Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

66Algebra en vergelijkingen

Letters staan voor getallen, en rekenen met letters bewijst feiten over alle getallen tegelijk. Dit hoofdstuk oefent uitwerken en ontbinden — inclusief de drie identiteiten die je door de hele wiskunde volgen — en lost eerstegraadsvergelijkingen, productvergelijkingen en eenvoudige ongelijkheden op, altijd één gemotiveerde stap per keer.

66.1 Uitwerken

Definitie 66.1 (Uitwerken)

Uitwerken betekent een product omzetten in een som, met distributiviteit:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Voorbeeld 66.2

Elke term van de eerste haak vermenigvuldigt elke term van de tweede:

\begin{align*} (x + 3)(2x + 5) &= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\ &= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\ &= 2x^2 + 11x + 15 . \end{align*}

Tekens reizen met de termen mee:

\begin{align*} (3x - 2)(x - 4) &= 3x^2 - 12x - 2x + 8 = 3x^2 - 14x + 8 . \end{align*}

Stelling 66.3 (De drie identiteiten)

Voor alle getallen $a$ en $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Bewijs. Werk elke linkerkant uit. Voor de eerste: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Voor de tweede, vervang $b$ door $-b$ in de eerste. Voor de derde: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (de kruistermen vallen weg). ∎

De identiteit (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, gezien als oppervlakten: het grote vierkant met zijde a+b bestaat uit twee vierkanten en twee gelijke rechthoeken. De “2ab” vergeten is de twee rechthoeken vergeten! — De identiteit $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , gezien als oppervlakten: het grote vierkant met zijde $a+b$ bestaat uit twee vierkanten en twee gelijke rechthoeken. De “ $2ab$ ” vergeten is de twee rechthoeken vergeten!

Voorbeeld 66.4

(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad (3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad (2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .

Mentaal rekenen: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$ , en $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$ .

66.2 Ontbinden

Methode 66.5 (Ontbinden)

Om een uitdrukking te ontbinden, probeer in volgorde:

gemeenschappelijke factor: $ka + kb = k(a + b)$ , waar $k$ zelf een haak mag zijn;
verschil van kwadraten: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
volmaakt kwadraat: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (en met $-2ab$ , $(a-b)^2$ ).

Controleer altijd door het resultaat uit te werken.

Voorbeeld 66.6

Gemeenschappelijke factor: $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$ .

Gemeenschappelijke haak:

(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr] = (x+2)(4x+3).

Verschil van kwadraten: $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$ , en

(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).

Elke factor heeft nog een gemeenschappelijke factor: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$ .

66.3 Vergelijkingen

Methode 66.7 (Eerstegraadsvergelijkingen)

Om een vergelijking als $5x - 3 = 2x + 9$ op te lossen:

verzamel de $x$ -termen aan één kant, de getallen aan de andere, door dezelfde hoeveelheid aan beide kanten op te tellen;
herleid elke kant;
deel beide kanten door de coëfficiënt van $x$ ;
controleer de oplossing in de oorspronkelijke vergelijking.

Voorbeeld 66.8

\begin{align*} 5x - 3 &= 2x + 9 \\ 5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(tel $3 - 2x$ op aan beide kanten)}\\ 3x &= 12 \\ x &= 4 && \text{(deel door 3).} \end{align*}

Controle: $5 \times 4 - 3 = 17$ en $2 \times 4 + 9 = 17$ . De oplossing is $4$ .

Met haakjes, werk eerst uit: $3(x - 2) = x + 8$ wordt $3x - 6 = x + 8$ , dus $2x = 14$ en $x = 7$ .

Stelling 66.9 (Nulproductregel)

Een product is nul precies wanneer minstens één factor nul is:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ of } \ B = 0 .

Bewijs. Als een factor nul is, is het product duidelijk nul. Omgekeerd, als $A B = 0$ met $A \neq 0$ , geeft delen van beide kanten door $A$ dat $B = 0$ . ∎

Voorbeeld 66.10

Los op $(x - 3)(2x + 10) = 0$ : ofwel $x - 3 = 0$ ofwel $2x + 10 = 0$ , dus de oplossingen zijn $3$ en $-5$ .

Los op $x^2 - 49 = 0$ : ontbind eerst, $(x-7)(x+7) = 0$ , oplossingen $7$ en $-7$ .

Los op $x^2 = 3x$ : deel nooit door $x$ ! Verplaats en ontbind: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$ , oplossingen $0$ en $3$ .

66.4 Ongelijkheden

Propositie 66.11 (Regels voor ongelijkheden)

Een ongelijkheid blijft behouden bij optellen van hetzelfde getal aan beide kanten, en bij vermenigvuldigen van beide kanten met hetzelfde positieve getal. Vermenigvuldigen van beide kanten met een negatief getal keert het ongelijkheidsteken om.

Bewijs. Als $a \leq b$ dan $b - a \geq 0$ . Optellen van $c$ : $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$ , dus $a + c \leq b + c$ . Vermenigvuldigen met $c > 0$ : $bc - ac = (b-a)c \geq 0$ , dus $ac \leq bc$ . Vermenigvuldigen met $c < 0$ : $(b-a)c \leq 0$ , dus $ac \geq bc$ : de orde keert om. ∎

Voorbeeld 66.12

Los op $7 - 2x < 15$ :

\begin{align*} 7 - 2x &< 15 \\ -2x &< 8 && \text{(trek 7 af)} \\ x &> -4 && \text{(deel door $-2$: keer het teken om).} \end{align*}

De oplossingen zijn alle getallen groter dan $-4$ : op een getallenlijn een holle stip bij $-4$ en arcering naar rechts.

