Mathematics · Book 1 · Grades 1–9

Wiskunde basisschool en onderbouw

Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

31Breuken als getallen

Een breuk is niet alleen een taartplaatje: het is een echt getal, met een plaats op de getallenlijn — soms precies dezelfde plaats als een decimaal getal. Dit hoofdstuk verbindt de twee werelden. (De volle regels van breukrekenen komen in Hoofdstuk 39 en verder.)

31.1 Breuken op de lijn, opnieuw

Voorbeeld 31.1 (Plaatsen en lezen)

Op een lijn in vijfden gesneden is 75\frac{7}{5} 77 stappen vanaf 00: voorbij 11 (dat is 55\frac55), bij 1+251 + \frac25. Elke breuk leeft ergens op de lijn; grotere teller (zelfde noemer) betekent verder naar rechts.

Propositie 31.2 (Zelfde punt, veel namen)

Elk deel in twee (of drie …) snijden verplaatst het punt niet:

12=24=36=510,23=46=2030.\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10}, \qquad \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{20}{30}.

Teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen (of delen) geeft een andere naam van dezelfde breuk.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Drie balken, drie namen, één hoeveelheid: 1/2 = 2/4 = 5/10.
Drie balken, drie namen, één hoeveelheid: 12=24=510\frac12 = \frac24 = \frac{5}{10}.

31.2 Breuken en decimalen

Propositie 31.3 (Breuken met decimale namen)

Breuken van tienden, honderdsten, duizendsten zijn decimale getallen:

310=0.3,27100=0.27.\frac{3}{10} = 0.3, \qquad \frac{27}{100} = 0.27 .

Sommige andere breuken hebben ook decimale namen, gevonden door naar tienden of honderdsten over te stappen:

12=510=0.5,14=25100=0.25,34=0.75,15=210=0.2.\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0.25, \qquad \frac{3}{4} = 0.75, \qquad \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0.2 .

Maar niet alle: 13=0.333…\frac13 = 0.333\dots stopt nooit — de breuk is haar enige exacte naam.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Eén lijn, twee talen: elk punt kan een breuknaam en een decimale naam dragen.
Eén lijn, twee talen: elk punt kan een breuknaam en een decimale naam dragen.

Voorbeeld 31.4 (De handigere naam kiezen)

Om driekwart van 1212 te betalen: de breuknaam is handiger, 34\frac34 van 1212 is 99. Om 34\frac34 en 0.80.8 te vergelijken: de decimale naam is handiger, 0.75<0.80.75 < 0.8. Tweetalig zijn loont.

31.3 Breuken vergelijken

Methode 31.5 (Drie vergelijkingsgereedschappen)

  1. Zelfde noemer: meer delen wint, 57>37\frac57 > \frac37;
  2. zelfde teller: grotere delen winnen, dus kleinere noemer wint: 35>38\frac35 > \frac38 (vijfden zijn groter dan achtsten);
  3. oriëntatiepunten: vergelijk elk met 12\frac12 of met 11: 38<12<59\frac38 < \frac12 < \frac59, dus 38<59\frac38 < \frac59.

Voorbeeld 31.6

Wie at meer pizza: Ali met 58\frac58 of Bea met 54\frac54? Bea’s breuk is groter dan 11 (vijf kwarten is meer dan één hele pizza), Ali’s is kleiner dan 11: Bea at meer — meer dan een hele pizza zelfs.

31.4 Oefeningen

Oefening 31.1 ★

Teken een getallenlijn in vijfden van 00 tot 22, en plaats: 25\frac25; 55\frac55; 85\frac85; 105\frac{10}{5}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.1.

25\frac25: twee stappen vanaf 00; 55\frac55: op 11; 85\frac85: drie stappen voorbij 11; 105\frac{10}{5}: op 22.

Oefening 31.2 ★

Vul de gelijke namen aan: 12=?8\frac12 = \frac{?}{8}; 34=?8\frac34 = \frac{?}{8}; 25=4?\frac{2}{5} = \frac{4}{?}; 69=2?\frac{6}{9} = \frac{2}{?}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.2.

12=48\frac12 = \frac48; 34=68\frac34 = \frac68; 25=410\frac25 = \frac{4}{10}; 69=23\frac69 = \frac23.

