Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

16Vermenigvuldigen

Drie zakjes van zeven knikkers: je zou $7 + 7 + 7$ kunnen optellen, maar er is een snellere manier — vermenigvuldigen, de bewerking van herhaald optellen. Dit hoofdstuk bouwt de tafels uit plaatjes op, en leert daarna de kolommethode.

16.1 Wat vermenigvuldigen betekent

Definitie 16.1 (Vermenigvuldiging)

Het product $3 \times 7$ betekent “drie keer zeven”:

3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 .

Op een plaatje is $3 \times 7$ een rechthoek van stippen: $3$ rijen van $7$ stippen.

Dezelfde 21 stippen, geteld per rij of per kolom: de volgorde van een product doet er niet toe. 3 × 7 kennen geeft 7 × 3 gratis — de helft van de tafels te leren! — Dezelfde $21$ stippen, geteld per rij of per kolom: de volgorde van een product doet er niet toe. $3 \times 7$ kennen geeft $7 \times 3$ gratis — de helft van de tafels te leren!

Propositie 16.2 (Regels die helpen)

De volgorde doet er niet toe: $a \times b = b \times a$ .
Vermenigvuldigen met $1$ verandert niets; vermenigvuldigen met $0$ geeft $0$ .
Vermenigvuldigen met $10$ voegt een nul toe: $34 \times 10 = 340$ ; met $100$ , twee nullen.
Een tafel kan herbouwd worden uit zijn buren: $6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48$ .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 16.3 (Het tafelsquare)

Alle tafels passen in één vierkant. Om $6 \times 7$ te lezen: rij $6$ , kolom $7$ .

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Het vierkant is symmetrisch over de diagonaal — dat is regel 1 zichtbaar gemaakt.

16.2 Kolomsgewijs vermenigvuldigen

Methode 16.4 (Vermenigvuldigen met een eencijferig getal)

Om $234 \times 6$ uit te rekenen:

vermenigvuldig de eenheden: $4 \times 6 = 24$ : schrijf $4$ , onthoud $2$ ;
vermenigvuldig de tientallen en tel het onthouden op: $3 \times 6 + 2 = 20$ : schrijf $0$ , onthoud $2$ ;
vermenigvuldig de honderdtallen en tel het onthouden op: $2 \times 6 + 2 = 14$ : schrijf $14$ .

\begin{array}{r} 2\,3\,4 \\ \times \quad 6 \\ \hline 1\,4\,0\,4 \end{array}

Schat om te controleren: $234$ ligt dicht bij $200$ , en $200 \times 6 = 1\,200$ : het antwoord $1\,404$ is aannemelijk.

Voorbeeld 16.5 (Splitsen om uit het hoofd te vermenigvuldigen)

De kolommethode splitst stiekem het getal naar plaatsen. Uit het hoofd doe je hetzelfde:

23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4 = 80 + 12 = 92 .

En met een vriendelijke buur: $99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 = 495$ .

Waarom splitsen werkt: een 23 × 4-rechthoek van eenheidsvierkantjes is een 20 × 4-deel plus een 3 × 4-deel — 80 + 12 = 92 vierkantjes. — Waarom splitsen werkt: een $23 \times 4$ -rechthoek van eenheidsvierkantjes is een $20 \times 4$ -deel plus een $3 \times 4$ -deel — $80 + 12 = 92$ vierkantjes.

16.3 Vermenigvuldigen in sommen

Voorbeeld 16.6

Een minibus vervoert $9$ passagiers. Hoeveel passagiers kunnen $27$ minibussen vervoeren?

Het is een vermenigvuldiging: $27$ groepen van $9$ .
$27 \times 9 = 243$ (kolommen, of $27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27$ ).
Zin: de minibussen kunnen $243$ passagiers vervoeren.

16.4 Oefeningen

Oefening 16.1 ★

Schrijf als vermenigvuldiging, reken dan uit: $8 + 8 + 8 + 8$ ; $5 + 5 + 5$ ; $20 + 20 + 20 + 20 + 20$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.1.

$8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32$ ; $5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15$ ; $20 \times 5 = 100$ .

Oefening 16.2 ★

Zeg op en vul in: $6 \times 7$ ; $8 \times 4$ ; $9 \times 9$ ; $7 \times 8$ ; $6 \times 6$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.2.

