Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

31Breuken als getallen

Een breuk is niet alleen een plaatje van een taart: het is een echt getal, met een plaats op de getallenlijn — soms precies dezelfde plaats als een decimaal getal. Dit hoofdstuk verbindt de twee werelden. (De volledige rekenregels voor breuken komen in Hoofdstuk 39 en daarna.)

31.1 Breuken op de lijn, nog eens

Voorbeeld 31.1 (Plaatsen en lezen)

Op een lijn die in vijfden verdeeld is, ligt $\frac{7}{5}$ $7$ stapjes van $0$ : voorbij $1$ (dat is $\frac55$ ), op $1 + \frac25$ . Elke breuk woont ergens op de lijn; bij dezelfde noemer betekent een grotere teller: verder naar rechts.

Propositie 31.2 (Hetzelfde punt, veel namen)

Elk deel in twee (of drie …) knippen verschuift het punt niet:

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10}, \qquad \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{20}{30}.

De teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen (of erdoor delen) geeft een andere naam van dezelfde breuk.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Drie stroken, drie namen, één hoeveelheid: 1/2 = 2/4 = 5/10. — Drie stroken, drie namen, één hoeveelheid: $\frac12 = \frac24 = \frac{5}{10}$ .

31.2 Breuken en decimale getallen

Propositie 31.3 (Breuken met een decimale naam)

Breuken van tienden, honderdsten en duizendsten zijn decimale getallen:

\frac{3}{10} = 0.3, \qquad \frac{27}{100} = 0.27 .

Ook een aantal andere breuken heeft een decimale naam; je vindt die door naar tienden of honderdsten over te gaan:

\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0.25, \qquad \frac{3}{4} = 0.75, \qquad \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0.2 .

Maar niet alle: $\frac13 = 0.333\dots$ houdt nooit op — voor dat getal is de breuk de enige precieze naam.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Eén lijn, twee talen: elk punt kan een breuknaam en een decimale naam dragen.

Voorbeeld 31.4 (De handigste naam kiezen)

Om driekwart van $12$ te betalen is de breuknaam handiger: $\frac34$ van $12$ is $9$ . Om $\frac34$ met $0.8$ te vergelijken is de decimale naam handiger: $0.75 < 0.8$ . Tweetalig zijn betaalt zich uit.

31.3 Breuken vergelijken

Methode 31.5 (Drie gereedschappen om te vergelijken)

Dezelfde noemer: meer delen wint, $\frac57 > \frac37$ ;
dezelfde teller: grotere delen winnen, dus wint de kleinere noemer: $\frac35 > \frac38$ (vijfden zijn groter dan achtsten);
ijkpunten: vergelijk elke breuk met $\frac12$ of met $1$ : $\frac38 < \frac12 < \frac59$ , dus $\frac38 < \frac59$ .

Voorbeeld 31.6

Wie heeft er meer pizza gegeten: Ali met $\frac58$ of Bea met $\frac54$ ? De breuk van Bea is groter dan $1$ (vijf kwarten is meer dan één hele pizza), die van Ali is kleiner dan $1$ : Bea heeft er meer gegeten — zelfs meer dan een hele pizza.

31.4 Oefeningen

Oefening 31.1 ★

Teken een getallenlijn van $0$ tot $2$ , verdeeld in vijfden, en zet erop: $\frac25$ ; $\frac55$ ; $\frac85$ ; $\frac{10}{5}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.1.

$\frac25$ : twee stapjes van $0$ ; $\frac55$ : op $1$ ; $\frac85$ : drie stapjes voorbij $1$ ; $\frac{10}{5}$ : op $2$ .

Oefening 31.2 ★

Vul de gelijke namen aan: $\frac12 = \frac{?}{8}$ ; $\frac34 = \frac{?}{8}$ ; $\frac{2}{5} = \frac{4}{?}$ ; $\frac{6}{9} = \frac{2}{?}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.2.

$\frac12 = \frac48$ ; $\frac34 = \frac68$ ; $\frac25 = \frac{4}{10}$ ; $\frac69 = \frac23$ .