Oefening 31.3 ★

Welke breuken noemen hele getallen? Geef het hele getal als dat zo is: 82\frac82; 94\frac{9}{4}; 153\frac{15}{3}; 205\frac{20}{5}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.3.

82=4\frac82 = 4; 94\frac94 is niet heel (99 is geen veelvoud van 44); 153=5\frac{15}{3} = 5; 205=4\frac{20}{5} = 4.

Oefening 31.4 ★

Schrijf als decimalen: 710\frac{7}{10}; 41100\frac{41}{100}; 12\frac12; 34\frac34; 15\frac15.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.4.

0.70.7; 0.410.41; 0.50.5; 0.750.75; 0.20.2.

Oefening 31.5 ★

Schrijf als breuken (tienden of honderdsten): 0.90.9; 0.130.13; 2.52.5; 0.750.75 (geef dan zijn kwartnaam).

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.5.

0.9=9100.9 = \frac{9}{10}; 0.13=131000.13 = \frac{13}{100}; 2.5=25102.5 = \frac{25}{10}; 0.75=75100=340.75 = \frac{75}{100} = \frac34.

Oefening 31.6 ★

Vergelijk, noem het gebruikte gereedschap (Methode 31.5):

47  ?  67,35  ?  37,25  ?  712,98  ?  1112.\frac47 \;?\; \frac67, \qquad \frac35 \;?\; \frac37, \qquad \frac25 \;?\; \frac{7}{12}, \qquad \frac98 \;?\; \frac{11}{12} .
Oplossing

Oplossing van Oefening 31.6.

47<67\frac47 < \frac67 (zelfde noemer). 35>37\frac35 > \frac37 (zelfde teller: vijfden zijn groter). 25<12<712\frac25 < \frac12 < \frac{7}{12}, dus 25<712\frac25 < \frac{7}{12} (oriëntatiepunt 12\frac12). 98>1>1112\frac98 > 1 > \frac{11}{12} (oriëntatiepunt 11).

Oefening 31.7 ★

Zet op volgorde met de decimale namen: 12\frac12; 0.40.4; 34\frac34; 0.60.6; 15\frac15.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.7.

Decimalen: 0.50.5; 0.40.4; 0.750.75; 0.60.6; 0.20.2. Volgorde:

15<0.4<12<0.6<34.\frac15 < 0.4 < \frac12 < 0.6 < \frac34 .

Oefening 31.8 ★

Een kwart van de leerlingen van een klas van 2828 speelt een instrument, en de helft speelt een sport. Hoeveel leerlingen is elk? Welke groep is groter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.8.

Instrument: 14\frac14 van 28=728 = 7. Sport: 12\frac12 van 28=1428 = 14. De sportgroep is groter.

Oefening 31.9 ★

Koppel elke breuk aan een tijd: 14\frac14 u, 12\frac12 u, 34\frac34 u, 160\frac{1}{60} u — aan 3030 min, 4545 min, 11 min, 1515 min.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.9.

14\frac14 u =15= 15 min; 12\frac12 u =30= 30 min; 34\frac34 u =45= 45 min; 160\frac{1}{60} u =1= 1 min.

Oefening 31.10 ★★

Tom dronk 35\frac35 van zijn fles van 5050 cL; Ana dronk 12\frac12 van haar fles van 6060 cL. Wie dronk meer? (Bereken beide hoeveelheden in cL — de kale breuken vergelijken is hier niet genoeg, en zeg waarom.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.10.

Tom: 35\frac35 van 50=3050 = 30 cL. Ana: 12\frac12 van 60=3060 = 30 cL. Ze dronken dezelfde hoeveelheid! De kale breuken (35>12\frac35 > \frac12) vergelijken aandelen van verschillende flessen — alleen de werkelijke hoeveelheden kunnen vergeleken worden.

Oefening 31.11 ★★

Geef een breuk strikt tussen 12\frac12 en 11; dan één strikt tussen 12\frac12 en 34\frac34. (Decimale namen kunnen helpen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.11.

Tussen 12\frac12 en 11: bijvoorbeeld 34\frac34 (d.w.z. 0.750.75). Tussen 12=0.5\frac12 = 0.5 en 34=0.75\frac34 = 0.75: bijvoorbeeld 0.6=350.6 = \frac35.