De oplossingen van 7 - 2x < 15: alle x > -4 (holle stip: -4 zelf is geen oplossing). — De oplossingen van $7 - 2x < 15$ : alle $x > -4$ (holle stip: $-4$ zelf is geen oplossing).

66.5 Oefeningen

Oefening 66.1 ★

Werk uit en herleid:

4(3x - 2), \qquad (x + 6)(x + 2), \qquad (2x - 3)(x + 5), \qquad (x - 1)(x - 9).

Oplossing

Oplossing van Oefening 66.1.

$4(3x - 2) = 12x - 8$ .

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$ .

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$ .

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$ .

Oefening 66.2 ★

Werk uit met de identiteiten:

(x + 8)^2, \qquad (3x - 4)^2, \qquad (x + 10)(x - 10), \qquad (5x + 2)(5x - 2).

Oplossing

Oplossing van Oefening 66.2.

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$ .

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$ .

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$ .

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$ .

Oefening 66.3 ★

Reken uit het hoofd, met een identiteit: $101^2$ ; $59^2$ (schrijf $59 = 60 - 1$ ); $53 \times 47$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 66.3.

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$ .

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$ .

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$ .

Oefening 66.4 ★

Ontbind:

9x + 12, \qquad x^2 - 64, \qquad x^2 + 14x + 49, \qquad 18x^2 - 6x .

Oplossing

Oplossing van Oefening 66.4.

$9x + 12 = 3(3x + 4)$ .

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$ .

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$ .

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$ .

Oefening 66.5 ★

Los op, en schrijf elke stap:

4x + 7 = 19, \qquad 6x - 5 = 2x + 11, \qquad 5(x - 3) = 3x + 1 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 66.5.

$4x + 7 = 19$ : $4x = 12$ , dus $x = 3$ .

$6x - 5 = 2x + 11$ : $4x = 16$ , dus $x = 4$ .

$5(x-3) = 3x + 1$ : $5x - 15 = 3x + 1$ , dus $2x = 16$ en $x = 8$ .

Oefening 66.6 ★★

Los op met de nulproductregel:

(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad x^2 - 121 = 0, \qquad (2x - 1)^2 = 0, \qquad x^2 = 8x .

Oplossing

Oplossing van Oefening 66.6.

$(x+4)(3x-12) = 0$ : $x = -4$ of $x = 4$ .

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$ : $x = 11$ of $x = -11$ .

$(2x-1)^2 = 0$ : de enige oplossing $x = \frac12$ .

$x^2 = 8x$ : $x(x - 8) = 0$ , dus $x = 0$ of $x = 8$ .

Oefening 66.7 ★★

Ontbind $E = (3x + 2)^2 - 25$ , en los daarna $E = 0$ op.

Oplossing

Oplossing van Oefening 66.7.

Verschil van kwadraten met $a = 3x + 2$ en $b = 5$ :

E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).

Nulproductregel: $3x + 7 = 0$ geeft $x = -\frac73$ , en $3x - 3 = 0$ geeft $x = 1$ .

Oefening 66.8 ★★

Los de ongelijkheden op en stel de oplossingen voor op een getallenlijn:

3x - 4 \geq 8, \qquad 5 - 2x > 1, \qquad 4(x + 1) \leq x - 5 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 66.8.

$3x - 4 \geq 8$ : $3x \geq 12$ , dus $x \geq 4$ (gevulde stip bij $4$ , arcering naar rechts).

$5 - 2x > 1$ : $-2x > -4$ , delen door $-2$ keert het teken om: $x < 2$ (holle stip bij $2$ , arcering naar links).

$4(x+1) \leq x - 5$ : $4x + 4 \leq x - 5$ , dus $3x \leq -9$ , dus $x \leq -3$ (gevulde stip bij $-3$ , arcering naar links).

Oefening 66.9 ★★

Ik denk aan een getal, vermenigvuldig het met $3$ , tel $7$ op, en krijg hetzelfde resultaat als wanneer ik het met $5$ vermenigvuldigd en $9$ afgetrokken had. Wat is mijn getal? (Stel een vergelijking op en los die op.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 66.9.

Laat $x$ het getal zijn: $3x + 7 = 5x - 9$ . Dan $16 = 2x$ , dus $x = 8$ . Controle: $3 \times 8 + 7 = 31$ en $5 \times 8 - 9 = 31$ .

Oefening 66.10 ★★★

Laat $n$ een geheel getal zijn.

Werk $(n + 1)(n - 1)$ uit en leid af dat het product van de twee buren van $n$ altijd $n^2 - 1$ is (bijv. $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ ).
Toon dat de som van drie opeenvolgende gehele getallen altijd een veelvoud van $3$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 66.10.

1. $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (derde identiteit). De buren van $n$ zijn $n - 1$ en $n + 1$ , dus hun product is $n^2 - 1$ : bijv. $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$ .

2. Drie opeenvolgende gehele getallen kunnen geschreven worden als $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ . Hun som is

(n-1) + n + (n+1) = 3n ,

een veelvoud van $3$ (driemaal de middelste).