Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

16Vermenigvuldigen

Drie zakjes met zeven knikkers: je kunt $7 + 7 + 7$ optellen, maar het kan sneller — met vermenigvuldigen, de bewerking van het herhaald optellen. In dit hoofdstuk bouwen we de tafels op uit plaatjes en leer je daarna het cijferen.

16.1 Wat vermenigvuldigen betekent

Definitie 16.1 (Vermenigvuldigen)

Het product $3 \times 7$ betekent “drie keer zeven”:

3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 .

In een plaatje is $3 \times 7$ een rechthoek van stippen: $3$ rijen van $7$ stippen.

Dezelfde 21 stippen, per rij of per kolom geteld: de volgorde van een product maakt niets uit. Wie 3 × 7 kent, krijgt 7 × 3 er gratis bij — de helft van de tafels te leren! — Dezelfde $21$ stippen, per rij of per kolom geteld: de volgorde van een product maakt niets uit. Wie $3 \times 7$ kent, krijgt $7 \times 3$ er gratis bij — de helft van de tafels te leren!

Propositie 16.2 (Regels die helpen)

De volgorde maakt niets uit: $a \times b = b \times a$ .
Met $1$ vermenigvuldigen verandert niets; met $0$ vermenigvuldigen geeft $0$ .
Met $10$ vermenigvuldigen zet er een nul achter: $34 \times 10 = 340$ ; met $100$ twee nullen.
Een tafel kun je uit zijn buren opbouwen: $6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 16.3 (De tafelkaart)

Alle tafels passen in één vierkant. Om $6 \times 7$ af te lezen: rij $6$ , kolom $7$ .

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Het vierkant is symmetrisch om zijn diagonaal — dat is regel 1, zichtbaar gemaakt.

16.2 Cijferend vermenigvuldigen

Methode 16.4 (Met een getal van één cijfer vermenigvuldigen)

Om $234 \times 6$ uit te rekenen:

vermenigvuldig de eenheden: $4 \times 6 = 24$ : schrijf $4$ , onthoud $2$ ;
vermenigvuldig de tientallen en tel het onthoudcijfer erbij: $3 \times 6 + 2 = 20$ : schrijf $0$ , onthoud $2$ ;
vermenigvuldig de honderdtallen en tel het onthoudcijfer erbij: $2 \times 6 + 2 = 14$ : schrijf $14$ .

\begin{array}{r} 2\,3\,4 \\ \times \quad 6 \\ \hline 1\,4\,0\,4 \end{array}

Controleer met een schatting: $234$ ligt dicht bij $200$ , en $200 \times 6 = 1\,200$ : de uitkomst $1\,404$ is aannemelijk.

Voorbeeld 16.5 (Splitsen om uit het hoofd te rekenen)

Het cijferen splitst het getal in stilte naar plaatswaarden. Doe uit het hoofd hetzelfde:

23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4 = 80 + 12 = 92 .

En met een vriendelijk buurgetal: $99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 = 495$ .

Waarom splitsen werkt: een rechthoek van 23 × 4 vakjes bestaat uit een stuk 20 × 4 en een stuk 3 × 4 — 80 + 12 = 92 vakjes. — Waarom splitsen werkt: een rechthoek van $23 \times 4$ vakjes bestaat uit een stuk $20 \times 4$ en een stuk $3 \times 4$ — $80 + 12 = 92$ vakjes.

16.3 Vermenigvuldigen in verhaaltjes

Voorbeeld 16.6

In een minibus passen $9$ passagiers. Hoeveel passagiers kunnen $27$ minibussen vervoeren?

Het is een vermenigvuldiging: $27$ groepjes van $9$ .
$27 \times 9 = 243$ (met cijferen, of $27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27$ ).
Antwoordzin: de minibussen kunnen $243$ passagiers vervoeren.

16.4 Oefeningen

Oefening 16.1 ★

Schrijf als vermenigvuldiging en reken uit: $8 + 8 + 8 + 8$ ; $5 + 5 + 5$ ; $20 + 20 + 20 + 20 + 20$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.1.

$8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32$ ; $5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15$ ; $20 \times 5 = 100$ .

Oefening 16.2 ★

Zeg op en vul aan: $6 \times 7$ ; $8 \times 4$ ; $9 \times 9$ ; $7 \times 8$ ; $6 \times 6$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.2.