Oefening 31.3 ★

Welke breuken zijn de naam van een heel getal? Geef dat hele getal: $\frac82$ ; $\frac{9}{4}$ ; $\frac{15}{3}$ ; $\frac{20}{5}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.3.

$\frac82 = 4$ ; $\frac94$ is geen heel getal ( $9$ is geen veelvoud van $4$ ); $\frac{15}{3} = 5$ ; $\frac{20}{5} = 4$ .

Oefening 31.4 ★

Schrijf als decimaal getal: $\frac{7}{10}$ ; $\frac{41}{100}$ ; $\frac12$ ; $\frac34$ ; $\frac15$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.4.

$0.7$ ; $0.41$ ; $0.5$ ; $0.75$ ; $0.2$ .

Oefening 31.5 ★

Schrijf als breuk (tienden of honderdsten): $0.9$ ; $0.13$ ; $2.5$ ; $0.75$ (en geef daarna zijn naam in kwarten).

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.5.

$0.9 = \frac{9}{10}$ ; $0.13 = \frac{13}{100}$ ; $2.5 = \frac{25}{10}$ ; $0.75 = \frac{75}{100} = \frac34$ .

Oefening 31.6 ★

Vergelijk, en noem het gereedschap dat je gebruikt (Methode 31.5):

\frac47 \;?\; \frac67, \qquad \frac35 \;?\; \frac37, \qquad \frac25 \;?\; \frac{7}{12}, \qquad \frac98 \;?\; \frac{11}{12} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.6.

$\frac47 < \frac67$ (dezelfde noemer). $\frac35 > \frac37$ (dezelfde teller: vijfden zijn groter). $\frac25 < \frac12 < \frac{7}{12}$ , dus $\frac25 < \frac{7}{12}$ (ijkpunt $\frac12$ ). $\frac98 > 1 > \frac{11}{12}$ (ijkpunt $1$ ).

Oefening 31.7 ★

Zet op volgorde met de decimale namen: $\frac12$ ; $0.4$ ; $\frac34$ ; $0.6$ ; $\frac15$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.7.

Decimale namen: $0.5$ ; $0.4$ ; $0.75$ ; $0.6$ ; $0.2$ . Op volgorde:

\frac15 < 0.4 < \frac12 < 0.6 < \frac34 .

Oefening 31.8 ★

Een kwart van de leerlingen van een klas van $28$ speelt een instrument, en de helft doet een sport. Hoeveel leerlingen zijn dat elk? Welke groep is groter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.8.

Instrument: $\frac14$ van $28 = 7$ . Sport: $\frac12$ van $28 = 14$ . De sportgroep is groter.

Oefening 31.9 ★

Koppel elke breuk aan een tijd: $\frac14$ u, $\frac12$ u, $\frac34$ u, $\frac{1}{60}$ u — bij $30$ min, $45$ min, $1$ min, $15$ min.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.9.

$\frac14$ u $= 15$ min; $\frac12$ u $= 30$ min; $\frac34$ u $= 45$ min; $\frac{1}{60}$ u $= 1$ min.

Oefening 31.10 ★★

Tom heeft $\frac35$ van zijn fles van $50$ cL leeggedronken; Ana $\frac12$ van haar fles van $60$ cL. Wie heeft er meer gedronken? (Reken beide hoeveelheden in cL uit — de kale breuken vergelijken is hier niet genoeg, en leg uit waarom.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.10.

Tom: $\frac35$ van $50 = 30$ cL. Ana: $\frac12$ van $60 = 30$ cL. Ze hebben precies even veel gedronken! De kale breuken ( $\frac35 > \frac12$ ) vergelijken delen van verschillende flessen — alleen de echte hoeveelheden zijn te vergelijken.

Oefening 31.11 ★★

Geef een breuk die strikt tussen $\frac12$ en $1$ ligt; en daarna een die strikt tussen $\frac12$ en $\frac34$ ligt. (Decimale namen kunnen helpen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.11.

Tussen $\frac12$ en $1$ : bijvoorbeeld $\frac34$ (dus $0.75$ ). Tussen $\frac12 = 0.5$ en $\frac34 = 0.75$ : bijvoorbeeld $0.6 = \frac35$ .