Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

38Decimale getallen

Tussen $2$ en $3$ liggen heel wat getallen: $2.5$ , $2.71$ , $2.999$ … Met decimale getallen breiden we het plaatswaardesysteem uit naar rechts van de eenheden, en ze volgen dezelfde regels als gehele getallen — met een paar valkuilen die dit hoofdstuk je leert vermijden.

38.1 Decimale schrijfwijze

Definitie 38.1 (Decimalen)

Een decimaal getal heeft een geheel deel en een decimaal deel, gescheiden door de decimale punt. Elke plaats rechts van de punt is tien keer minder waard dan de vorige: tienden, honderdsten, duizendsten. Bijvoorbeeld

13.407 = 13 + \frac{4}{10} + \frac{0}{100} + \frac{7}{1000} = 1 \times 10 + 3 + 4 \times \frac{1}{10} + 7 \times \frac{1}{1000}.

De plaatswaardetabel van 13.407: de decimale punt staat tussen de eenheden en de tienden. — De plaatswaardetabel van $13.407$ : de decimale punt staat tussen de eenheden en de tienden.

Opmerking 38.2 (Nullen die tellen, nullen die niet tellen)

Nullen aan het eind van het decimale deel veranderen niets: $2.5 = 2.50 = 2.500$ . Maar nullen tussen cijfers zijn essentieel: $13.407 \neq 13.47$ . En $0.5$ is heel anders dan $0.05$ !

Methode 38.3 (Decimale getallen vergelijken)

Vergelijk eerst de gehele delen: $7.2 > 5.99$ want $7 > 5$ .
Als de gehele delen gelijk zijn, vergelijk de decimale delen cijfer voor cijfer van links — bijvullen met eindnullen helpt: om $3.4$ en $3.15$ te vergelijken, schrijf $3.40$ en $3.15$ ; omdat $40 > 15$ honderdsten, is $3.4 > 3.15$ .

Let op: langer betekent niet groter. $3.15$ heeft meer cijfers dan $3.4$ maar is kleiner.

Inzoomen op de getallenlijn tussen 3 en 4: elke streep is één tiende. Het punt 3.15 ligt halverwege tussen 3.1 en 3.2. — Inzoomen op de getallenlijn tussen $3$ en $4$ : elke streep is één tiende. Het punt $3.15$ ligt halverwege tussen $3.1$ en $3.2$ .

38.2 Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen

Methode 38.4 (Kolomberekeningen met decimalen)

Om decimale getallen op te tellen of af te trekken, lijn je de decimale punten uit (zodat eenheden onder eenheden staan, tienden onder tienden), vul eventueel aan met eindnullen; reken daarna als bij gehele getallen, en zet de punt van het resultaat onder de andere.

Voorbeeld 38.5

Bereken $13.7 + 2.85$ , met uitgelijnde punten ( $13.7 = 13.70$ ):

\begin{array}{r} 1\,3.7\,0 \\ +\ \ \,2.8\,5 \\ \hline 1\,6.5\,5 \end{array}

Bereken $6 - 2.35$ (schrijf $6 = 6.00$ ): $6.00 - 2.35 = 3.65$ . Controle: $3.65 + 2.35 = 6$ .

Voorbeeld 38.6 (Decimale getallen vermenigvuldigen)

Om $2.3 \times 1.4$ te berekenen: vermenigvuldig als gehele getallen, $23 \times 14 = 322$ ; tel daarna de decimale cijfers van de factoren ( $1 + 1 = 2$ ), en plaats de punt zodat het resultaat zoveel decimalen heeft: $2.3 \times 1.4 = 3.22$ . Controle op grootteorde: $2.3 \times 1.4$ moet iets meer zijn dan $2.3 \times 1 = 2.3$ — en $3.22$ is dat.

38.3 Vermenigvuldigen en delen door 10, 100, 1000

Propositie 38.7 (De punt verschuiven)

Een decimaal getal vermenigvuldigen met $10$ , $100$ , $1000$ verschuift de decimale punt $1$ , $2$ , $3$ plaatsen naar rechts; delen verschuift hem naar links (met nullen aanvullen indien nodig):

3.75 \times 100 = 375, \qquad 42.1 \div 1000 = 0.0421 .

Bewijs. Vermenigvuldigen met $10$ maakt elk cijfer tien keer meer waard: tienden worden eenheden, eenheden worden tientallen, enzovoort — elk cijfer schuift één kolom naar links in de plaatswaardetabel, wat hetzelfde is als de punt één plaats naar rechts te schuiven. Delen keert dit om. ∎

Voorbeeld 38.8 (Meeteenheden)

Eenheden omrekenen is precies dit spel: omdat $1$ m $= 100$ cm,

3.75 \text{ m} = 3.75 \times 100 \text{ cm} = 375 \text{ cm}, \qquad 42 \text{ mm} = 42 \div 10 \text{ cm} = 4.2 \text{ cm}.

38.4 Afronden

Definitie 38.9 (Afronden)

Het afronden van een getal op de eenheid (of tiende, honderdste, …) is het dichtstbijzijnde getal met die nauwkeurigheid. Kijk naar het volgende cijfer: als het $0,1,2,3,4$ is, rond af naar beneden (behouden); als het $5,6,7,8,9$ is, rond af naar boven.

Voorbeeld 38.10

$7.38$ afgerond op de eenheid is $7$ (volgend cijfer $3$ : behouden); afgerond op de tiende is het $7.4$ (volgend cijfer $8$ : naar boven). De prijs $4.996$ afgerond op de honderdste is $5.00$ — afronden kan elk cijfer veranderen!

38.5 Oefeningen

Oefening 38.1 ★

Schrijf als decimaal getal: $5 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{100}$ ; $\dfrac{9}{10}$ ; $12 + \dfrac{4}{1000}$ ; “acht eenheden en vijf honderdsten”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.1.

$5.37$ ; $0.9$ ; $12.004$ ; $8.05$ .

Oefening 38.2 ★

In $86.354$ : wat is het cijfer van de tienden? Van de honderdsten? Wat telt het cijfer $8$ ? Schrijf dit getal zoals in Definitie 38.1.

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.2.

Tienden-cijfer: $3$ ; honderdsten-cijfer: $5$ ; de $8$ telt de tientallen.

86.354 = 8 \times 10 + 6 + 3 \times \frac{1}{10} + 5 \times \frac{1}{100} + 4 \times \frac{1}{1000}.

Oefening 38.3 ★

Kopieer en vul in met $<$ , $>$ of $=$ :

5.3 \;?\; 5.29, \qquad 0.7 \;?\; 0.70, \qquad 2.09 \;?\; 2.9, \qquad 14.5 \;?\; 14.49 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.3.

$5.3 > 5.29$ (vergelijk $5.30$ met $5.29$ ); $0.7 = 0.70$ (eindnullen veranderen niets); $2.09 < 2.9$ (tienden: $0 < 9$ ); $14.5 > 14.49$ .

Oefening 38.4 ★

Orden van klein naar groot: $4.2$ ; $4.05$ ; $4.51$ ; $4.15$ ; $4.5$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.4.

Vul aan tot twee decimalen: $4.20$ ; $4.05$ ; $4.51$ ; $4.15$ ; $4.50$ . Volgorde:

4.05 < 4.15 < 4.2 < 4.5 < 4.51 .

Oefening 38.5 ★

Welke decimale getallen horen bij de punten $A$ , $B$ , $C$ op een getallenlijn met tienden, als $A$ $3$ streepjes na $6$ ligt, $B$ $7$ streepjes na $6$ , en $C$ $2$ streepjes na $7$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.5.

Elke streep is één tiende. $A$ : $6.3$ ; $B$ : $6.7$ ; $C$ : $7.2$ .

Oefening 38.6 ★

Bereken in kolommen: $45.8 + 7.65$ ; $23.4 - 8.72$ ; $5.6 \times 2.4$ (tel de decimale cijfers!).

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.6.

$45.80 + 7.65 = 53.45$ .

$23.40 - 8.72 = 14.68$ (controle: $14.68 + 8.72 = 23.4$ ).

$56 \times 24 = 1344$ , en twee decimale cijfers in de factoren: $5.6 \times 2.4 = 13.44$ .

Oefening 38.7 ★

Bereken zonder schriftelijk rekenwerk:

6.42 \times 10, \qquad 0.35 \times 1000, \qquad 78.1 \div 100, \qquad 5 \div 1000 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.7.

$6.42 \times 10 = 64.2$ ; $0.35 \times 1000 = 350$ ; $78.1 \div 100 = 0.781$ ; $5 \div 1000 = 0.005$ .

Oefening 38.8 ★

Reken om: $2.4$ m naar cm; $370$ g naar kg; $0.85$ km naar m; $56$ mm naar m.

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.8.

$2.4$ m $= 240$ cm; $370$ g $= 0.37$ kg (deel door $1000$ ); $0.85$ km $= 850$ m; $56$ mm $= 0.056$ m.

Oefening 38.9 ★

Rond $23.867$ af: op de eenheid; op de tiende; op de honderdste. Rond $9.97$ af op de tiende.

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.9.

Op de eenheid: $24$ (volgend cijfer $8$ : naar boven). Op de tiende: $23.9$ . Op de honderdste: $23.87$ . En $9.97$ op de tiende: het volgende cijfer is $7$ , dus de $9$ tienden afronden naar boven — $10.0$ .

Oefening 38.10 ★★

Een stokbrood kost $1.15$ . Lena koopt drie stokbroden en betaalt met een biljet van $5$ . Schrijf de twee benodigde berekeningen, en geef haar wisselgeld.

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.10.

Prijs van de stokbroden: $3 \times 1.15 = 3.45$ . Wisselgeld: $5 - 3.45 = 1.55$ .

Oefening 38.11 ★★

Vind een decimaal getal strikt tussen $7.4$ en $7.5$ ; daarna tussen $3.99$ en $4$ . Hoeveel zulke getallen zijn er in elk geval?

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.11.

Tussen $7.4$ en $7.5$ : bijvoorbeeld $7.45$ (of $7.41$ , $7.499$ , …). Tussen $3.99$ en $4$ : bijvoorbeeld $3.995$ . In beide gevallen zijn er oneindig veel zulke getallen: je kunt altijd meer decimalen toevoegen.

Oefening 38.12 ★★★

Gebruik elk van de cijfers $2$ , $5$ , $8$ precies één keer en één decimale punt, en schrijf het grootst mogelijke getal, daarna het kleinst mogelijke. (Getallen zoals $.58$ zijn niet toegelaten: het gehele deel moet minstens één cijfer bevatten.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.12.

Grootste: zet de grootste cijfers vooraan en de punt zo laat mogelijk: $85.2$ . Kleinste: kleinste cijfers vooraan en de punt zo vroeg mogelijk: $2.58$ .