38Decimale getallen

Oplossing van Probleem 38.1.

1. $3$ is groter: aangevuld is $3.000 > 2.999$. Het verschil is $3.000 - 2.999 = 0.001$, één duizendste.

2. Strikt tussen $7.4 = 7.40$ en $7.5 = 7.50$ liggen

negen getallen, één bij elk nieuw streepje.

3. Hetzelfde plaatje, tien keer kleiner: tussen $7.440$ en $7.450$ liggen $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — opnieuw negen getallen.

4. Tussen $7.400$ en $7.500$ zijn de getallen met drie decimalen $7.401, 7.402, \dots, 7.499$: alle duizendsten van $401$ tot $499$, dus $99$ getallen.

5. Het zoomrecept: schrijf beide getallen met even veel decimalen, en voeg er dan één decimaal aan toe — het kleinste getal, gevolgd door een cijfer van $1$ tot $9$, landt strikt tussen de twee. Inderdaad is $5.67 = 5.670$ en $5.68 = 5.680$, en

net zo is $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. Tussen twee buurstreepjes zit altijd een heel nieuw niveau van negen fijnere streepjes.

6. $3 < 3.05 < 3.1$; dan $3 < 3.005 < 3.01$; dan $3 < 3.0005 < 3.001$. Elke kandidaat wordt verslagen door één zoom erbij.

7. Welk getal Tom ook voorstelt — zijn kandidaat, strikt groter dan $3$ — vraag 5 levert een getal dat strikt tussen $3$ en die kandidaat ligt. Zijn kandidaat was dus niet het getal dat het dichtst bij $3$ ligt: er bestaat er altijd een die nog dichterbij ligt. Omdat dit zonder uitzondering bij elke kandidaat gebeurt, kan geen enkel getal “het getal net na $3$” zijn: het bestaat eenvoudigweg niet.

8. $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$. En $3 - 2.999 = 0.001$. Met twintig negens is het verschil een decimaalteken gevolgd door negentien nullen en een $1$ — één eenheid op de twintigste decimale plaats: piepklein, maar niet nul. Hoeveel negens Tom ook schrijft, hij bereikt $3$ nooit.

9. Hele getallen klimmen met stappen van $1$: meer dan $7$ maar minder dan $8$ zou een heel aantal eenheden strikt tussen $7$ en $8$ eenheden betekenen, en dat bestaat niet. De zoom ontsnapt daaraan alleen door cijfers achter het decimaalteken te schrijven — precies wat hele getallen niet hebben.

10. De kleinste lengte die op $3.7$ afrondt, is $3.65$ cm: haar volgende cijfer is $5$, en dat rondt naar boven af (Definitie 38.9). En $3.75$ rondt om dezelfde reden naar boven af, op $3.8$. “$3.7$ cm, afgerond op het tiende” betekent dus: minstens $3.65$ cm en strikt minder dan $3.75$ cm — achter één afgeronde waarde zit een heel ingezoomd stuk mogelijke echte lengtes verstopt.

11. $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. In één zin: als je cijfer voor cijfer vanaf links vergelijkt, heeft $0.0999$ $0$ tienden en $0.6$ er $6$, en daar is de vergelijking al beslist — het aantal geschreven cijfers zegt niets over de grootte (Methode 38.3).

12. Nee: in centen is $4.99$ euro $499$ cent en $5$ euro $500$ cent — opeenvolgende hele getallen, met niets ertussen. Prijzen met precies twee decimalen zijn eigenlijk vermomde hele aantallen centen: net als de hele getallen van vraag 9 hebben ze wel naaste buren. Het eindeloze zoomen heeft het recht nodig om steeds meer decimalen te schrijven.

13. De kandidaten in de buurt van $6$ zijn $5.82$ en $8.25$ (een getal dat met $2$ begint, of met $58$, $25$, $82$ of $85$, ligt ver van $6$). Afstanden: $6 - 5.82 = 0.18$ en $8.25 - 6 = 2.25$. Het dichtst bij ligt $5.82$.

14. Bijvoorbeeld $3.1415$, want $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$; en dan $3.14159$, want $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (Beide zijn echte stappen in de werkelijke jacht op $\pi = 3.14159\dots$)

15. Stel dat iemand een getal noemt, zo groot als hij wil. Eén zoom maakt van elk paar buurstreepjes tussen $0$ en $1$ negen nieuwe getallen, en het zoomen kan eindeloos herhaald worden — de vragen 2, 3 en 4 waren alleen de eerste twee niveaus. Vaak genoeg herhaald levert het meer decimale getallen tussen $0$ en $1$ op dan het genoemde getal. Geen enkel getal is dus groot genoeg om ze te tellen: er zijn er oneindig veel.