waarschuwing om te controleren of de as bij $0$ begint (Methode 44.8).

12. Met de as vanaf $0$ stijgen de staven tot $105$ en $110$ kleine eenheden: twee staven van bijna dezelfde hoogte, het eerlijke plaatje van een verschil van $5\,\%$ .

13. Omhoog: de groei is $20$ postzegels vanaf een start van $40$ : $\frac{20}{40} = 50\,\%$ . Omlaag: de daling is $20$ postzegels vanaf een start van $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Dezelfde $20$ postzegels, verschillende beginwaarden — een percentage is altijd een breuk van iets, en dat “iets” is veranderd.

14. Na $20\,\%$ korting: $100 - 20 = 80$ euro. De extra $10\,\%$ geldt voor $80$ : korting $8$ euro, eindprijs $72$ euro. Totale korting: $28$ euro op $100$ , dus $28\,\%$ — geen $30\,\%$ . De tweede korting werkte op de al verlaagde prijs, dus zijn haar euro’s kleiner: percentages van verschillende hoeveelheden tel je niet op.

15. Op die kaart staat $1$ cm voor $5$ km, dus staat $1$ cm $^2$ voor $5 \times 5 = 25$ km $^2$ (de regel van vraag 9). Het bos: $3 \times 25 = 75$ km $^2$ . Lengtes volgen de schaal; oppervlaktes haar kwadraat.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst