Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

44Evenredigheid en gegevens

Als drie schriften $6$ euro kosten, kosten zes schriften $12$ : dubbel zoveel schriften, dubbel de prijs. Grootheden die zich zo gedragen zijn evenredig — een van de nuttigste ideeën in de hele wiskunde, verder uitgewerkt in Hoofdstuk 49. Het hoofdstuk eindigt met het lezen en tekenen van eenvoudige gegevensgrafieken.

44.1 Evenredige grootheden

Definitie 44.1 (Evenredigheid)

Twee grootheden zijn evenredig wanneer de waarden van de ene uit die van de andere ontstaan door altijd met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, de evenredigheidscoëfficiënt.

Voorbeeld 44.2

Schriften aan $2$ euro per stuk:

schriften	$3$	$5$	$8$	$12$
prijs (euro)	$6$	$10$	$16$	$24$

Elke prijs is het aantal schriften $\times 2$ : de coëfficiënt is $2$ (de eenheidsprijs). Een snelle controle dat een tabel evenredig is: alle “kolomquotiënten” $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ moeten gelijk zijn — hier zijn ze allemaal $2$ .

Voorbeeld 44.3 (Een tegenvoorbeeld)

Leeftijd en lengte zijn niet evenredig: een $12$ -jarige is niet twee keer zo lang als een $6$ -jarige. Controleer met getallen: $1.50$ m op $12$ jaar en $1.15$ m op $6$ jaar geven quotiënten $\frac{1.50}{12} = 0.125$ en $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ — niet gelijk.

Methode 44.4 (Een evenredigheidstabel invullen)

Drie manieren, vrij te kiezen:

coëfficiënt: vind de vermenigvuldiger uit één complete kolom, pas hem toe op de andere;
kolommen: een kolom mag met een getal vermenigvuldigd worden, of twee kolommen mogen opgeteld worden, om een nieuwe kolom te maken;
terug naar de eenheid: vind eerst de waarde voor één item, en vermenigvuldig daarna.

Voorbeeld 44.5

Vijf identieke mokken kosten $15$ euro; hoeveel kosten acht mokken?

Terug naar de eenheid: één mok kost $15 \div 5 = 3$ euro, dus acht mokken kosten $8 \times 3 = 24$ euro.

Kolommen: $8 = 5 + 3$ ; drie mokken kosten $\frac{3}{5}$ van $15$ , d.w.z. $9$ ; dus acht mokken kosten $15 + 9 = 24$ euro. Hetzelfde antwoord, zoals het moet.

44.2 Percentages

Definitie 44.6 (Percentage)

“ $t\,\%$ van een hoeveelheid” betekent de breuk $\frac{t}{100}$ ervan: $25\,\%$ van $60$ is $\frac{25}{100} \times 60 = 15$ . Een percentage is een evenredigheid met coëfficiënt $\frac{t}{100}$ .

Voorbeeld 44.7

Een klas van $30$ leerlingen telt $40\,\%$ meisjes. Aantal meisjes, stap voor stap: $40\,\%$ betekent $\frac{40}{100} = 0.4$ , en $0.4 \times 30 = 12$ meisjes. Nuttige ankerpunten: $50\,\%$ is de helft, $25\,\%$ een kwart, $10\,\%$ een tiende — dus $10\,\%$ van $30$ is $3$ , en $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ is $4 \times 3 = 12$ : hetzelfde antwoord, uit het hoofd.

44.3 Grafieken lezen en tekenen

Methode 44.8 (Een tabel of grafiek lezen)

Welk plaatje ook — tabel, staafdiagram, lijndiagram:

lees eerst de titel en de eenheden op beide assen;
om een vraag te beantwoorden, zoek de juiste staaf/kolom, en lees de waarde zorgvuldig af tegen de schaalverdeling;
om te vergelijken, vergelijk staven op hoogte — maar controleer of de as bij $0$ begint, anders kan het plaatje misleiden.

Voorbeeld 44.9

Het staafdiagram hieronder toont het aantal boeken dat in één week uitgeleend is in de schoolbibliotheek.

Een staafdiagram: één staaf per dag, hoogte gelijk aan het aantal.

Aflezingen: de drukste dag is woensdag ( $17$ boeken). Dinsdag en donderdag samen zijn $8 + 6 = 14$ boeken — minder dan vrijdag alleen ( $15$ ). Totaal voor de week: $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ boeken.

Evenredige grootheden hebben een zeer herkenbare grafiek: de punten liggen op een rechte lijn door de oorsprong (hier schriften aan 3 euro per stuk; de stippellijnen lezen de prijs van 6 schriften: 18 euro). — Evenredige grootheden hebben een zeer herkenbare grafiek: de punten liggen op een rechte lijn door de oorsprong (hier schriften aan $3$ euro per stuk; de stippellijnen lezen de prijs van $6$ schriften: $18$ euro).

44.4 Oefeningen

Oefening 44.1 ★

Is de tabel evenredig? Motiveer door quotiënten te berekenen.

kg appels	$2$	$3$	$5$
prijs (euro)	$5$	$7.5$	$12.5$

leeftijd (jaar)	$2$	$4$	$8$
lengte (cm)	$85$	$103$	$130$

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.1.

Appels: quotiënten $\frac52 = 2.5$ , $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — allemaal gelijk: evenredig (prijs $2.50$ per kg).

Leeftijd/lengte: $\frac{85}{2} = 42.5$ maar $\frac{103}{4} = 25.75$ — niet gelijk: niet evenredig.