$42$ ; $32$ ; $81$ ; $56$ ; $36$ .

Oefening 16.3 ★

Teken een stipperechthoek voor $4 \times 6$ , dan één voor $6 \times 4$ . Wat val je op aan de twee tellingen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.3.

Beide rechthoeken bevatten dezelfde $24$ stippen — de ene is de andere op de zijkant gekeerd: $4 \times 6 = 6 \times 4$ .

Oefening 16.4 ★

Reken uit met de regels van Propositie 16.2: $56 \times 10$ ; $8 \times 100$ ; $73 \times 0$ ; $45 \times 1$ ; $30 \times 10$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.4.

$560$ ; $800$ ; $0$ ; $45$ ; $300$ .

Oefening 16.5 ★

Reken kolomsgewijs uit: $132 \times 3$ ; $217 \times 4$ ; $408 \times 7$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.5.

$132 \times 3 = 396$ ; $217 \times 4 = 868$ ; $408 \times 7 = 2\,856$ .

Oefening 16.6 ★

Reken uit het hoofd door te splitsen (zoals in Voorbeeld 16.5): $31 \times 5$ ; $42 \times 3$ ; $25 \times 6$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.6.

$31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155$ ; $42 \times 3 = 120 + 6 = 126$ ; $25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150$ .

Oefening 16.7 ★

Reken uit met een vriendelijke buur: $99 \times 7$ ; $101 \times 6$ ; $98 \times 5$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.7.

$99 \times 7 = 700 - 7 = 693$ ; $101 \times 6 = 600 + 6 = 606$ ; $98 \times 5 = 500 - 10 = 490$ .

Oefening 16.8 ★

Schat eerst, reken dan uit: $389 \times 5$ (schat met $400$ ); $612 \times 8$ (schat met $600$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.8.

$389 \times 5$ : schatting $400 \times 5 = 2\,000$ ; precies $1\,945$ .

$612 \times 8$ : schatting $600 \times 8 = 4\,800$ ; precies $4\,896$ .

Oefening 16.9 ★

Een eierdoos bevat $6$ eieren. Hoeveel eieren zitten er in $38$ dozen? Schrijf de bewerking, reken uit, antwoord met een zin.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.9.

$38 \times 6 = 228$ . Er zitten $228$ eieren in de dozen.

Oefening 16.10 ★★

Een klaslokaal heeft $8$ rijen van $4$ bureaus; elk bureau biedt plaats aan $2$ leerlingen. Hoeveel leerlingen kan het lokaal plaatsen? (Twee vermenigvuldigingen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.10.

Bureaus: $8 \times 4 = 32$ . Leerlingen: $32 \times 2 = 64$ . Het lokaal kan $64$ leerlingen plaatsen.

Oefening 16.11 ★★

Zoek alle manieren om $24$ stoelen in gelijke rijen te zetten (rijen van $1$ , van $2$ , …). Welke opstellingen zijn mogelijk? (Gebruik het tafelsquare: zoek $24$ erin.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.11.

$24$ komt in het tafelsquare voor als $1 \times 24$ , $2 \times 12$ , $3 \times 8$ , $4 \times 6$ — en dezelfde paren omgekeerd. Mogelijke opstellingen: $1$ rij van $24$ , $2$ rijen van $12$ , $3$ rijen van $8$ , $4$ rijen van $6$ , $6$ rijen van $4$ , $8$ rijen van $3$ , $12$ rijen van $2$ , $24$ rijen van $1$ .

Oefening 16.12 ★★

Zoe rekent $47 \times 6$ zo: $40 \times 6 = 240$ , $7 \times 6 = 42$ , en dan $240 + 42 = 282$ . Léa rekent $47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282$ . Leg elke methode uit. Welke vind jij beter voor $38 \times 4$ ? Reken het op beide manieren uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.12.

Zoe splitst $47$ in $40 + 7$ (de kolommethode in haar hoofd); Léa vervangt $47$ door het vriendelijke $50$ en corrigeert door de $3 \times 6$ die te veel geteld is weg te nemen. Voor $38 \times 4$ : Zoe’s manier, $120 + 32 = 152$ ; Léa’s manier, $40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 = 152$ . Beide werken — Léa’s is hier sneller omdat $38$ dicht bij $40$ ligt.

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81