Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

53Oppervlakten en volumes

Jaar 6 mat rechthoeken, rechthoekige driehoeken en balken (Hoofdstuk 43). Met een schaar — snijd hier een stuk af, plak het daar — geven dezelfde ideeën nu de oppervlakten van parallellogrammen, van alle driehoeken en van de schijf, en de volumes van prisma’s en cilinders.

53.1 Oppervlakte van een parallellogram

Stelling 53.1 (Parallellogram)

Een parallellogram met een zijde van lengte $b$ (zijn basis) en afstand $h$ tussen die zijde en de overstaande (zijn hoogte) heeft oppervlakte

A = b \times h .

Bewijs met de schaar. Snijd de rechthoekige driehoek die aan één kant uitsteekt af en plak hem aan de andere kant: het parallellogram wordt een rechthoek $b \times h$ met dezelfde oppervlakte. ∎

Het schaarbewijs: de rode driehoek van het linkereinde naar het rechtereinde schuiven maakt van het parallellogram een rechthoek —zelfde oppervlakte, b × h. — Het schaarbewijs: de rode driehoek van het linkereinde naar het rechtereinde schuiven maakt van het parallellogram een rechthoek —zelfde oppervlakte, $b \times h$ .

Opmerking 53.2

De hoogte is de loodrechte afstand tussen de twee basissen, niet de lengte van de schuine zijde! Een zeer scheef parallellogram kan lange zijden en een kleine oppervlakte hebben.

53.2 Oppervlakte van een driehoek

Stelling 53.3 (Driehoek)

Een driehoek met basis $b$ en bijbehorende hoogte $h$ (de loodrechte afstand van het overstaande hoekpunt tot de basislijn) heeft oppervlakte

A = \frac{b \times h}{2} .

Bewijs. Twee kopieën van de driehoek, één een halve slag gedraaid om het midden van één zijde, passen samen in een parallellogram met basis $b$ en hoogte $h$ (dat is centrale spiegeling aan het werk, Propositie 52.4). De driehoek is de helft ervan: $\frac{bh}{2}$ . ∎

Een driehoek en zijn halfslagkopie (gestippeld) maken een parallellogram: de oppervlakte van de driehoek is b× h/2. Elk van de drie zijden kan als basis dienen — met zijn eigen hoogte. — Een driehoek en zijn halfslagkopie (gestippeld) maken een parallellogram: de oppervlakte van de driehoek is $\frac{b\times h}{2}$ . Elk van de drie zijden kan als basis dienen — met *zijn eigen* hoogte.

Voorbeeld 53.4

Een driehoek heeft een basis van $9$ cm en de bijbehorende hoogte meet $4$ cm:

A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .

Voor een rechthoekige driehoek zijn de twee benen een basis en haar hoogte: we herkrijgen de formule van Propositie 43.6.

53.3 Oppervlakte van een schijf

Stelling 53.5 (Schijf)

Een schijf met straal $r$ heeft oppervlakte

A = \pi r^2 .

Bewijs-idee. Snijd de schijf in veel dunne gelijke plakjes en leg ze kop aan staart: ze vormen bijna een parallellogram van hoogte $r$ waarvan de basis de helft van de omtrek is, $\pi r$ (Propositie 43.3). Zijn oppervlakte is dicht bij $\pi r \times r = \pi r^2$ , en de benadering wordt perfect als de plakjes dunner worden. Een volledig bewijs vraagt integraalrekening, uit het High School-volume. ∎

De schijf snijden en de plakjes afrollen: bijna een parallellogram met basis π r (de helft van de rand) en hoogte r. — De schijf snijden en de plakjes afrollen: bijna een parallellogram met basis $\pi r$ (de helft van de rand) en hoogte $r$ .

Voorbeeld 53.6

Een ronde tafelblad heeft straal $60$ cm. Zijn oppervlakte is $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ cm $^2$ , iets meer dan $1.1$ m $^2$ . Let op het verschil: de omtrek $2\pi r$ gebruikt $r$ , de oppervlakte $\pi r^2$ gebruikt $r^2$ .

53.4 Prisma’s en cilinders

Definitie 53.7 (Prisma, cilinder)

Een prisma is een lichaam met twee identieke evenwijdige veelhoekige vlakken (de grondvlakken) verbonden door rechthoeken; een cilinder is hetzelfde met schijven als grondvlakken. De hoogte is de afstand tussen de twee grondvlakken.

Stelling 53.8 (Volumes)

Voor een prisma of een cilinder met grondvlakoppervlakte $B$ en hoogte $h$ :

V = B \times h .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 53.9

Een tent is een prisma op zijn zij: zijn grondvlakken zijn driehoeken met basis $2$ m en hoogte $1.5$ m, en de tent is $3$ m lang.

Grondvlakoppervlakte: $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ m $^2$ .
Volume: $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ m $^3$ .

Een blikje met straal $4$ cm en hoogte $11$ cm: $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ cm $^3$ , ruwweg een halve liter.

53.5 Oefeningen

Oefening 53.1 ★

Bereken de oppervlakte van een parallellogram met basis $8$ cm en hoogte $5$ cm; van een ander met basis $6.5$ m en hoogte $4$ m.