Oefening 44.2 ★

Vier croissants kosten $4.80$ euro. Vind de prijs van één croissant, daarna van zeven croissants.

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.2.

Eén croissant: $4.80 \div 4 = 1.20$ euro. Zeven: $7 \times 1.20 = 8.40$ euro.

Oefening 44.3 ★

Vul de evenredigheidstabel in (eerst de coëfficiënt!):

liters brandstof	$10$	$25$	$?$	$60$
prijs (euro)	$18$	$?$	$72$	$?$

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.3.

Coëfficiënt: $18 \div 10 = 1.8$ euro per liter. Dan kosten $25$ L $25 \times 1.8 = 45$ euro; $72$ euro koopt $72 \div 1.8 = 40$ L; $60$ L kosten $60 \times 1.8 = 108$ euro.

Oefening 44.4 ★

Een auto verbruikt $6$ L brandstof per $100$ km. Hoeveel brandstof voor $250$ km? Voor $350$ km? Hoe ver komt hij met $27$ L?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.4.

Voor $250$ km: $2.5$ keer de brandstof van $100$ km, dus $2.5 \times 6 = 15$ L. Voor $350$ km: $3.5 \times 6 = 21$ L. Met $27$ L: $27 \div 6 = 4.5$ honderden km, d.w.z. $450$ km.

Oefening 44.5 ★

Reken uit het hoofd, met de ankerpunten van Voorbeeld 44.7: $50\,\%$ van $84$ ; $25\,\%$ van $200$ ; $10\,\%$ van $63$ ; $30\,\%$ van $70$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.5.

$50\,\%$ van $84$ : de helft, $42$ . $25\,\%$ van $200$ : een kwart, $50$ . $10\,\%$ van $63$ : een tiende, $6.3$ . $30\,\%$ van $70$ : $3 \times 7 = 21$ .

Oefening 44.6 ★

In een school van $450$ leerlingen eet $60\,\%$ in de kantine. Hoeveel leerlingen is dat? Hoeveel niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.6.

$60\,\%$ van $450$ : $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ leerlingen eten in de kantine; $450 - 270 = 180$ niet.

Oefening 44.7 ★

Gebruik het staafdiagram van Voorbeeld 44.9: op welke dagen werden minder dan $10$ boeken uitgeleend? Hoeveel boeken meer werden er op woensdag uitgeleend dan op donderdag?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.7.

Minder dan $10$ boeken: dinsdag ( $8$ ) en donderdag ( $6$ ). Woensdag min donderdag: $17 - 6 = 11$ boeken meer.

Oefening 44.8 ★

De temperaturen om twaalf uur van maandag tot vrijdag waren $14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ graden. Teken een staafdiagram van deze gegevens (kies een zinvolle schaalverdeling), en lees de warmste dag af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.8.

Staafdiagram met vijf staven van hoogten $14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ (schaalverdeling om de $2$ of $5$ graden werkt goed). Warmste dag: vrijdag ( $20$ graden).

Oefening 44.9 ★★

Een recept voor $6$ personen heeft $450$ g meel en $3$ eieren nodig. Pas het aan voor $10$ personen. (Voor de eieren: denk na vóór je een decimaal aantal eieren opschrijft!)

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.9.

Voor $10$ personen, vermenigvuldig met $\frac{10}{6} = \frac53$ : meel $450 \times \frac{10}{6} = 750$ g. Eieren: $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — gelukkig een geheel getal. (Als dat niet zo was, zou men naar boven afronden om genoeg te hebben.)

Oefening 44.10 ★★

Met constante snelheid fietst een fietser $24$ km in $1$ uur.

Hoe ver fietst ze in $2$ u? In een half uur? In $1$ u $30$ min?
Hoe lang heeft ze nodig voor $60$ km?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.10.

1. In $2$ u: $48$ km. In een half uur: $12$ km. In $1$ u $30$ : $24 + 12 = 36$ km.

2. $60 \div 24 = 2.5$ uur, d.w.z. $2$ u $30$ min.

Oefening 44.11 ★★

Een winkel biedt “ $20\,\%$ korting op alles”. Bereken de korting en de nieuwe prijs voor: een bal van $15$ euro; een racket van $40$ euro. Is de nieuwe prijs evenredig met de oude prijs? Wat is de coëfficiënt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.11.

Bal: korting $20\,\%$ van $15 = 3$ euro, nieuwe prijs $12$ euro. Racket: korting $8$ euro, nieuwe prijs $32$ euro. De nieuwe prijs is in elk geval $80\,\%$ van de oude: evenredig, coëfficiënt $0.8$ .

Oefening 44.12 ★★★

Twee kaarsen van dezelfde hoogte worden tegelijk aangestoken. De dikke brandt volledig op in $6$ uur, de dunne in $4$ uur, elk met zijn eigen constante snelheid. Na hoeveel tijd is de dunne kaars exact half zo hoog als de dikke? (Druk de resterende hoogten na $t$ uur uit als breuken van de beginhoogte.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.12.

Na $t$ uur is de dikke kaars $\frac t6$ van haar hoogte opgebrand: ze staat op $1 - \frac t6$ van de beginhoogte; de dunne op $1 - \frac t4$ . We willen

1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{d.w.z.}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}.

Dan $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$ , dus $t = 3$ uur. Controle: na $3$ u staat de dikke kaars op $1 - \frac36 = \frac12$ en de dunne op $1 - \frac34 = \frac14$ — inderdaad de helft ervan.