Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

50Gegevens organiseren

Voor je iets berekent, moeten gegevens verzameld, geteld en weergegeven worden. Dit hoofdstuk gaat over het omzetten van een rommelige lijst observaties in een duidelijke tabel of figuur: tellingen, frequenties, gegroepeerde gegevens, staafdiagrammen en cirkeldiagrammen. Gegevens samenvatten met één getal (gemiddelde, mediaan) is het onderwerp van Hoofdstuk 71.

50.1 Tellingen en frequenties

Definitie 50.1 (Telling en frequentie)

Voor elke mogelijke waarde van een enquête is de telling het aantal keren dat ze voorkomt; de frequentie is de telling gedeeld door het totale aantal observaties:

\text{frequentie} = \frac{\text{telling}}{\text{totaal}} .

Frequenties kunnen als breuken, decimalen of percentages geschreven worden, en ze tellen altijd op tot $1$ (d.w.z. $100\,\%$ ).

Voorbeeld 50.2

Favoriete sport van de $25$ leerlingen van een klas, van de ruwe lijst naar de tabel:

sport	voetbal	zwemmen	tennis	judo	totaal
telling	$10$	$6$	$5$	$4$	$25$
frequentie	$0.40$	$0.24$	$0.20$	$0.16$	$1$

Voor voetbal: $\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0.40 = 40\,\%$ . De frequentierij moet tot $1$ sommeren — een permanente, gratis controle.

Opmerking 50.3 (Waarom frequenties?)

Tellingen kunnen niet vergeleken worden over groepen van verschillende grootte: $10$ voetbalfans in een klas van $25$ (dat is $40\,\%$ ) tonen meer enthousiasme dan $12$ in een schooljaar van $120$ ( $10\,\%$ ). Frequenties zetten alles op dezelfde schaal.

50.2 Gegevens groeperen in klassen

Voorbeeld 50.4 (Klassen)

De lengten (in cm) van $20$ leerlingen lopen van $148$ tot $172$ . Elke lengte apart opsommen zou een tabel geven met bijna evenveel kolommen als leerlingen; groepeer in plaats daarvan in klassen:

lengte (cm)	$\intco{145}{155}$	$\intco{155}{165}$	$\intco{165}{175}$	totaal
telling	$5$	$9$	$6$	$20$
frequentie	$0.25$	$0.45$	$0.30$	$1$

Elke lengte wordt in precies één klas geteld ( $155$ gaat in $\intco{155}{165}$ , niet in beide — daarom zijn de intervallen halfopen). Groeperen verliest detail maar wint leesbaarheid.

50.3 Diagrammen

Methode 50.5 (Een diagram kiezen en tekenen)

Staafdiagram: één staaf per waarde of klas, hoogte evenredig met de telling (of de frequentie). Goed om waarden te vergelijken.
Cirkeldiagram: één sector per waarde, hoek evenredig met de frequentie — de volle cirkel ( $360^\circ$ ) stelt het totaal voor, dus

$\text{hoek} = \text{frequentie} \times 360^\circ .$

Goed om delen van een geheel te tonen.
In beide gevallen: titel, labels, en een schaalverdeling of de percentages op het diagram geschreven.

Voorbeeld 50.6

Hoeken voor de sporten van Voorbeeld 50.2: voetbal $0.40 \times 360 = 144^\circ$ ; zwemmen $0.24 \times 360 = 86.4^\circ$ ; tennis $72^\circ$ ; judo $57.6^\circ$ . Controle: $144 + 86.4 + 72 + 57.6 = 360$ .

Dezelfde gegevens als staafdiagram (vergelijk hoogten) en als cirkeldiagram (vergelijk delen van de klas). Voetbal neemt 144, d.w.z. 40\,\% van de cirkel. — Dezelfde gegevens als staafdiagram (vergelijk hoogten) en als cirkeldiagram (vergelijk delen van de klas). Voetbal neemt $144^\circ$ , d.w.z. $40\,\%$ van de cirkel.

Voorbeeld 50.7 (Kritisch lezen)

Een diagram waarvan de verticale as bij $9$ begint in plaats van $0$ laat een staaf van $10$ er tien keer hoger uitzien dan een staaf van $9.1$ — visueel misleidend, hoewel de getallen eerlijk zijn. Eerste reflex bij elk diagram: controleer waar de as begint en wat één streepje waard is (Methode 44.8).

50.4 Oefeningen

Oefening 50.1 ★

Hier zijn de cijfers van $20$ leerlingen: $12$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $9$ , $12$ , $15$ , $11$ , $12$ , $9$ , $14$ , $12$ , $11$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $11$ , $12$ . Bouw de tellingentabel (één kolom per cijfer).

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.1.

Elk cijfer tellen:

cijfer	$9$	$11$	$12$	$14$	$15$	totaal
telling	$4$	$3$	$7$	$3$	$3$	$20$

Oefening 50.2 ★

Vul de tabel van Oefening 50.1 aan met een frequentierij (als breuken van $20$ , daarna als percentages). Controleer de som.

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.2.

Frequenties: $\frac{4}{20} = 20\,\%$ , $\frac{3}{20} = 15\,\%$ , $\frac{7}{20} = 35\,\%$ , $15\,\%$ , $15\,\%$ . Som: $20 + 15 + 35 + 15 + 15 = 100\,\%$ . ✓

Oefening 50.3 ★

In een enquête bij $50$ gezinnen hebben $30$ één auto. Wat is de frequentie van “één auto”, als decimaal en als percentage? In een andere enquête hebben $45$ gezinnen van de $90$ één auto: welke enquête toont het hogere aandeel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.3.