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.1.

$8 \times 5 = 40$ cm $^2$ ; $6.5 \times 4 = 26$ m $^2$ .

Oefening 53.2 ★

Een parallellogram heeft zijden $10$ cm en $6$ cm, en de hoogte ten opzichte van de basis van $10$ cm meet $4$ cm. Bereken zijn oppervlakte. Waarom is het antwoord niet $60$ cm $^2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.2.

$A = 10 \times 4 = 40$ cm $^2$ . Het antwoord is niet $10 \times 6 = 60$ omdat de zijde van $6$ cm scheef is: de formule gebruikt de hoogte (loodrechte afstand), die $4$ cm is.

Oefening 53.3 ★

Bereken de oppervlakte van een driehoek met basis $12$ cm en hoogte $7$ cm; van een rechthoekige driehoek met benen $9$ en $6$ ; van een driehoek met basis $5.5$ m en hoogte $2$ m.

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.3.

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ cm $^2$ ; $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ ; $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ m $^2$ .

Oefening 53.4 ★

Bereken de oppervlakte van een schijf met straal $5$ cm, daarna van een halfschijf met straal $10$ cm (exacte waarden met $\pi$ , daarna afgerond op de eenheid).

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.4.

Schijf: $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ cm $^2$ . Halfschijf met straal $10$ : $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ cm $^2$ .

Oefening 53.5 ★

Bereken de omtrek en de oppervlakte van een schijf met straal $3$ cm. Welk van de twee antwoorden is in cm en welk in cm $^2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.5.

Omtrek: $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ cm (een lengte, in cm). Oppervlakte: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ cm $^2$ (een oppervlakte, in cm $^2$ ).

Oefening 53.6 ★

Bereken het volume van een prisma met grondvlakoppervlakte $24$ cm $^2$ en hoogte $10$ cm; van een cilinder met straal $3$ cm en hoogte $8$ cm (exact, daarna afgerond).

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.6.

Prisma: $24 \times 10 = 240$ cm $^3$ . Cilinder: $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ cm $^3$ .

Oefening 53.7 ★

Een driehoek heeft oppervlakte $28$ cm $^2$ en basis $8$ cm. Vind de bijbehorende hoogte, en schrijf eerst de vergelijking.

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.7.

$\frac{8 \times h}{2} = 28$ , dus $4h = 28$ en $h = 7$ cm.

Oefening 53.8 ★★

Teken een willekeurige driehoek en meet zorgvuldig de drie basis–hoogte-paren. Bereken $\frac{b \times h}{2}$ voor elk paar: de drie resultaten zouden moeten overeenkomen (op meetfout na). Waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.8.

De drie producten komen overeen omdat elk de zelfde grootheid berekent — de oppervlakte van de driehoek. Dit geeft een praktische controle van constructies, en een manier om een hoogte te berekenen uit een ander basis–hoogte-paar (gebruikt in Oefening 53.12).

Oefening 53.9 ★★

Een trapeziumvormige tuin kan door één diagonaal gesplitst worden in twee driehoeken die dezelfde hoogte $h = 20$ m delen, met basissen $30$ m en $18$ m. Bereken de totale oppervlakte. Kun je een algemene formule voor het trapezium raden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.9.

De twee driehoeken hebben oppervlakten $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ m $^2$ en $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ m $^2$ : totaal $480$ m $^2$ . Voorgestelde algemene formule: voor evenwijdige zijden $a$ en $b$ op afstand $h$ ,

A = \frac{(a + b) \times h}{2}

— de trapeziumformule (hier $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$ ).

Oefening 53.10 ★★

Een cilindrische vaas met straal $6$ cm bevat water tot een hoogte van $15$ cm. Al het water wordt in een lege bak gegoten van $18$ cm $\times$ $12$ cm aan de basis. Welke waterhoogte wordt in de bak bereikt? (Zelfde volume, andere basis.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.10.

Watervolume: $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ cm $^3$ . Bakbasis: $18 \times 12 = 216$ cm $^2$ . Bereikte hoogte: $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ cm.

Oefening 53.11 ★★

Een pizza met diameter $30$ cm kost $9$ euro; één met diameter $40$ cm kost $14$ euro. Bereken de twee oppervlakten en de prijs per $100$ cm $^2$ . Welke pizza is de betere deal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.11.

Stralen $15$ en $20$ cm. Oppervlakten: $225\pi \approx 707$ cm $^2$ en $400\pi \approx 1257$ cm $^2$ . Prijs per $100$ cm $^2$ : $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ euro en $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ euro. De grote pizza is de betere deal — oppervlakten groeien met het kwadraat van de diameter.

Oefening 53.12 ★★★

De twee benen van een rechthoekige driehoek meten $6$ cm en $8$ cm, en zijn schuine zijde meet $10$ cm. Bereken zijn oppervlakte met de benen, en gebruik die oppervlakte om de hoogte ten opzichte van de schuine zijde te vinden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.12.

Met de benen: $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm $^2$ . Met de schuine zijde als basis: $24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h$ , dus $h = 4.8$ cm.