$42$ ; $32$ ; $81$ ; $56$ ; $36$ .

Oefening 16.3 ★

Teken een rechthoek van stippen voor $4 \times 6$ , en daarna een voor $6 \times 4$ . Wat valt je op aan de twee aantallen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.3.

Beide rechthoeken bevatten dezelfde $24$ stippen — de ene is de andere een kwartslag gedraaid: $4 \times 6 = 6 \times 4$ .

Oefening 16.4 ★

Reken uit met de regels van Propositie 16.2: $56 \times 10$ ; $8 \times 100$ ; $73 \times 0$ ; $45 \times 1$ ; $30 \times 10$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.4.

$560$ ; $800$ ; $0$ ; $45$ ; $300$ .

Oefening 16.5 ★

Vermenigvuldig cijferend: $132 \times 3$ ; $217 \times 4$ ; $408 \times 7$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.5.

$132 \times 3 = 396$ ; $217 \times 4 = 868$ ; $408 \times 7 = 2\,856$ .

Oefening 16.6 ★

Reken uit het hoofd door te splitsen (zoals in Voorbeeld 16.5): $31 \times 5$ ; $42 \times 3$ ; $25 \times 6$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.6.

$31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155$ ; $42 \times 3 = 120 + 6 = 126$ ; $25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150$ .

Oefening 16.7 ★

Reken met een vriendelijk buurgetal: $99 \times 7$ ; $101 \times 6$ ; $98 \times 5$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.7.

$99 \times 7 = 700 - 7 = 693$ ; $101 \times 6 = 600 + 6 = 606$ ; $98 \times 5 = 500 - 10 = 490$ .

Oefening 16.8 ★

Schat eerst en reken dan uit: $389 \times 5$ (schat met $400$ ); $612 \times 8$ (schat met $600$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.8.

$389 \times 5$ : schatting $400 \times 5 = 2\,000$ ; precies $1\,945$ .

$612 \times 8$ : schatting $600 \times 8 = 4\,800$ ; precies $4\,896$ .

Oefening 16.9 ★

In een eierdoos gaan $6$ eieren. Hoeveel eieren zitten er in $38$ dozen? Schrijf de bewerking op, reken uit en antwoord met een zin.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.9.

$38 \times 6 = 228$ . Er zitten $228$ eieren in de dozen.

Oefening 16.10 ★★

In een klaslokaal staan $8$ rijen van $4$ tafels; aan elke tafel zitten $2$ leerlingen. Hoeveel leerlingen kunnen er in het lokaal zitten? (Twee vermenigvuldigingen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.10.

Tafels: $8 \times 4 = 32$ . Leerlingen: $32 \times 2 = 64$ . In het lokaal kunnen $64$ leerlingen zitten.

Oefening 16.11 ★★

Zoek alle manieren om $24$ stoelen in gelijke rijen te zetten (rijen van $1$ , van $2$ , …). Welke opstellingen kunnen? (Gebruik de tafelkaart: zoek $24$ erin op.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.11.

$24$ komt in de tafelkaart voor als $1 \times 24$ , $2 \times 12$ , $3 \times 8$ , $4 \times 6$ — en als dezelfde paren omgedraaid. Mogelijke opstellingen: $1$ rij van $24$ , $2$ rijen van $12$ , $3$ rijen van $8$ , $4$ rijen van $6$ , $6$ rijen van $4$ , $8$ rijen van $3$ , $12$ rijen van $2$ , $24$ rijen van $1$ .

Oefening 16.12 ★★

Zoë rekent $47 \times 6$ zo uit: $40 \times 6 = 240$ , $7 \times 6 = 42$ , en dan $240 + 42 = 282$ . Léa rekent $47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282$ . Leg beide manieren uit. Welke gebruik je liever voor $38 \times 4$ ? Reken het op beide manieren uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.12.

Zoë splitst $47$ in $40 + 7$ (het cijferen in haar hoofd); Léa vervangt $47$ door het vriendelijke $50$ en verbetert door de $3 \times 6$ die ze te veel heeft geteld weer af te halen. Voor $38 \times 4$ : de manier van Zoë geeft $120 + 32 = 152$ ; de manier van Léa geeft $40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 = 152$ . Beide werken — die van Léa is hier sneller, omdat $38$ dicht bij $40$ ligt.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Vermenigvuldigen

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81