Eerste enquête: $\frac{30}{50} = 0.6 = 60\,\%$ . Tweede: $\frac{45}{90} = 0.5 = 50\,\%$ . De eerste enquête toont het hogere aandeel, hoewel ze minder gezinnen met één auto in absolute telling heeft.

Oefening 50.4 ★

De massa’s (kg) van $15$ honden: $8$ , $23$ , $31$ , $12$ , $9$ , $27$ , $35$ , $14$ , $22$ , $18$ , $29$ , $11$ , $25$ , $33$ , $16$ . Groepeer ze in de klassen $\intco{5}{15}$ , $\intco{15}{25}$ , $\intco{25}{35}$ , $\intco{35}{45}$ en geef de tellingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.4.

$\intco{5}{15}$ : $8, 12, 9, 14, 11$ — telling $5$ . $\intco{15}{25}$ : $23, 22, 18, 16$ — telling $4$ . $\intco{25}{35}$ : $31, 27, 29, 25, 33$ — telling $5$ . $\intco{35}{45}$ : $35$ — telling $1$ . Totaal $15$ . ✓

Oefening 50.5 ★

Teken het staafdiagram van de tabel:

huisdieren	$0$	$1$	$2$	$3$
gezinnen	$8$	$12$	$6$	$4$

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.5.

Vier staven van hoogten $8$ , $12$ , $6$ , $4$ boven de waarden $0$ , $1$ , $2$ , $3$ (schaalverdeling om de $2$ werkt goed).

Oefening 50.6 ★

Voor de tabel van Oefening 50.5, bereken de frequenties en de cirkeldiagramhoeken van elke waarde (controle: totaal $360^\circ$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.6.

Totaal $30$ gezinnen. Frequenties: $\frac{8}{30}$ , $\frac{12}{30}$ , $\frac{6}{30}$ , $\frac{4}{30}$ . Hoeken ( $\times 360^\circ$ ): $96^\circ$ , $144^\circ$ , $72^\circ$ , $48^\circ$ ; som $96 + 144 + 72 + 48 = 360^\circ$ . ✓

Oefening 50.7 ★

Een cirkeldiagram over favoriete seizoenen toont: zomer $162^\circ$ , lente $90^\circ$ , herfst $54^\circ$ , winter $54^\circ$ . Welk percentage koos elk seizoen? Als $60$ personen antwoordden, hoeveel kozen de zomer?

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.7.

Percentages: zomer $\frac{162}{360} = 45\,\%$ ; lente $\frac{90}{360} = 25\,\%$ ; herfst en winter $\frac{54}{360} = 15\,\%$ elk. Van de $60$ personen koos de zomer $0.45 \times 60 = 27$ van hen.

Oefening 50.8 ★★

In klas A lopen $12$ leerlingen van de $30$ naar school; in klas B, $14$ van de $40$ . Welke klas heeft het hogere aandeel lopenden? Motiveer met frequenties, niet met tellingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.8.

Klas A: $\frac{12}{30} = 40\,\%$ . Klas B: $\frac{14}{40} = 35\,\%$ . Klas A heeft het hogere aandeel lopenden, hoewel klas B meer lopenden in telling heeft.

Oefening 50.9 ★★

Een tijdschrift print een staafdiagram van maandelijkse verkopen: $9\,800$ , daarna $10\,000$ , daarna $10\,100$ , met de verticale as beginnend bij $9\,700$ . Beschrijf wat de lezer ziet, en wat een eerlijke as vanaf $0$ in plaats daarvan zou tonen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.9.

Met de as beginnend bij $9\,700$ hebben de drie staven zichtbare hoogten $100$ , $300$ en $400$ eenheden: de laatste lijkt vier keer de eerste, wat suggereert dat de verkopen verviervoudigden. Met een as vanaf $0$ zijn de staven bijna gelijk ( $9\,800$ tot $10\,100$ is een stijging van ongeveer $3\,\%$ ): het eerlijke beeld toont bijna vlakke verkopen.

Oefening 50.10 ★★

Een frequentietabel heeft drie waarden met frequenties $0.35$ , $0.4$ en $f$ . Vind $f$ . Als de totale telling $80$ is, geef de drie tellingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.10.

Frequenties sommeren tot $1$ : $f = 1 - 0.35 - 0.4 = 0.25$ . Tellingen (totaal $80$ ): $0.35 \times 80 = 28$ ; $0.4 \times 80 = 32$ ; $0.25 \times 80 = 20$ . Controle: $28 + 32 + 20 = 80$ .

Oefening 50.11 ★★★

In een school is $55\,\%$ van de leerlingen meisje. Onder de meisjes eet $40\,\%$ in de kantine; onder de jongens $60\,\%$ . Van de $400$ leerlingen, hoeveel eten in de kantine? (Bereken de vier groepsgroottes stap voor stap.) Welk overall percentage is dat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.11.

Meisjes: $55\,\%$ van $400 = 220$ ; jongens: $180$ . Kantine-meisjes: $0.4 \times 220 = 88$ ; jongens: $0.6 \times 180 = 108$ . Totaal: $88 + 108 = 196$ leerlingen, d.w.z. $\frac{196}{400} = 49\,\%$ van de school — tussen $40\,\%$ en $60\,\%$ , dichter bij het meisjes- percentage omdat meisjes talrijker zijn.